徐文青,李 健,吳昭景

(煙臺大學數(shù)學與信息科學學院,山東煙臺 264005)

1 引言

風力發(fā)電由于其環(huán)保、高效和可持續(xù)性等優(yōu)點目前已成為主要發(fā)電方式之一.變速風力渦輪機是風力發(fā)電的核心設備.為了提高風能轉(zhuǎn)化效率,需要根據(jù)風力變化有針對性地調(diào)整渦輪機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速[1–3].因此,渦輪機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)問題一直是風力發(fā)電領域的核心控制問題.需指出的是,由于渦輪機系統(tǒng)非線性特性以及參數(shù)、擾動等不確定性的存在,該領域內(nèi)許多具有顯著科學意義和實際應用價值的控制問題尚未解決.

為了最大限度地捕獲風能,渦輪機系統(tǒng)需要根據(jù)風力變化在線調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速以達到期望轉(zhuǎn)速(即參考信號).近20年以來,變速風力渦輪機系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)問題得到持續(xù)研究[3–20].然而在實際工程中,受測量設備的不準確性和外部工作環(huán)境等因素的影響,描述系統(tǒng)動態(tài)的模型不可避免地存在不確定性(例如系統(tǒng)未知參數(shù)和外部擾動),這往往給控制設計和分析帶來本質(zhì)困難.針對不確定變速風力渦輪機系統(tǒng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)問題,多種控制設計方法被提出,例如:魯棒控制[4]、自適應(非魯棒)控制[3,5–6]、滑?？刂芠7–9]等,但現(xiàn)有文獻對系統(tǒng)不確定性和參考信號(即期望轉(zhuǎn)速)都有較嚴格的約束,限制了理論結(jié)果的可應用性.具體地:

1) 現(xiàn)有文獻要求系統(tǒng)參數(shù)部分或全部已知,擾動可導或其上界已知.具體地,文獻[4]要求系統(tǒng)部分參數(shù)未知而其他參數(shù)精確已知,文獻[3]允許系統(tǒng)參數(shù)未知但未考慮外部擾動,文獻[5,8–9]雖然同時考慮系統(tǒng)存在未知參數(shù)和擾動,但擾動必須上界已知或擾動本身及其一、二階導數(shù)必須有界.需要指出的是,由于變速風力渦輪機結(jié)構(gòu)的復雜性,許多系統(tǒng)參數(shù)的真實值往往難以獲得.此外,惡劣的工作環(huán)境常導致渦輪機不可避免地遭受外部擾動的影響,且擾動往往具有非光滑特性(甚至不連續(xù)性)和較嚴重的未知性(例如上界未知).上述不確定性的存在將導致渦輪機系統(tǒng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)控制設計中出現(xiàn)本質(zhì)的技術困難.

2) 現(xiàn)有文獻要求參考信號具有較強的光滑性(例如至少二階可導)和可測性(例如其一或二階導數(shù)可測).具體地,文獻[3,5–6]要求參考信號二階可導,因此排除了一大類低光滑性(例如僅一階可導)信號.文獻[3,5,7,10,12]除了要求參考信號本身可測,還要求其一或二階導數(shù)可測,這意味著需要更多的測量設備來獲取更多的信號,加重了控制器的測量負擔.因此,當參考信號具有較強的一般性(僅一階可導)且僅有少量信息可量測(例如其導數(shù)不可測)時,現(xiàn)有的控制設計方法無效.

