周華成

(中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410083)

1 引言

帶干擾的偏微分方程鎮(zhèn)定問(wèn)題是分布參數(shù)系統(tǒng)控制理論研究的重要內(nèi)容之一.近年來(lái)許多控制方法如滑模控制、自適應(yīng)控制、自抗擾控制等方法被人們大量的應(yīng)用到這類問(wèn)題研究中.中國(guó)科學(xué)院韓京清先生在文獻(xiàn)[1]中提出自抗擾控制方法,主要思想是設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)干擾并實(shí)時(shí)消除干擾,這是一種旨在對(duì)付系統(tǒng)大不確定性的新的控制理論,在工業(yè)控制中顯示出巨大的潛力應(yīng)用(參見文獻(xiàn)[2–4]).文獻(xiàn)[5]首次把自抗擾控制用于一維的波動(dòng)方程中,隨后應(yīng)用到Euler-Bernoulli 梁方程[6]和Schr¨odinger方程[7].文獻(xiàn)[5–7]采用的策略是把偏微分方程中的邊界擾動(dòng)通過(guò)試驗(yàn)函數(shù)轉(zhuǎn)換成帶擾動(dòng)的常微分系統(tǒng),從而可以直接應(yīng)用文獻(xiàn)[1]中的自抗擾擴(kuò)展觀測(cè)器設(shè)計(jì).對(duì)于高維偏微分方程系統(tǒng),文獻(xiàn)[8–9]提供了結(jié)合時(shí)變覆蓋和逐點(diǎn)估計(jì)的自抗擾方法,獲得高維波動(dòng)方程和Kirchhoff板方程的穩(wěn)定性結(jié)果.最近的輸出反饋控制進(jìn)展是基于不連續(xù)控制設(shè)計(jì)和基于無(wú)窮維擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器,文獻(xiàn)[10–11]給出了一維波動(dòng)方程的漸近穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[12–13]給出了一維波動(dòng)方程的指數(shù)穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[14–15]獲得了Euler-Bernoulli梁的指數(shù)穩(wěn)定性,而高維波動(dòng)方程輸出反饋漸近穩(wěn)定性可參見文獻(xiàn)[16].需要指出的是文獻(xiàn)[10]提出的無(wú)窮維擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器是一種革新的處理干擾方法,近期獲得了極大的發(fā)展,如一維波動(dòng)方程性能輸出調(diào)節(jié)[17–18],一維熱方程性能輸出[19]和高維熱方程的性能輸出[20].

注意到文獻(xiàn)[5–7,10–14,16,21]討論的受控偏微分方程系統(tǒng)在不帶擾動(dòng)時(shí)都是線性系統(tǒng),而當(dāng)受控偏微分系統(tǒng)本身就是非線性時(shí),處理不確定擾動(dòng)尤為困難,文獻(xiàn)[22]給出了sine-Gordon方程含有調(diào)和干擾的自適應(yīng)控制方法并獲得漸近穩(wěn)定性例子.由于sine-Gordon方程的非線性,自文獻(xiàn)[22]之后,據(jù)筆者所知,尚未有新的關(guān)于帶干擾的非線性偏微分系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)果.受文獻(xiàn)[22]啟發(fā),本文利用自抗擾控制方法處理邊界含有內(nèi)部不確定和外部擾動(dòng)的非線性偏微分的鎮(zhèn)定問(wèn)題.

考慮如下具有非線性項(xiàng)的sine-Gordon方程

因此控制算子B2對(duì)半群eAt是可允許的.根據(jù)引理1,開環(huán)系統(tǒng)(1)存在唯一解(w,wt)∈C(0,∞;HL).證畢.

2 控制器設(shè)計(jì)

為了能夠消除干擾,筆者首先為系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)無(wú)窮維總擾動(dòng)估計(jì)器如下:

其中(z0,z1,v0,v1)是系統(tǒng)(5)的初值,可以任意選取.可調(diào)參數(shù)c1,c2是兩個(gè)大于零的正常數(shù).“z–子系統(tǒng)”用來(lái)把總擾動(dòng)F(t)=f(w(·,t),wt(·,t))+d(t)從受控系統(tǒng)(1)中分離,并帶入到一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)中去.事實(shí)上,令

直接驗(yàn)證可知p(x,t)滿足如下偏微分方程:

為證明系統(tǒng)(6)的適定性和有界性,本文參考文獻(xiàn)[12]中的引理2.

引理2假設(shè)U1,U2,X是3個(gè)Hilbert空間.算子A在Hilbert空間X中生成指數(shù)穩(wěn)定的C0半群eAt,算子B1∈L(U1,X?1),B2∈L(U2,X?1)是兩個(gè)對(duì)半群eAt可允許的控制算子.則初值問(wèn)題

引理3假設(shè)外部干擾d ∈L∞[0,∞),內(nèi)部不確定f ∈C(HL,R),使得系統(tǒng)(1)存在唯一解并且是有界的.則對(duì)任意初值(p0,p1)T∈H,系統(tǒng)(6)存在唯一解(p,pt)T∈C(0,∞;H)并且

在控制律(16)中,?kwt(1,t)是用來(lái)鎮(zhèn)定系統(tǒng),vx(1,t)+c2v(1,t)是用來(lái)補(bǔ)償(取消)總擾動(dòng),這一步是自抗擾控制的取消補(bǔ)償思想[1].

最后,由式(5)和式(16)可得到sine-Gordon系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng):

在Hilbert空間X=HL×H2中考慮系統(tǒng)(17).

