鄭明軍， 劉俊杰， 吳文江

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 教務(wù)處，河北 石家莊 050043)

低頻振動與噪聲對人們的日常生活有較大影響，低頻振動會造成工具結(jié)構(gòu)損壞，噪聲則影響人的聽覺，解決此類問題需要實現(xiàn)低頻下振動噪聲抑制。在追求輕量簡化結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)下，局域共振型聲子晶體因其可通過亞波長尺寸結(jié)構(gòu)控制機(jī)械波的傳遞而得到了廣泛的關(guān)注。Liu et al[1]提出了局域共振型聲子晶體這一基本概念，在振動抑制形式上存在2種形式,一種為布拉格散射機(jī)制,一種為局域共振機(jī)制[2],布拉格散射機(jī)制具有一定的局限性，應(yīng)用時所需材料尺寸較大，而局域共振型聲子晶體能在小尺寸控制大波長的頻率傳導(dǎo)。D’Alessandro et al[3]對三維聲子晶體正方形立體填充模型進(jìn)行建模仿真得到三維模型的最寬帶隙。Jiang et al[4]對正方形晶格的帶孔局域共振型聲子晶體帶隙進(jìn)行拓展，解決了局域共振型聲子晶體的填充率大小不一的問題。Ma et al[5]將模態(tài)位移法應(yīng)用到實際測量局域共振型聲子晶體結(jié)構(gòu)的傳輸特性研究中。Panahi et al[6]設(shè)計了2種連接形式的二維聲子晶體并結(jié)合實物實驗驗證其帶隙準(zhǔn)確性。麻城榕等[7]針對汽車板件低頻振動提出準(zhǔn)二維聲子晶體板，發(fā)現(xiàn)板振動模式與圓柱共振單元的局域共振模式相互耦合形成完全帶隙。郭旭等[8]針對船舶設(shè)備及結(jié)構(gòu)的振動噪聲控制問題,合理設(shè)計一種附加圓柱型振子的聲子品體板結(jié)構(gòu)散射體幾何參數(shù)及布置形式，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的低頻寬帶隔振及寬帶隔聲。徐儉樂等[9]將聲子晶體結(jié)構(gòu)應(yīng)用到雙層夾板中，對其隔聲特性進(jìn)行研究，獲得在指定范圍內(nèi)具有優(yōu)良隔聲性能的夾板層結(jié)構(gòu)。何宇漾[10]研究設(shè)定在不同位置下附加聲子晶體結(jié)構(gòu)時的降噪效果，對比相應(yīng)點(diǎn)聲壓級的方式獲得最佳布置點(diǎn)。譚自豪等[11]將球型柱結(jié)構(gòu)引入聲子晶體中進(jìn)行研究,通過分析特殊點(diǎn)位的振動模態(tài)獲得振動機(jī)理。

上述文獻(xiàn)研究內(nèi)容提出了不同幾何結(jié)構(gòu)的聲子晶體模型，分別應(yīng)用在不同的研究領(lǐng)域進(jìn)行隔振降噪處理。現(xiàn)針對板類結(jié)構(gòu)面內(nèi)低頻振動噪聲問題，提出一種內(nèi)嵌式局域共振型聲子晶體板結(jié)構(gòu)，建立等效彈簧振子模型進(jìn)行分析并使用有限元法計算驗證，闡述該模型工作機(jī)制，改變結(jié)構(gòu)的材料、幾何特性研究對隔振降噪特性的影響，為實現(xiàn)在低頻下抑制振動噪聲的聲子晶體板結(jié)構(gòu)研究提供依據(jù)。

1 聲子晶體板模型及其振動分析

1.1 局域共振型聲子晶體板模型

局域共振型聲子晶體的工作機(jī)制依賴于局域共振單元的共振特性，因此只需研究單胞結(jié)構(gòu)即可[12]，單個聲子晶體板結(jié)構(gòu)及其橫截面如圖1所示，結(jié)構(gòu)主要為銅散射體穿透樹脂板結(jié)構(gòu)并由橡膠包覆，在上下兩方添加圓柱形散射體，板結(jié)構(gòu)存在8 mm×20 mm的矩形缺陷以及直徑為d1的孔缺陷，圖1中a為晶格常數(shù)，板厚度為h1,上方散射體高度為h2，橡膠高度為h3，中心散射體半徑為r1，橡膠半徑為r2,上散射體半徑為r3，l1以及l(fā)2為板結(jié)構(gòu)上矩形空缺的長度以及寬度。圖2為基本結(jié)構(gòu)優(yōu)化后結(jié)果，即上方金屬柱向外向下延伸，在外部金屬柱板結(jié)構(gòu)之間以橡膠相連，并以矩形缺陷為分界搭建外部橡膠的角度為θ，延伸金屬總高度為h4,連接橡膠高度為h5，橡膠材料參數(shù)以及幾何參數(shù)如表1和表2所示。