注意到現(xiàn)有文獻對系統(tǒng)不確定性和參考信號兩方面的限制,未來一個值得進一步研究的有意義的問題是: 當系統(tǒng)存在較強的不確定性以及參考信號僅有少量信息可測時,如何設計控制器使系統(tǒng)轉(zhuǎn)速跟蹤到期望的轉(zhuǎn)速?這亦是本文的主要控制目標.與相關文獻不同,本文所研究的變速風力渦輪機系統(tǒng)參數(shù)全部未知,系統(tǒng)的兩個通道(轉(zhuǎn)子動力學通道和勵磁機動力學通道)都含有擾動且擾動不必可導,上界不必已知,因而具有更嚴重的不確定性,現(xiàn)有控制設計方法不能適用.為了解決上述問題,本文首先定義坐標變換,給出誤差系統(tǒng),將原系統(tǒng)的跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題.然后,對誤差系統(tǒng)選擇適當?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù),將自適應動態(tài)補償技術融入反推控制設計框架,給出自適應狀態(tài)反饋控制器顯示形式.通過巧妙地選擇自適應律,有效克服現(xiàn)有文獻對系統(tǒng)不確定性及參考信號的嚴格限制,同時使得所設計的控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界且系統(tǒng)輸出(即轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速)在某個時刻之后到達并且保持在參考信號(即期望轉(zhuǎn)速)的給定鄰域內(nèi).最后,仿真實驗驗證理論結(jié)果的有效性.值得指出的是,本文所設計的控制器僅依賴于參考信號本身而不依賴其導數(shù),因而降低了相關文獻對參考信號可量測性的限制.

本文的其余部分組織為:第2節(jié)給出所研究的變速風力渦輪機系統(tǒng)和控制目標;第3節(jié)展示控制設計的過程;第4節(jié)分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能;第5節(jié)通過仿真實驗驗證理論結(jié)果的有效性;第6節(jié)是總結(jié).

2 問題描述

本文考慮如下一類變速風力渦輪機系統(tǒng)[2–3],其結(jié)構(gòu)如圖1所示.

其中:ω(t)∈R和If(t)∈R分別是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和場電流,uf(t)∈R是控制輸入,d1(t),d2(t)∈R是擾動(包含了系統(tǒng)未建模動態(tài)和外部環(huán)境對系統(tǒng)的影響),pi,i=1,2,···,5是未知的系統(tǒng)參數(shù),它們定義如下:

其中:J=Jm+γ2Je是總轉(zhuǎn)動慣量,Jm,Je∈R分別為渦輪端的轉(zhuǎn)動慣量和發(fā)電機端的轉(zhuǎn)動慣量,γ=∈R是齒輪傳動比,B ∈R是總摩擦系數(shù),c,K? ∈R是風力渦輪機操作或設計相關的常數(shù),kω是恒定風速到功率傳遞參數(shù),Rf∈R是轉(zhuǎn)子磁場的電阻,L是電路的恒電感值.系統(tǒng)(1)的兩個方程分別描述了轉(zhuǎn)子動態(tài)和勵磁機動態(tài),其結(jié)構(gòu)分別由圖1和圖2所示.

圖1 變速風力渦輪機系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure graphing of the overall system of VSWT

圖2 變速風力渦輪機電氣子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure graphing of the electrical subsystem of VSWT

本文的控制目標是對變速風力渦輪機系統(tǒng)(1)設計控制電壓uf使所得閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號有界,同時系統(tǒng)輸出(即轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速ω)實際跟蹤到給定參考信號(即期望轉(zhuǎn)速ωr,滿足如下假設1),即,對給定的跟蹤精度λ1(任意正常數(shù)),存在某個有限時刻T >0,使得|ω ?ωr|<λ1,?t>T.

為確?？刂颇繕说膶崿F(xiàn),如下給出擾動和參考信號需滿足的條件.

假設1存在未知常數(shù)M1,使得

假設2存在未知常數(shù)M2,使得

系統(tǒng)(1)中d1,d2分別表示未建模動態(tài)(例如,d1可表示扭轉(zhuǎn)效應)和外部環(huán)境對系統(tǒng)的影響(例如,d2可表示電子元器件發(fā)熱導致的能量損耗).假設1表明擾動僅需有未知上界且不必是光滑的,而現(xiàn)有文獻或要求擾動具有已知上界(見文獻[8–9])或擾動必須是光滑的(見文獻[5]),因此本文所研究的系統(tǒng)具有更嚴重的不確定性且允許非光滑(甚至非連續(xù))擾動.假設2表明參考信號(即期望轉(zhuǎn)速)僅需一階可導,而在文獻[3,5–6]中要求參考信號二階可導,因此本文所提理論結(jié)果將適用于更廣泛類型的參考信號.

