張 燦

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢 430072)

1 主要結(jié)果

偏微分方程的能觀性不等式,即用解的局部信息(如部分區(qū)域上的值)估計(jì)其在整體空間上的大小.能觀性不等式在研究偏微分方程的能控性,范數(shù)和時(shí)間最優(yōu)控制問題,以及形狀優(yōu)化等方向上有著重要應(yīng)用.對于有界區(qū)域上線性拋物方程的能觀性不等式研究,當(dāng)能觀性不等式的觀測集是開集時(shí),主要有兩種證明方法:第1種是法國Lebeau和Robbiano等人發(fā)明的譜方法[1],該方法的想法是利用無窮步迭代思想和方程解的指數(shù)衰減性構(gòu)造零控制,從而間接地給出能觀性估計(jì)式.其最本質(zhì)工具是橢圓方程的譜不等式.但該方法只能處理偏微分方程的系數(shù)只依賴于空間變量情形;第2種是俄羅斯Fursikov和Imanuvilov等人發(fā)明的全局Carleman估計(jì)方法[2],該方法的特點(diǎn)是先建立含低階項(xiàng)的能觀性加權(quán)不等式,然后選擇合適的參數(shù)將多余的低階項(xiàng)吸收掉(參看文獻(xiàn)[3]).

但對于熱方程,若觀測集不再是開集,而是更加一般的Lesbegue可測集,則如何建立相應(yīng)的能觀性不等式在過去較長一段時(shí)間內(nèi)一直都未解決.而這個(gè)問題是研究控制論中一重要問題–熱方程時(shí)間最優(yōu)控制bang–bang性的基礎(chǔ)之一.

近年來,作者與合作者們一起建立了一套導(dǎo)出期待的能觀性估計(jì)的新方法[4–7].即證明當(dāng)觀測集是任何一個(gè)時(shí)空Lebesgue正可測集時(shí),具有解析系數(shù)的拋物方程的能觀性不等式成立.該方法依賴于此類偏微分方程的定量唯一延拓性估計(jì)式,通過發(fā)展經(jīng)典的實(shí)解析函數(shù)的定量估計(jì)式,得到解在正可測集上的能觀性估計(jì).該方法具有3個(gè)優(yōu)點(diǎn):第一,能夠給出能觀性常數(shù)可以只依賴于空間觀測區(qū)域的大小,但不依賴于其形狀與位置;第二,可以得到時(shí)間變量在正可測集上的能觀性估計(jì)式;第三,避開了傳統(tǒng)Carleman型估計(jì)式,從而可以處理偏微分方程組情形.

準(zhǔn)確地說,假設(shè)u滿足如下的二階線性拋物方程:

在這里,?是Rn中一個(gè)有界的C2光滑區(qū)域,?和div分別是Rn中的梯度算子和散度算子,對稱的系數(shù)矩陣A:?×(0,∞)→Rn×n滿足Lipschitz連續(xù)性和一致橢圓型條件,即存在一個(gè)常數(shù)L≥1使得

在系數(shù)滿足實(shí)解析性的假設(shè)條件下,筆者在文獻(xiàn)[6]中得到了下面的結(jié)論:

定理1[6]令T ∈(0,1]和B2R(x0)??.假設(shè)方程(1)中的系數(shù)矩陣A(·)在柱形區(qū)域B2R(x0)×(0,1)中關(guān)于空間變量是實(shí)解析的.設(shè)O∈BR(x0)×(0,T)為一個(gè)(n+1)維的Lebesgue正可測集.則存在常數(shù)C>0使得能觀性不等式

對方程(1)所有解都成立,其中常數(shù)C只依賴于?,O,L,n,T和系數(shù)的實(shí)解析參數(shù).

文獻(xiàn)[6]主要創(chuàng)新點(diǎn)是方程(1)的解關(guān)于空間變量的實(shí)解析收斂半徑可以不依賴于時(shí)間變量.具體來說,在方程系數(shù)滿足實(shí)解析性條件下,本文證明其解滿足定量的實(shí)解析性估計(jì)式

其中常數(shù)ρ ∈(0,1).該不等式允許本文對實(shí)解析函數(shù)u(·,t)使用解析函數(shù)的小量傳播性定量估計(jì).值得注意的是,由于實(shí)解析收斂半徑不依賴于時(shí)間變量,從而得到的能觀性常數(shù)關(guān)于時(shí)間變量可以是一致的.

在上述提到的一系列研究工作中,雖然筆者引入的方法避開了傳統(tǒng)的Carleman估計(jì)式,但該方法的不足之處是,它只能適用于具有實(shí)解析系數(shù)的拋物型方程(組).在這篇文章中,將運(yùn)用新工具研究有界區(qū)域上具有非實(shí)解析系數(shù)的擴(kuò)散方程在Lebesgue可測集上的能觀性不等式.