圖1 單胞基本模型及橫截面圖

圖2 優(yōu)化模型及橫截面圖

表1 基本材料參數(shù)

表2 幾何參數(shù)

1.2 振動分析

二維局域共振型聲子晶體板結(jié)構(gòu)可轉(zhuǎn)換為彈簧振子等效模型[13]，帶隙的起始點(diǎn)及截止點(diǎn)的振動模式簡化為圖3所示模型。圖3中m1為振子質(zhì)量，m2為基體的等效質(zhì)量，k為包覆層所代表的等效剛度，在此模型的帶隙起始點(diǎn)如圖3(a)所示，m1在彈簧k作用下發(fā)生共振，使此頻率范圍的振動被抑制，在帶隙截止點(diǎn)如圖3(b)處所示，m1與m22個質(zhì)量在彈簧k的作用下發(fā)生共振，此頻率范圍下振動正常傳遞。圖4所示等效橫截面中以金屬芯邊界切線為分界線，分離彈簧振子及基體。設(shè)銅芯質(zhì)量為mcore,基體的質(zhì)量為mhost，兩者的質(zhì)量表示為

(1)

圖3 等效彈簧起始點(diǎn)及截止點(diǎn)振子模型

圖4 等效橫截面

包覆層質(zhì)量在計算等效剛度K時不能被忽略，因此如圖4所示的橡膠質(zhì)量按照比例進(jìn)行分配,為A、B2個區(qū)域，區(qū)域B部分橡膠主要隨基體振動，可得關(guān)系式

(2)

將表1和表2中參數(shù)帶入式(1)及式(2)計算可得m1=0.63,m2=0.12，計算等效剛度k,則認(rèn)為僅有A區(qū)域的橡膠包覆層起主要作用，在A區(qū)域?qū)⑾鹉z劃分為垂直方向上細(xì)直條，整體等效剛度為各個長條結(jié)構(gòu)并聯(lián)，等效剛度k表示為

(3)

式中，C11=λcoating+2μcoating，λcoating為硅橡膠的第一拉梅常數(shù)，μcoating為硅橡膠的第二拉梅常數(shù)，依據(jù)式(2)、式(3)計算公式計算所得，帶隙結(jié)構(gòu)的起始頻率及截止頻率為

(4)

將表1及表2的參數(shù)帶入式(4)中可計算出帶隙起止點(diǎn)頻率，對比2個點(diǎn),分別算出的特征頻率值，可通過有限元法證明所計算模型的正確性,其中算出f1及f2分別為83.58、194.49 Hz。

為了驗證理論模型結(jié)果，采用有限元法對模型進(jìn)行仿真計算，該方法基于有限元軟件Comsol Multiphysics進(jìn)行計算，選擇固體力學(xué)物理場進(jìn)行研究，研究中選擇特征頻率欄，建立幾何模型，選擇并定義好各部分模型的材料幾何參數(shù)。在固體力學(xué)模塊選擇Floquet周期性邊界條件，將邊界條件添加至原胞相鄰界面邊界即基本模型面的x及y方向上，即圖4所示方向，那么其周期性邊界條件函數(shù)則被定義為

(5)

式中,a為聲子晶體板結(jié)構(gòu)的原胞尺寸;k為不可約布里淵區(qū)的波矢，在設(shè)置邊界條件后對聲子晶體板結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，選用的是常規(guī)網(wǎng)格大小的類型進(jìn)行描繪，形成了包含有限個節(jié)點(diǎn)所連接的單元結(jié)構(gòu)，此時原胞內(nèi)部的特征方程為

(K-ω2M)U=0

(6)

式中,K、M分別為剛度以及質(zhì)量矩陣；U為節(jié)點(diǎn)位移，在Comsol有限元軟件中添加特征頻率進(jìn)行研究，選定參數(shù)化掃描的步長，將波矢k沿著不可約布里淵區(qū)即圖5所示的對稱邊界進(jìn)行掃描，路徑為M→?！鶻→M方向，獲得其特征頻率繪制出的帶隙圖如圖6所示，帶隙起止點(diǎn)為C點(diǎn)及D點(diǎn)所在頻率，基本模型采用的散射體為銅，基體為環(huán)氧樹脂板，中間包覆層為硅橡膠，計算出帶隙起止點(diǎn)頻率分別為89.38、188.40 Hz，與理論計算結(jié)果相符，說明理論分析的合理性。