3 控制設計

對系統(tǒng)(1)引入下面的坐標變換1為了減少符號負擔,在不引起混淆的情況下,下文將忽略自變量t.:

其中uv是待定的虛擬控制.由式(1)–(2)可以得到以下誤差系統(tǒng):

如下通過兩步反推變換設計控制器:

步驟1定義Lyapunov函數(shù)

根據(jù)復合函數(shù)連續(xù)可微性的判據(jù),容易驗證V1關于時間變量t是連續(xù)可微的,且V1關于e1的導數(shù)為

由式(3)的第1個方程,式(4)–(5)得到

其中:?(k1)是C1類函數(shù)且滿足Nussbaum增益性質(zhì)2函數(shù)? ∈C1滿足(例如cosk1),k1滿足如下自適應律:

注1與已有文獻不同的是,本文所選取的虛擬控制uv不含有(見式(9)),因此后續(xù)推導過程中求虛擬控制的導數(shù)時不需要對求偏導(見下文式(15)),從而不需要參考信號關于時間變量的更高階導數(shù).這種處理技術去除了已有文獻對ωr具有更高階導數(shù)的限制.

接下來分兩種情形討論.

其中λ2是任意給定的正常數(shù).容易驗證V2關于時間變量t是連續(xù)可微的,且V2關于e2的導數(shù)為

根據(jù)式(3)的第2個方程和式(9)可得

接下來分兩種情形討論.

注2由式(7)(16)可以看出,未知參數(shù)以及擾動和參考信號的未知界被集總到和中,隨后通過巧妙地選取自適應律˙k1和˙k2來補償系統(tǒng)存在的不確定性和未知性.

注3如下將利用式(11)(20)首先給出k1(t),k2(t)的有界性(由下文命題1給出),然后證明閉環(huán)系統(tǒng)的期望性能(由下文定理1給出).

4 性能分析

本節(jié)分析所得閉環(huán)系統(tǒng)的性能.作為準備,首先給出控制增益k1,k2的有界性,然后給出主要定理總結(jié)本文的主要結(jié)果.

命題1分別由式(10)和式(19)定義的控制增益k1(t),k2(t)在[0,+∞)上是有界的.

證首先證明k2(t)在[0,+∞)上是有界的.由(t)≥0得到k2(t)是單調(diào)遞增函數(shù).對式(20)兩邊在[0,t]上積分有

亦形成矛盾.所以假設不成立,則k1(t)在[0,+∞)上是有界的.同理可得V1(t),e1(t)在[0,+∞)上有界. 證畢.

定理1對于滿足假設1和假設2的系統(tǒng)(1),自適應控制器(10)(18)–(19)保證所得閉環(huán)系統(tǒng)具有以下性能:

1) 閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號在[0,+∞)上有界;

2) 對于任意的常數(shù)λ1>0,存在一個有限時刻T >0,使得|e1|=|ω ?ωr|<λ1,?t>T.

證先證閉環(huán)系統(tǒng)信號的有界性.實際上,由定理1及方程組(2)的第1個方程可得ω在[0,+∞)上有界,進而式(9)可給出uv在[0,+∞)上有界,方程組(2)的第2個方程可給出If在[0,+∞)上有界,最后式(18)給出uf在[0,+∞)上有界.

5 仿真

本節(jié)首先給出本文所設計控制器的仿真結(jié)果,驗證所提方法的有效性.然后將本文所設計控制器仿真結(jié)果與PID控制器仿真結(jié)果作對比,體現(xiàn)本文所提方法的先進性.

5.1 仿真實驗

本小節(jié)通過仿真實驗驗證所設計的控制器的有效性.對系統(tǒng)(1),系統(tǒng)參數(shù)的真實值由表1[2]給出,參考信號為

表1 變速風力渦輪機模型參數(shù)Table 1 Values of the parameters for VSWT

應用控制器式(18)(其中?(ki)=coski,i=1,2),分別在以下兩種情形下進行仿真.