在通篇文章中,總是假定? ?Rn為一個(gè)具有C2光滑邊界的有界區(qū)域.設(shè)函數(shù)u滿足如下的擴(kuò)散方程:

其中對稱矩陣函數(shù)A:? →Rn×n是C1的,且滿足一致橢圓型條件,即存在常數(shù)L≥1使得

熟知,該方程(2)有唯一解

這篇文章的主要結(jié)果是如下所述的能觀性與能控性.

定理2設(shè)T >0和O是時(shí)空區(qū)域?×(0,T)內(nèi)一個(gè)(n+1)維Lebesgue正可測集.則下面的兩個(gè)論述成立:

i) 存在正常數(shù)C >0,其只依賴于?,O,L,n和T,使得方程(2)的所有解都滿足如下的能觀性不等式

注1顯然,方程(2)的解不再關(guān)于空間變量實(shí)解析,從而文獻(xiàn)[4–6,8]中發(fā)明的解析性技巧不適用于建立該方程的解在可測集上的能觀性不等式.

注2上述能控性結(jié)果在時(shí)間或者范數(shù)最優(yōu)控制問題的bang–bang性研究中有重要作用.該結(jié)果在這兩類最優(yōu)控制問題的等價(jià)性研究中也有重要的應(yīng)用.關(guān)于這方面的研究,感興趣的讀者可以參看文獻(xiàn)[4–6,9–16].在本文的第3節(jié)中,將給出定理2在擴(kuò)散方程的時(shí)間和范數(shù)最優(yōu)控制問題中的應(yīng)用.

注3Burq等人最近在文獻(xiàn)[17]中通過構(gòu)造雙流形的復(fù)雜技巧,對于系數(shù)矩陣滿足W2,∞正則性的情形給出了類似的能觀性不等式.一方面,本文對于系數(shù)矩陣A(·)僅滿足C1正則性的情形,通過利用文獻(xiàn)[18]中關(guān)于橢圓系統(tǒng)的插值不等式結(jié)果,可以推得相應(yīng)的能觀性不等式成立.另一方面,本文的證明相較于文獻(xiàn)[17]更加直接與簡潔.

注4對于一般二階拋物方程,據(jù)筆者所知,其解在正可測集上的能觀性不等式仍然未知,這也是筆者將來繼續(xù)研究的方向.

值得一提的是,Logunov等人[19]對于二階橢圓微分方程的解及其梯度,建立了在可測集上的H¨older型估計(jì)式.其所采用的方法不依賴于系數(shù)的實(shí)解析性條件.在本文中,將直接運(yùn)用文獻(xiàn)[19]中的結(jié)果,以及文獻(xiàn)[1,20–21]中的經(jīng)典方法,證明式(2)的解在時(shí)空Lebesgue可測集上的能觀性不等式成立.

該文剩下的內(nèi)容安排如下: 將在第2節(jié)中證明定理2;在第3節(jié)中將給出其在時(shí)間和范數(shù)最優(yōu)控制問題中的應(yīng)用;最后將在第4節(jié)中給出兩個(gè)注記.

常用記號.在通篇文章中,記C(···)為一個(gè)正常數(shù),且其只依賴?yán)ɑ±锏膮⒘?這樣的記號同樣適用于θ,γ等其他常量.對于任意一個(gè)Lebesgue可測集E?Rn,本文令χE和|E|分別表示其特征函數(shù)和Lebesgue測度.記BR(x0)為Rn中以x0為圓心,半徑為R>0的開球,同時(shí)記?R(x0,0)為Rn+1中以(x0,0)為圓心,半徑為R的開球.

2 定理2的證明

在給出定理2的證明之前,本文首先引用文獻(xiàn)[19]定理5.1中關(guān)于橢圓方程解的小量傳播性估計(jì).

注5值得指出的是,文獻(xiàn)[19]給出了較上述引理更加一般的結(jié)論.

注6在上述引理中,筆者強(qiáng)調(diào)不等式(4)中的常數(shù)C和γ只依賴于觀測集的測度,并不依賴于其位置和形狀.這點(diǎn)在本文主要定理的證明中非常重要.實(shí)際上,類似的想法已經(jīng)在筆者先前工作[4–6,8]中用到過.

利用引理1,可以得到可測集上的譜不等式.該譜不等式涉及到橢圓算子特征向量的有限項(xiàng)線性組合.對于具有實(shí)解析系數(shù)的橢圓算子,這類不等式已經(jīng)在筆者的前期工作[5,8]中研究過.值得注意的是,這類在非空開集上的譜不等式的研究最早可以追溯到文獻(xiàn)[1,18,20–22]中.在那里,通過運(yùn)用該不等式和一個(gè)巧妙的無窮步迭代技術(shù),人們可以建立對應(yīng)的擴(kuò)散方程的精確零能控性.

