白雪，李彥琦，王智秀，鄭勤紅

(云南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，云南 昆明 650500)

在物理學(xué)、材料學(xué)和電工電子技術(shù)的許多研究領(lǐng)域都涉及帶電粒子在恒定電磁場中的運動問題，但由于帶電粒子在電磁場中一般做曲線運動，其運動軌跡較為復(fù)雜，運動方程的表達式也較為復(fù)雜，所以在大學(xué)物理教材及相關(guān)文獻中一般僅討論帶電粒子在某些特殊恒定電磁場中的運動規(guī)律[1-4].本文利用復(fù)數(shù)變換，將帶電粒子在恒定電磁場中的運動微分方程簡化為簡單且容易求解的微分方程，再對運動微分方程進行積分，獲得帶電粒子在任意恒定電磁場中的運動方程的解析解，并運用MATLAB模擬仿真帶電粒子的運動軌跡，討論其運動規(guī)律和運動特征.

1 帶電粒子在恒定電磁場中的運動

1.1 恒定電磁場中帶電粒子運動方程的解析解

圖1 帶電粒子在恒定電磁場中的運動Fig.1 Charged particle moving in a steady-state electromagnetic field

設(shè)帶電粒子以初速度v0(遠低于光速)斜射入任意均勻恒定電磁場中，如圖1所示建立坐標系.為討論問題方便，將磁場B的方向取為z軸正向，電場位于yoz平面內(nèi)，電場強度E的方向與z軸正向的夾角為α,帶電粒子初速度v0與z軸正向的夾角為β,初速度v0在xoy平面的投影分量與x軸正向的夾角為γ,入射點的位置坐標為(x0，y0，z0).

由于粒子沿z軸方向的初速度分量vz0=v0cosβ,沿x軸方向的初速度分量vx0=v0sinβcosγ,沿y軸方向的初速度分量vy0=v0sinβsinγ；電場沿z軸方向分量Ez=Ecosα,沿y軸方向分量Ey=Esinα,根據(jù)牛頓第二定律，粒子所受的合力及其運動方程為

F=qv0×B+qE=ma.

(1)

粒子在三個坐標軸方向的運動微分方程為

(2)

(3)

(4)

對(4)式積分，利用初始條件可得帶電粒子沿著z軸方向的速度分量為

(5)

對(5)式積分，再利用初始條件可得帶電粒子沿著z軸方向的坐標為

(6)

(7)

(8)

由(7)和(8)式可得

整理后可變?yōu)?/p>

(9)

將C1值代入(9)，由歐拉公式可得

(10)

由于

所以粒子沿x方向的速度分量為

(11)

粒子沿y軸方向的速度分量為

(12)

對(10)式積分可獲得粒子沿x軸方向的坐標為

(13)

對(11)式積分可獲得粒子沿y軸方向的坐標為

(14)

將(13)和(14)式進一步整理可得

(15)

(16)

1.2 帶電粒子在恒定電磁場中運動軌跡的理論探析

令

代入式(6)、(15)和(16)可得帶電粒子在恒定電磁場中的運動方程為

(17)

1.2.1 帶電粒子斜射入恒定磁場和平行電磁場的運動方程

(1)當電場E=0，帶電粒子以任意初速度斜射入恒定磁場時，由(17)式可得帶電粒子的運動方程為

(18)

(2)當Ey=0，帶電粒子斜射入恒定平行電磁場時[4]，由(17)式可得帶電粒子的運動方程為

(19)

1.2.2 帶電粒子垂直射入正交恒定電磁場的運動方程

當vz0=0,Ez=0,帶電粒子斜射入正交恒定電磁場時[1]，由式(17)可得該條件下帶電粒子的運動方程為

(20)

2 基于MATLAB的帶電粒子運動軌跡演示與分析

取粒子所帶的電荷量q為1.6×10-19C，質(zhì)量m=2×10-19kg，利用MATLAB進行仿真.

2.1 帶電粒子斜射入恒定磁場

當帶電粒子從坐標原點斜射入恒定磁場時，設(shè)粒子初速度v0=5 m/s,E=0，B=1 T，α=0，β=π/3,γ=π/6.帶電粒子運動軌跡仿真結(jié)果見圖2(a)；粒子運動軌跡在yoz平面的投影見圖2(b).由圖2可知，粒子沿z軸方向做螺距不變的螺旋運動.