圖5 不可約布里淵區(qū)圖

圖6 基本模型帶隙結(jié)構(gòu)圖

局域共振型聲子晶體板結(jié)構(gòu)抑制振動機(jī)理與傳統(tǒng)二維結(jié)構(gòu)相似，如圖6所示，C點(diǎn)為帶隙起始頻率89.38 Hz，基體中的彈性波傳導(dǎo)至C點(diǎn)頻率時，散射體以及包裹層平移運(yùn)動構(gòu)成主體振動模式以抵消源于基體的彈性波振動，D點(diǎn)為帶隙截止頻率188.40 Hz，此處存在基體以及包覆層的振動，即等效質(zhì)量m1及m2兩者在包覆層的影響下以相對振動的方式運(yùn)動，將基體中的彈性波相互耦合抵消。

2 材料幾何參數(shù)影響分析

2.1 散射體材料分析

為獲得低頻寬帶隙的聲子晶體結(jié)構(gòu)，更改散射體材料得到在相等幾何條件下帶隙起止點(diǎn)變化圖，如圖7所示，不同的金屬材料對帶隙的影響表示為起始頻率各不相同，在截止頻率處差距較小，截止頻率受基體及包覆層影響，相較于散射體的楊氏模量，密度對起始頻率的影響較大，金屬密度越大產(chǎn)生的等效質(zhì)量越大，等效彈性系數(shù)沒有發(fā)生改變，在同等幾何條件下金屬鎢的帶隙起始頻率非常低，而截止頻率與同組內(nèi)其他金屬散射體相差較小，因此采用金屬鎢進(jìn)行幾何參數(shù)優(yōu)化。

圖7 散射體材料影響

2.2 幾何因素影響

在散射體為金屬材料鎢的前提下，為了驗證幾何參數(shù)對帶隙特性的影響，將幾何參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)分析，在每個幾何調(diào)節(jié)中計算出幾何調(diào)節(jié)參數(shù)，選用最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行后續(xù)計算，如圖8(a)所示，板厚度h1的增加使起始頻率與截止頻率之間帶隙寬度不斷減小，且起始點(diǎn)頻率隨之上升，當(dāng)板為14 mm厚度時起始頻率為72.22 Hz,截止頻率為179.83 Hz，從2 mm遞增至14 mm處其等效質(zhì)量m1不斷減小，等效剛度K不發(fā)生改變，等效質(zhì)量m2增加，因此低厚度板符合低頻寬帶隙的要求，使用2 mm板厚度、散射體為鎢的結(jié)構(gòu)研究對帶隙的影響。同時板上小孔結(jié)構(gòu)擴(kuò)大直徑時等效質(zhì)量m2減小，但在板上不能無限擴(kuò)張，因此8 mm直徑孔結(jié)構(gòu)即能獲得較好的效果,此時的帶隙在26.47～262.23 Hz之間。

在板與包覆層之間連接矩形的參數(shù)上設(shè)定長度變化分析，圖8(b)中表明長度從5 mm增加至35 mm的同時，聲子晶體板與包覆層的接觸面積不斷減少，等效質(zhì)量m1減少，而m2增加，m1減少速度不及m2的增加速度，因此起始點(diǎn)頻率以及截止點(diǎn)頻率均下降且?guī)秾挾炔粩鄿p少，引入變量帶隙差值為2個帶隙寬度之間的對比差值，在15 mm處帶隙差值較小為19.13 Hz，與起始點(diǎn)頻率變化較小的點(diǎn)相交，因此選用15 mm矩形長度進(jìn)行后續(xù)計算，在15 mm寬度下形成21.24～436.42 Hz的振動抑制帶。

圖8 板厚度及板矩形寬度影響

圖9分析了板結(jié)構(gòu)中心填充率的影響，以填充半徑表示填充率的變化趨勢，隨著填充半徑增加，起始頻率、截止頻率以及帶隙寬度都不斷增加，但起始頻率增加幅度較小，帶隙寬度及截止頻率的變化呈現(xiàn)與板厚度增加相反的狀態(tài)，在28 mm半徑即晶格大小為60 mm、中心圓孔直徑為56 mm的情況下達(dá)到最優(yōu)效果。上方散射體鎢直徑的擴(kuò)大等效于增加散射體質(zhì)量，此時上方鎢散射體作為附加質(zhì)量進(jìn)行計算。在保證此結(jié)構(gòu)的周期性、與其他單胞結(jié)構(gòu)產(chǎn)生一定的距離且與下方結(jié)構(gòu)分離開的前提下，采用29 mm外徑并向下延伸，形成延伸鎢結(jié)構(gòu)。