3 閉環(huán)系統(tǒng)適定性和穩(wěn)定性

為證明閉環(huán)系統(tǒng)(17)的適定性和穩(wěn)定性,首先考慮如下系統(tǒng):

注意到sin(w(·,t))滿足全局Lipschitz條件,再根據(jù)引理1,可知系統(tǒng)(18)的“w–子系統(tǒng)”存在唯一解.因此閉環(huán)系統(tǒng)(18)存在唯一解.

第2步證明指數(shù)穩(wěn)定性.

定義Lyapunov 泛函V(t)=V1(t)+V2(t),其中V1(t)和V2(t)分別為

由此,再根據(jù)引理4和β ∈(?π2/4,π2/4),可以得知引理5結(jié)論成立. 證畢.

注1如果β=0,可以根據(jù)引理4和文獻(xiàn)[12]中的引理2.1,直接獲得系統(tǒng)(19)的指數(shù)穩(wěn)定性.在引理5的證明中,由于sine-Gordon方程中非線性項(xiàng)βsin(w(x,t)),指數(shù)穩(wěn)定性不能直接由引理4和文獻(xiàn)[12]中的引理2.1獲得,本文采用Lyapunov方法證明系統(tǒng)(19)的指數(shù)穩(wěn)定性.

證利用p(x,t)=z(x,t)?w(x,t)和q(x,t)=v(x,t)+p(x,t),可以將閉環(huán)系統(tǒng)(17)等價(jià)的轉(zhuǎn)換為如下系統(tǒng):

系統(tǒng)(17)的適定性等價(jià)與系統(tǒng)(21)的適定性.“(w,q)–子系統(tǒng)”獨(dú)立于“p–子系統(tǒng)”.根據(jù)引理5,“(w,q)–子系統(tǒng)”存在唯一解,并且存在常數(shù)M1,μ1>0滿足

注2在定理1中,僅假設(shè)內(nèi)部不確定擾動(dòng)f是(0,1)×L2(0,1)中的連續(xù)泛函,因此去掉了命題1中關(guān)于f滿足全局Lipschitz的條件.這是由于通過(guò)設(shè)計(jì)總擾動(dòng)估計(jì)器(5),把非線性總擾動(dòng)F(t)巧妙地從受控系統(tǒng)(1)中分離,并將帶入到指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)中.

注3根據(jù)定理1的證明可知,當(dāng)β=0時(shí),定理1的結(jié)論仍然成立.此時(shí)sine-Gordon方程退化為經(jīng)典的波動(dòng)方程.對(duì)這個(gè)經(jīng)典的波動(dòng)方程,不需要測(cè)量全部狀態(tài),只需要測(cè)量邊界x=0處的力wx(0,t)和x=1處的位移和速度{w(1,t),wt(1,t)}.相比文獻(xiàn)[21]中的結(jié)果(文獻(xiàn)[21]中量測(cè)是wt(1,t),w(x,t),x ∈[0,1],而結(jié)論是漸近穩(wěn)定),本文量測(cè)是{wx(0,t),w(1,t),wt(1,t)},得到指數(shù)鎮(zhèn)定結(jié)果.當(dāng)β=0時(shí),只需要測(cè)量邊界x=0處的力wx(0,t)和x=1處的位移w(1,t)的指數(shù)穩(wěn)定方法可參見綜述文獻(xiàn)[24].

4 數(shù)值模擬

對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)(17)進(jìn)行數(shù)值模擬.系統(tǒng)參數(shù)選取β=0.1,k=2,c1=1,c2=2,內(nèi)部模型不確定f(w(·,t),wt(·,t))=sin(w(0.5,t)),外部擾動(dòng)為d(t)=2 sint.系統(tǒng)的初值選取w(x,0)=2x ?x2,wt(x,0)=?2x+x2,v(x,0)=vt(x,0)=z(x,0)=zt(x,0)=0.從數(shù)值仿真圖1可以看出(w,wt)收斂很快,圖2和圖3看出(v,vt,z,zt)是有界的.圖4是總擾動(dòng)和控制u(t),可以看出在t=15后完全補(bǔ)償了擾動(dòng)F(t).因此數(shù)值仿真表明本文方法非常有效.

圖1 系統(tǒng)(17)的w–子系統(tǒng)的位移和速度Fig.1 The displacement and the velocity of w-subsystem of system(17)

圖2 系統(tǒng)(17)的v–子系統(tǒng)的位移和速度Fig.2 The displacement and the velocity of v-subsystem of system(17)

圖3 系統(tǒng)(17)的z–子系統(tǒng)的位移和速度Fig.3 The displacement and the velocity of z-subsystem of system(17)

圖4 系統(tǒng)(17)的總擾動(dòng)和控制u(t)Fig.4 The total disturbance and the control u(t) of system(17)

5 結(jié)論

本文通過(guò)針對(duì)具有內(nèi)部不確定和外部擾動(dòng)的非線性sine-Gordon方程,利用自抗擾方法設(shè)計(jì)了總擾動(dòng)觀測(cè)器在線估計(jì)未知總擾動(dòng),使用總擾動(dòng)的估計(jì)值在閉環(huán)反饋中實(shí)時(shí)補(bǔ)償(消除),同時(shí)借助于Lyapunov方法證明閉環(huán)中的受控系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性和擾動(dòng)觀測(cè)器是有界性,最后通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證控制設(shè)計(jì)的有效性.對(duì)非線性偏微分系統(tǒng)自抗擾仍有很多問(wèn)題有待研究,如可考慮輸出反饋控制和輸出跟蹤問(wèn)題.