圖2 帶電粒子斜射入恒定磁場的(a)運動軌跡和(b)運動軌跡在yoz平面的投影Fig.2 The motion trajectory(a) and its yoz planar projection(b) of charged particle shooting obliquely into a steady-state magnetic field

2.2 帶電粒子斜射入同向恒定電磁場

圖3 帶電粒子(q>0)斜射入恒定同向電磁場的(a)運動軌跡和(b)運動軌跡在yoz平面的投影Fig.3 The motion trajectory(a) and its yoz planar projection(b) of charged particle(q>0) shooting obliquely into a steady-state co-directional electromagnetic field

圖4 帶電粒子(q<0)斜射入恒定同向電磁場的(a)運動軌跡和(b)運動軌跡在yoz平面的投影Fig.4 The motion trajectory(a) and its yoz planar projection(b) of charged particle(q<0) shooting obliquely into a steady-state co-directional electromagnetic field

2.3 帶電粒子射入正交恒定電磁場

當帶電粒子從坐標原點斜射入恒定正交電磁場時，設(shè)粒子初速度v0=5 m/s,E=1 N/C，B=1 T，α=π/2,β=π/3,γ=π/6.帶電粒子運動軌跡仿真結(jié)果見圖5(a).帶電粒子的運動軌跡在xoy平面內(nèi)的投影見圖5(b)，為長幅擺線[1]，帶電粒子沿z方向的運動見圖5(c)，為勻速直線運動，因此該條件下帶電粒子的運動軌跡為三維空間中的擺線.

2.4 帶電粒子射入非正交恒定電磁場

當帶電粒子斜射入非正交恒定電磁場時，設(shè)粒子初速度v0=5 m/s,E=1 N/C，B=1 T，α=π/3,β=π/3,γ=π/6.帶電粒子運動軌跡仿真結(jié)果見圖6(a);帶電粒子的運動軌跡在xoy平面內(nèi)的投影見圖6(b)，為長幅擺線[1]；帶電粒子沿z軸方向的運動曲線見圖6(c)，為勻加速運動曲線;因此帶電粒子的運動軌跡為三維空間中的螺旋曲線[4].

圖5 帶電粒子斜射入恒定正交電磁場的(a)運動軌跡、(b)運動軌跡在xoy平面的投影和(c)粒子沿z方向的運動Fig.5 The motion trajectory(a)，its xoy planar projection(b)，and the motion in z-direction(c) of charged particle shooting obliquely into a steady-state orthogonal electromagnetic field

圖6 帶電粒子斜射入恒定非正交電磁場的(a)運動軌跡、(b)運動軌跡在xoy平面的投影和(c)粒子沿z方向的運動Fig.6 The motion trajectory(a)，its xoy planar projection(b)，and the motion in z-direction(c) of charged particle shooting obliquely into a steady-state non-orthogonal electromagnetic field

分析比較帶電粒子斜射入正交恒定電磁場和非正交恒定電磁場的運動軌跡可知，兩種條件下其運動軌跡都是復(fù)雜的空間螺旋曲線，這兩種運動軌跡在xoy平面的投影都是擺線，但射入非正交恒定電磁場的粒子沿z軸方向做勻加速直線運動，斜射入正交電磁場的粒子沿z軸方向做勻速直線運動，兩者沿z軸方向分運動的不同導(dǎo)致兩者合運動的軌跡差異非常大.

3 結(jié)果與討論

基于MATLAB的帶電粒子運動軌跡演示與分析結(jié)果表明，帶電粒子在任意恒定電磁場中的運動可分為兩大類(除勻速圓周運動和直線運動外)：(1)螺旋運動.當帶電粒子在xoy平面內(nèi)只參與了勻速圓周運動，在z方向參與了勻速直線運動或勻變速直線運動，帶電粒子的運動為螺旋運動.若帶電粒子沿z方向有勻速直線運動，則粒子的運動為螺距不變的螺旋運動(例如：當帶電粒子斜射入恒定磁場時)；若帶電粒子沿z方向參與了勻變速直線運動，則帶電粒子的運動是螺距隨時間變化的螺旋運動(例如：當帶電粒子斜射入恒定平行電磁場時).(2)復(fù)雜螺旋運動.當帶電粒子在xoy平面內(nèi)做勻速圓周運動和沿x軸方向做勻速直線運動，且在z軸方向做勻速直線運動或勻變速直線運動，帶電粒子的運動軌跡為復(fù)雜的空間螺旋曲線(例如：帶電粒子斜射入正交電磁場或射入非正交電磁場時)；當帶電粒子的入射速度v0、電場強度E和磁場B三者之間相互垂直時，帶電粒子的運動軌跡相對簡單，其運動軌跡為xoy平面內(nèi)的擺線.