圖9 中心填充半徑影響

延伸鎢結(jié)構(gòu)等效于增加散射體的質(zhì)量，延伸鎢結(jié)構(gòu)為一個厚度1 mm的圓環(huán)，其高度不斷增加的同時，帶隙小幅度的上升，當(dāng)延伸鎢延伸至板平面時與平面發(fā)生固接，無法形成帶隙結(jié)構(gòu)，從圖10(a)可以看出，在12 mm處延伸鎢結(jié)構(gòu)逐漸接近于板結(jié)構(gòu)的上表面，此時頻率為21.29～472.38 Hz。

對于延伸鎢結(jié)構(gòu)下方連接的橡膠體，未添加底部橡膠時，上方金屬散射體僅作為附加質(zhì)量，添加底橡膠后，橡膠與上方金屬散射體形成彈性結(jié)構(gòu)，對一定范圍內(nèi)的振動進(jìn)行抑制。當(dāng)橡膠的高度不斷向上延伸，圓環(huán)形結(jié)構(gòu)受板平面的作用越小，隔振效果減弱，在高度為2 mm時產(chǎn)生最佳效果,見圖10(b)。

圖10 延伸鎢及加底橡膠結(jié)構(gòu)

3 振動衰減特性與隔聲降噪性能

3.1 振動衰減特性

對最優(yōu)參數(shù)聲子晶體結(jié)構(gòu)擴(kuò)展分析隔振能力，使用有限元軟件Comsol固體力學(xué)模塊進(jìn)行基本模型、優(yōu)化模型振動衰減能力研究，將模型單胞設(shè)置為3×7周期性排列板結(jié)構(gòu)，橫向延伸一個晶格大小板結(jié)構(gòu)組成激勵端及相應(yīng)端，對于進(jìn)行試驗的結(jié)構(gòu)來說，需要在板的三端均分處添加支撐以維持結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，如圖11上方示意結(jié)構(gòu)，在基本模型及優(yōu)化模型平面X、Y邊界上添加Bloch周期性邊界條件，在板的兩端添加完美匹配層使其有效吸收向外傳輸?shù)膹椥圆?，減小此因素對隔振效果影響，在板結(jié)構(gòu)的兩端分別為拾取端及激勵端，在激勵端邊界位置施加垂直于板平面向上的單位平均位移，拾取端獲取位移激勵經(jīng)過板結(jié)構(gòu)后的響應(yīng)，兩者作為傳輸特性曲線的參考值，傳輸特性曲線表示為

(7)

式中，EI為輸入端激勵；EL為輸出端響應(yīng)。

如圖11所示，在0～400 Hz之間設(shè)置5個單位的頻率間隔步長，不僅在帶隙范圍89.38～188.40 Hz內(nèi)振動的傳輸?shù)玫捷^好的抑制效果，同時在帶隙范圍外存在方向帶隙形成具有振動抑制的效果，在135 Hz處振動衰減的效果最佳且下降幅度最大，而在180 Hz處對振動衰減的能力弱甚至無法隔振。

圖11 基本模型振動衰減曲線

如前文所示方法對優(yōu)化模型進(jìn)行傳輸，優(yōu)化板模型在22.53～728.67 Hz的頻率范圍具有較大幅度的振動衰減，在720 Hz處振動衰減能力降低。如圖12所示,振動衰減頻率隨帶隙范圍擴(kuò)大,同時在進(jìn)行優(yōu)化后，可看出在振動衰減的量上,優(yōu)化板具有著超過基本板結(jié)構(gòu)的趨勢，但同時在170 Hz左右也產(chǎn)生了不及基本板結(jié)構(gòu)的隔振效果，200 Hz時優(yōu)化板結(jié)構(gòu)的振動衰減量達(dá)到最大為169 dB,相較于基本板最優(yōu)振動衰減量提升30 dB左右，相似于基本板結(jié)構(gòu)，優(yōu)化板中也存在著部分振動頻率的振動衰減量不足的現(xiàn)象，這是由于設(shè)置精度以及計算數(shù)量所導(dǎo)致的。

