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        研題“四部曲”,解題新境界

        2022-12-19 03:07:52江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué)顧海波
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年23期
        關(guān)鍵詞:解題數(shù)學(xué)

        ?江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué) 顧海波

        1 問(wèn)題呈現(xiàn)

        高考真題(2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第11題)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),則d+q的值是________.

        2 第一部曲:會(huì)讀

        等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種特殊類(lèi)型的基本數(shù)列,它們有著各自的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等,相互之間既有聯(lián)系又有區(qū)別.在一些綜合應(yīng)用問(wèn)題中,經(jīng)常會(huì)碰到等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的融合與交匯問(wèn)題,形式多樣,創(chuàng)新新穎,是歷年高考中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn)題型之一,倍受關(guān)注.

        此題結(jié)合兩個(gè)特殊類(lèi)型的數(shù)列以創(chuàng)新全新形式呈現(xiàn),利用一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的和式數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和來(lái)確定公差d與公比q和的值.合理把數(shù)列、數(shù)論等相關(guān)知識(shí)加以有機(jī)交匯與融合,以創(chuàng)新新穎的面貌展示在大家面前.

        題目簡(jiǎn)單明了,難度適中,巧妙綜合了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等相關(guān)知識(shí),是一道不可多得的數(shù)列創(chuàng)新綜合題,值得好好品味與研究.

        3 第二部曲:會(huì)解

        美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò):“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.”在讀懂題意的情況下,會(huì)解決問(wèn)題是基本能力之一,也是數(shù)學(xué)教育與學(xué)習(xí)的主要目的.

        3.1 思維視角一:代數(shù)運(yùn)算

        方法1:代數(shù)運(yùn)算法.

        解析:當(dāng)n=1時(shí),S1=a1+b1=1-1+2-1=1.

        當(dāng)n≥2時(shí),an+bn=Sn-Sn-1=n2-n+2n-1-[(n-1)2-(n-1)+2n-1-1]=2n-1+2n-2.

        所以

        a2+b2=22-1+2×2-2=4,

        a3+b3=23-1+2×3-2=8,

        a4+b4=24-1+2×4-2=14.

        由a2+b2=a1+d+b1q=4,

        a3+b3=a1+2d+b1q2=8,

        a4+b4=a1+3d+b1q3=14,

        可得

        d+b1(q-1)=3,

        d+b1q(q-1)=4,

        d+b1q2(q-1)=6.

        b1(q-1)=3-d,

        b1q(q-1)=4-d,

        b1q2(q-1)=6-d.

        故填答案:4.

        點(diǎn)評(píng):通過(guò)n的分類(lèi)討論以及數(shù)列{an+bn}的前4項(xiàng)的確定,結(jié)合a1+b1=1與相應(yīng)的關(guān)系式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,并結(jié)合條件關(guān)系式的轉(zhuǎn)化建立相應(yīng)的方程,從而得以確定d與q的值.其實(shí),在確定an+bn=2n-1+2n-2時(shí),分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)性,可以直接確定an=2n-2,bn=2n-1,進(jìn)而確定公差與公比的值.在解決小題時(shí)經(jīng)??梢赃@樣處理,以節(jié)省時(shí)間.

        3.2 思維視角二:公式應(yīng)用

        方法2:對(duì)比系數(shù)法.

        解析:等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為

        根據(jù)題意知q≠1,則等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式為

        所以d+q=2+2=4.

        故填答案:4.

        點(diǎn)評(píng):根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式建立相應(yīng)的關(guān)系式,結(jié)合條件Sn=n2-n+2n-1,通過(guò)對(duì)比相應(yīng)關(guān)系式中的系數(shù)建立對(duì)應(yīng)的方程組,進(jìn)而確定相關(guān)參數(shù)d與q的值.從數(shù)列求和公式入手進(jìn)行對(duì)比系數(shù)法處理,從而解決問(wèn)題.

        3.3 思維視角三:函數(shù)性質(zhì)

        方法3:待定系數(shù)法.

        解析:根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì),可知Sn=An2+Bn+C(qn-1)=n2-n+2n-1.

        所以有A=1,B=-1,C=1,q=2.

        所以d+q=2+2=4.

        故填答案:4.

        點(diǎn)評(píng):根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì),引入?yún)?shù),直接確定對(duì)應(yīng)的前n項(xiàng)和公式的表達(dá)式,結(jié)合條件Sn=n2-n+2n-1,通過(guò)對(duì)比相應(yīng)關(guān)系式中的系數(shù)關(guān)系及待定系數(shù)法的轉(zhuǎn)化,進(jìn)而確定相關(guān)參數(shù)d與q的值.待定系數(shù)法,抓住數(shù)列的函數(shù)性,引入?yún)?shù),巧妙快捷.利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)加以處理,充分體現(xiàn)了新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考的“多考思維,少考計(jì)算”的命題新理念,意在考查學(xué)生的分析、觀察、歸納、猜想和邏輯推理等能力,充分體現(xiàn)學(xué)生思維能力的差異性,具有很好的選拔性與區(qū)分度.