1) 假設擾動、跟蹤精度、控制器參數(shù)和初值條件為

2) 假設擾動、跟蹤精度、控制器參數(shù)和初值條件為

在MATLAB中仿真,得到仿真圖3–7.其中,圖3表明跟蹤誤差在某時刻之后進入并保持在原點的給定鄰域.圖4表明系統(tǒng)輸出ω在某時刻之后跟蹤到并保持在參考軌跡的給定鄰域.圖5–6分別表明閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)和控制電壓是有界的.圖7表明時變控制器增益k1和k2是有界的.

圖3 轉(zhuǎn)速跟蹤誤差(左圖情形1,右圖情形2)Fig.3 The rotor speed tracking errors(left for case 1,right for case 2)

圖4 轉(zhuǎn)速跟蹤效果(左圖情形1,右圖情形2)Fig.4 The rotor speed tracking results(left for case 1,right for case 2)

圖5 狀態(tài)軌跡(左圖情形1,右圖情形2)Fig.5 Trajectories for the states(left for case 1,right for case 2)

圖6 控制軌跡(左圖情形1,右圖情形2)Fig.6 Trajectories for the control law(left for case 1,right for case 2)

圖7 控制器增益k1和k2 的軌跡(左圖情形1,右圖情形2)Fig.7 Trajectories for the time-varying controller gains k1and k2 (left for case 1,right for case 2)

5.2 與PID控制的比較

本小節(jié)給出所提控制器與PID控制器的仿真結(jié)果比較,以體現(xiàn)本文所提控制器在控制器參數(shù)選取方面的靈活性.

實際上,本文的控制目標也可由PID控制器實現(xiàn).然而,與本文控制器參數(shù)可以較方便地選取(即僅需γ1,γ2為正)不同的是,PID方法的控制效果嚴重地依賴其控制器參數(shù)的選取,隨便選取的控制器參數(shù)難以保證期望的控制性能.例如,對系統(tǒng)(1)選取如下PID控制器:

其中:cp,ci,cd是控制器參數(shù),e1,分別由式(2)–(3)的第1個方程給出.在第5.1節(jié)所選取的系統(tǒng)參數(shù)、參考信號以及情形1下,選取PID控制器參數(shù)為cp=17.2,ci=?3,cd=0.025,在情形2下,選取PID控制器參數(shù)為cp=9,ci=?1.5,cd=0.3,所得仿真圖8顯示跟蹤誤差不能在某時刻之后保持在原點的給定鄰域中.

圖8 PID 跟蹤誤差軌跡(左圖情形1,右圖情形2)Fig.8 Trajectories for the tracking errors by PID method(left for case 1,right for case 2)

6 總結(jié)評述

本文解決了一類變速風力渦輪機系統(tǒng)的跟蹤控制問題.由于所研究的系統(tǒng)參數(shù)全部未知、兩個通道都含有擾動且擾動不必可導,上界不必已知,因此現(xiàn)有的控制設計方法無效.為此,本文將自適應動態(tài)補償機制與反推方法結(jié)合,給出了系統(tǒng)實際跟蹤控制設計與分析的新框架.在此基礎上,給出了狀態(tài)反饋控制器的顯式形式,保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界且渦輪機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速實際跟蹤到期望的轉(zhuǎn)速.此外,由于所設計的控制器僅依賴于參考信號本身而不依賴其導數(shù),因而降低了相關文獻對參考信號可量測性的限制.需指出的是,本文僅關注閉環(huán)系統(tǒng)信號的有界性等穩(wěn)態(tài)性能而忽視跟蹤到達時間和超調(diào)等實際控制過程中經(jīng)常關注的瞬態(tài)性能.因此,如何設計反饋控制器使得在保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的同時還確保預先設定的暫態(tài)性能是非常有意義且值得進一步研究的控制問題.