圖12 優(yōu)化模型振動衰減曲線

3.2 隔聲降噪特性

基于振動結(jié)構(gòu)進(jìn)行隔聲能力分析時，采用聲-固耦合模塊計算獲得隔聲特性曲線及聲壓級云圖?？紤]到隔聲量計算不能將有孔結(jié)構(gòu)帶入計算中，因此去除模型的孔以及中心矩形結(jié)構(gòu)后如圖13所示，計算基本模型及優(yōu)化模型去孔結(jié)構(gòu)的帶隙范圍分別為：89.97～203.12 Hz、26.62～668.02 Hz。

圖13 去孔隙單胞結(jié)構(gòu)

為分析計算基本模型、優(yōu)化模型隔聲量,模型按照傳輸損耗的形式建立，模型上下方添加聲腔結(jié)構(gòu)，下方聲腔為背景壓力場，聲壓從下方入射上方拾取，計算公式與振動衰減特性相同，在上下兩端添加完美匹配層(PML)，在模型四周設(shè)置周期性邊界條件進(jìn)行計算。隔聲降噪需要將其他頻率下的工作情況納入考慮，因此設(shè)定計算范圍為頻率0～1 000 Hz內(nèi)的隔聲量的影響。

從圖14所示隔聲曲線得知，右側(cè)聲壓級大小從下到上依次增大，在10～1 000 Hz之間的振動頻率下，基本板隔聲量呈拋物線型增加趨勢，最終趨向于39.53 dB左右的隔聲量，而優(yōu)化板在較低頻率20 Hz處產(chǎn)生的隔聲量雖不及基本板，但在后續(xù)振動頻率下形成非常優(yōu)異的隔聲效果，從圖14可看出基本板與優(yōu)化板在低頻范圍下就能產(chǎn)生較好的隔聲性能。

圖14 板結(jié)構(gòu)隔聲曲線

在40 Hz處優(yōu)化板產(chǎn)生了優(yōu)于基本板的隔聲效果，選取該點(diǎn)位聲壓級云圖可看出，經(jīng)過優(yōu)化板之后的上方聲腔結(jié)構(gòu)中其聲壓級近乎接近于15 dB以下，在110、580、630、720 Hz處產(chǎn)生了隔聲谷，同樣在220 Hz處基本板結(jié)構(gòu)產(chǎn)生首次較大隔聲量。

從200 Hz基本板隔聲谷處聲壓級云圖得知，在此頻率下的聲壓級云圖在聲腔內(nèi)不能有效形成該頻率下的聲音隔離，即聲壓穿透板結(jié)構(gòu)后未能有效被隔離，從上述內(nèi)容可以看出優(yōu)化后板結(jié)構(gòu)比優(yōu)化前板結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)更加低頻的隔聲。

4 結(jié)論

針對低頻振動噪聲的問題，設(shè)計了一種內(nèi)嵌式局域共振型聲子晶體板結(jié)構(gòu)，利用彈簧振子模型計算了聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙，使用有限元法計算能帶結(jié)構(gòu)圖驗證理論計算，在基本結(jié)構(gòu)上改變幾何及材料因素獲得低頻寬帶隙，建立周期性陣列結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化前后振動傳輸特性，建立無孔隙模型分析隔聲量差異。主要得出以下結(jié)論：

(1)局域共振型聲子晶體板結(jié)構(gòu)所計算的等效彈簧振子模型與有限元法計算結(jié)果相符，說明板結(jié)構(gòu)工作機(jī)理與散射體及基體之間的共振耦合相關(guān)。為實現(xiàn)低頻寬帶隙要求，研究板結(jié)構(gòu)的材料幾何參數(shù)對帶隙的影響，結(jié)果表明,金屬鎢對低頻寬帶隙影響效果最優(yōu)，減小板的厚度、增大中心填充率、添加延伸鎢加底橡膠能夠?qū)崿F(xiàn)低頻寬帶隙要求。

(2)經(jīng)板結(jié)構(gòu)優(yōu)化后對比，隔振特性及隔聲量隨著帶隙范圍的增大而增大，優(yōu)化板有限周期結(jié)構(gòu)實現(xiàn)帶隙范圍內(nèi)的振動傳輸禁帶，同時優(yōu)化板在帶隙范圍內(nèi)外形成較好的隔聲效果，相比于基本板結(jié)構(gòu)有著極大的提升。

研究可為實用型聲子晶體板結(jié)構(gòu)提供理論依據(jù)，對解決生活中低頻隔振降噪問題提供了一種新的參考。