        4 第三部曲:會(huì)變

        將原題從視角、深度、廣度等方面加以思考與推廣,進(jìn)行多方位的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用,從而充分體會(huì)與挖掘原題的訓(xùn)練與應(yīng)用價(jià)值.

        探究1:保留題目的背景,改變“兩數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和式數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和”為“兩數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積式數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和”,深入拓展應(yīng)用,提升問(wèn)題難度,得到以下變式問(wèn)題.

        變式1設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn=(2n-4)·2n+4(n∈N*),若b1=1,則d+q的值是________.

        解析:當(dāng)n=1時(shí),S1=a1b1=(2×1-4)×21+4=0.

        當(dāng)n≥2時(shí),anbn=Sn-Sn-1=[(2n-4)·2n+4]-[(2n-6)·2n-1+4]=(n-1)·2n.

        上式也適合n=1的情形,所以

        anbn=(n-1)·2n,n∈N*.

        又anbn=[a1+(n-1)d]·b1qn-1=(b1dn+a1b1-b1d)·qn-1=(2n-2)·2n-1,對(duì)比系數(shù)可知

        由b1=1,得d=2,所以d+q=2+2=4.

        故填答案:4.

        點(diǎn)評(píng):同樣的道理,通過(guò)n的分類(lèi)討論來(lái)確定數(shù)列{anbn}的通項(xiàng)公式,分別結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)建立與之相應(yīng)的關(guān)系式,通過(guò)對(duì)比相應(yīng)關(guān)系式中的系數(shù)建立對(duì)應(yīng)的方程組,并結(jié)合相關(guān)條件確定參數(shù)d與q的值.

        探究2:保留題目的背景,改變兩個(gè)不同數(shù)列之間關(guān)系的給出方式,以通項(xiàng)公式的關(guān)系式為背景來(lái)設(shè)置問(wèn)題,從另一角度加以合理變形,得到以下變式問(wèn)題.

        結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可知(a1+nd)(a1+nd-2d)=q(a1+nd-d)2對(duì)一切n∈N*恒成立.

        整理,可得

        因?yàn)閝為常數(shù),且n∈N*,所以d=0,q=1,可得

        d+q=0+1=1.

        故填答案:1.

        點(diǎn)評(píng):利用等比數(shù)列的定義,結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式得到對(duì)應(yīng)的關(guān)系式,將恒成立的關(guān)系式分離參數(shù)q,結(jié)合其為常數(shù)的隱含條件確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,進(jìn)而利用數(shù)論的相關(guān)知識(shí)加以分析與推理,并結(jié)合相關(guān)條件確定參數(shù)d與q的值.

        5 第四部曲:會(huì)學(xué)

        高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目的就是讓學(xué)生會(huì)解決問(wèn)題,會(huì)學(xué)習(xí),特別是會(huì)自主學(xué)習(xí),這才是素質(zhì)教育的核心,也是學(xué)生終身學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).結(jié)合數(shù)列知識(shí)的內(nèi)涵,可以得到三個(gè)方面的啟示,為學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)指明方向.

        5.1 把握實(shí)質(zhì)

        選擇題或填空題中的數(shù)列小題,一般來(lái)說(shuō)是中檔層次的問(wèn)題.對(duì)此類(lèi)數(shù)列問(wèn)題,學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)數(shù)列本身屬性的認(rèn)識(shí)不夠清晰,沒(méi)有準(zhǔn)確把握數(shù)列中相關(guān)要素之間的變化規(guī)律.在數(shù)列的教學(xué)過(guò)程中,教師要教會(huì)學(xué)生把握數(shù)列本身的規(guī)律,進(jìn)而確定數(shù)列的通項(xiàng)或求和等相關(guān)問(wèn)題,合理提升解題能力和數(shù)學(xué)能力,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

        5.2 交匯融合

        在“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”是高考數(shù)學(xué)大綱的明確要求與高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想之一.作為數(shù)學(xué)的主干知識(shí)之一的數(shù)列,更是多知識(shí)交匯與綜合的重要載體,是創(chuàng)新應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí)的更深層次體現(xiàn),是每年高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn)之一.?dāng)?shù)列的交匯綜合問(wèn)題,以數(shù)列的相關(guān)知識(shí)為背景或串聯(lián)點(diǎn),把相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以合理創(chuàng)新與融合,巧妙通過(guò)數(shù)與形、數(shù)與數(shù)等的結(jié)合,溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的交匯與綜合,提升問(wèn)題的趣味性與拓展性.

        5.3 創(chuàng)新領(lǐng)航

        數(shù)列問(wèn)題的創(chuàng)新設(shè)計(jì),把數(shù)列這一代數(shù)概念拓展到更為復(fù)雜與綜合的角度進(jìn)行展示,結(jié)合創(chuàng)新背景、創(chuàng)新知識(shí)、創(chuàng)新應(yīng)用等,滲透不同類(lèi)型的數(shù)列之間、數(shù)列與其他相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系與交匯問(wèn)題.增強(qiáng)邏輯推理,多閱讀,多推理.“多考思維,少考計(jì)算”,在一定程度上可以增強(qiáng)解題的綜合性和趣味性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,發(fā)展分析能力和解題能力,以及數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力和邏輯推理能力等,全面提升數(shù)學(xué)品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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