黃景芳 ,劉康生 ,于 欣

(1.浙大寧波理工學(xué)院計算機(jī)與數(shù)據(jù)工程學(xué)院,浙江寧波 315100;2.浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,浙江杭州 310027)

1 引言

時間最優(yōu)控制問題是一類典型的最優(yōu)控制問題,受到研究者的廣泛關(guān)注[1–8].然而,上述研究都是控制作用在連續(xù)的時間區(qū)間.關(guān)于脈沖控制的無限維時間最優(yōu)控制問題的研究較少,Duan和Wang[9]對一類時間最優(yōu)脈沖控制的線性拋物系統(tǒng)進(jìn)行了研究,得到了最優(yōu)控制的存在性和bang-bang性,以及最小時間泛函關(guān)于控制約束界和脈沖時刻的連續(xù)性.Wang[10]對一類時間最優(yōu)脈沖控制的半線性熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行了研究,得到了極小時間最優(yōu)脈沖控制問題和極小范數(shù)最優(yōu)脈沖控制問題的等價性.

偏微分方程最優(yōu)控制問題的數(shù)值計算與逼近方法是近年來非?；钴S的領(lǐng)域,但是,關(guān)于無限維系統(tǒng)時間最優(yōu)控制問題的有限維逼近的相關(guān)研究比較少.Knowles[11]研究了具有邊界控制的線性拋物型偏微分方程時間最優(yōu)控制問題的有限元逼近,得到了最優(yōu)時間的誤差估計,其中控制是取值于有限維空間,不需要逼近.Lasiecka[12]研究了具有邊界控制的線性拋物型偏微分方程時間最優(yōu)控制問題的有限元逼近,證明了最優(yōu)時間和最優(yōu)控制的收斂性.Wang和Zheng[13]研究了線性熱傳導(dǎo)方程的時間最優(yōu)內(nèi)部控制問題的有限元逼近,利用Pontryagin最大值原理得到最優(yōu)時間的誤差估計.Huang[14]和合作者研究了半線性熱傳導(dǎo)方程的時間最優(yōu)控制問題的有限元逼近,對非光滑初值得到了最優(yōu)時間的誤差估計.Liu[15]和合作者研究了抽象拋物系統(tǒng)的時間最優(yōu)控制問題有限維逼近的最優(yōu)時間的誤差估計.然而,上述文獻(xiàn)的控制作用時間都是在連續(xù)的時間區(qū)間.在本文中,將研究熱傳導(dǎo)方程的脈沖時間最優(yōu)控制問題的有限元逼近,控制只施加在離散的脈沖時刻.Yu[16]和合作者研究了具有二次型指標(biāo)和脈沖控制的熱傳導(dǎo)方程最優(yōu)控制問題的有限元逼近,給出了誤差估計.對于熱傳導(dǎo)方程的脈沖時間最優(yōu)控制問題的有限元逼近的收斂性,未見研究文獻(xiàn),本文將證明熱傳導(dǎo)方程的脈沖時間最優(yōu)控制問題的有限元逼近的最優(yōu)時間和最優(yōu)控制的收斂性.

令?為Rd(d=1,2,3)中具有光滑邊界??的有界凸的開區(qū)域.令ω為?的非空開子集.考慮如下脈沖控制的熱傳導(dǎo)方程:

如果式(3)不成立,則T?=τ.因此,在式(3)的假設(shè)之下,有T?>τ.如果u?∈U使得式(1)的解滿足y(T?;y0,u?)∈B(0,r),則稱u?為問題(T P)的一個時間最優(yōu)脈沖控制(簡稱最優(yōu)控制).容易驗證問題(T P)的最優(yōu)控制是存在的(文獻(xiàn)[9]引理3.1).

首先構(gòu)建問題(T P)的有限元逼近.考慮的一族三角形剖分τh(剖分直徑h)以及ˉω的一族三角形剖分(剖分直徑l),使用連續(xù)分片線性有限元分別對狀態(tài)空間和控制空間進(jìn)行離散,建立時間最優(yōu)脈沖控制逼近問題(T Phl).本文的目的是研究逼近問題最優(yōu)時間和最優(yōu)控制的收斂性.

本文的結(jié)構(gòu)如下:在第2章中介紹時間最優(yōu)脈沖控制問題的有限元逼近;在第3章中給出主要結(jié)果–—逼近問題最優(yōu)時間和最優(yōu)控制的收斂性.

2 有限元逼近

在這一節(jié)中,將要構(gòu)建時間最優(yōu)脈沖控制問題(T P)的有限元逼近.為此,考慮的一族三角形剖分Th,剖分直徑

邊界元允許有曲邊(d=2)或曲面(d=3).并且,假定剖分是正則的且是擬一致的.

在三角形剖分Th上,采用連續(xù)分片線性函數(shù)構(gòu)成的有限元空間(?)

3 最優(yōu)時間和最優(yōu)控制的收斂性

在這一節(jié)中,將討論問題(T P)和(T Phl)最優(yōu)時間和最優(yōu)控制的收斂性.用C表示不依賴于h和l的一般正常數(shù).

為了得到最優(yōu)時間的收斂性,需要應(yīng)用狀態(tài)方程解的如下誤差估計結(jié)果(文獻(xiàn)[21]定理3.2).

引理1對任意的v ∈L2(?)和t>0,存在C >0使得

為了研究最優(yōu)控制的收斂性,首先給出如下結(jié)果(文獻(xiàn)[9]定理2.1).

引理2假設(shè)式(3)成立.設(shè)u?是問題(T P)的最優(yōu)控制.則u?是唯一的,并且是bang-bang控制,即

現(xiàn)在給出最優(yōu)時間的收斂性.

定理1假設(shè)式(3)成立.設(shè)T?和分別為問題(T P)和(T Phl)的最優(yōu)時間.那么