接下來,結(jié)合方程(6)中的第3行,有?U(x,0)=0,a.e.x ∈?.由式(8)和標(biāo)準(zhǔn)的橢圓方程的正則性估計(jì)(參見文獻(xiàn)[23]中的定理8.32)

根據(jù)式(10)和上述不等式,立刻推得所期望的不等式(5)成立. 證畢.

事實(shí)上,引理2和方程(2)的解的指數(shù)衰減性蘊(yùn)涵著如下的插值不等式:

證根據(jù)時(shí)間平移不變性,只需在s=0和t>0的情形下,證明不等式(11)成立即可.為此,先任意取定初值u(·,0)∈L2(?).對任意λ>0,令u1和u2分別滿足下述兩個(gè)方程:

最后,通過在不等式(12)的右端關(guān)于參量λ>0求最小值,立刻得到式(11)成立. 證畢.

注7當(dāng)ω為?的一個(gè)非空開子集時(shí),上述插值不等式(11)在文獻(xiàn)[24]中采用不同的方法建立.

現(xiàn)在,給出定理2的證明.

不失一般性,總是可以假設(shè)O?B4R(x0)×(0,T),

其中B4R(x0)??,R ∈(0,1).根據(jù)經(jīng)典的對偶性方法(參見文獻(xiàn)[4,25]),不難驗(yàn)證,命題ii)是i)的直接推論.因此,只需證明i)即可.

為此,對任意t ∈(0,T),先定義時(shí)間切片

由Fubini定理,上述集合E為一個(gè)Lebesgue可測集,并且其測度有下界

其中常數(shù)C=C(?,L,T,R,|O|)>0和?=?(?,L,T,R,|O|)∈(0,1).注意,這里的常數(shù)依賴關(guān)系用到性質(zhì)(13).將上述不等式關(guān)于時(shí)間變量在可測集E ∩(τm,?m)上積分,再結(jié)合H¨older不等式和式(15),有

其中C和?是出現(xiàn)在不等式(16)中的相同常數(shù).因此,根據(jù)式(16)和式(14)中的第1個(gè)等式,對所有m≥1,有

將上述不等式關(guān)于參量m從m=1到無窮大求和,發(fā)現(xiàn)

此即完成了結(jié)論i)的證明.

3 最優(yōu)控制的bang–bang性

時(shí)間和范數(shù)最優(yōu)控制問題一直以來都是數(shù)學(xué)控制理論中的一類重要問題.近年來,汪更生教授等人在這方面做出了許多有影響的工作(參見專著[15]).

在這一節(jié)中,將應(yīng)用定理2分別推導(dǎo)有界區(qū)域上擴(kuò)散方程的時(shí)間和范數(shù)最優(yōu)控制的bang–bang性.為此,令?如上文所述,令ω ??為一個(gè)非空開子集.先介紹時(shí)間最優(yōu)控制問題.設(shè)M >0,定義如下的控制約束集:

對于時(shí)間最優(yōu)控制問題(TP)M,稱T?(M)和f?分別為最優(yōu)時(shí)間和時(shí)間最優(yōu)控制,如果相應(yīng)的終端狀態(tài)滿足z(x,T?(M);f?)=0,a.e.x ∈?.同樣的,稱(TP)M有bang–bang性,如果任何時(shí)間最優(yōu)控制f?均滿足|f?(x,t)|=M,a.e.(x,t)∈ω×(0,T?(M)).

根據(jù)定理2和齊次擴(kuò)散方程解的指數(shù)衰減性,可以運(yùn)用文獻(xiàn)[4]中相同的方法證明最優(yōu)時(shí)間T?(M)存在,且問題(TP)M至少存在一個(gè)時(shí)間最優(yōu)控制.于是,本文不加證明地闡述如下的結(jié)論:

推論1對任意M >0,相應(yīng)的時(shí)間最優(yōu)控制問題(TP)M均滿足bang–bang性.從而,該問題存在唯一的時(shí)間最優(yōu)控制.

注8人們現(xiàn)在知道,可測集上的能控性可以導(dǎo)出時(shí)間最優(yōu)控制bang–bang性.據(jù)筆者所知,文獻(xiàn)[11]最早注意到這個(gè)事實(shí),這個(gè)想法隨后在文獻(xiàn)[4,7,12–15,26]中得到深入發(fā)展.

接下來,建立范數(shù)最優(yōu)控制問題的bang–bang性.對任意時(shí)間T >0,考察如下的范數(shù)最優(yōu)控制問題:

這里的初始值z0∈L2(?).

類似于時(shí)間最優(yōu)控制問題,對范數(shù)最優(yōu)控制問題(NP)T,稱M?(T)和f?分別為最優(yōu)范數(shù)和范數(shù)最優(yōu)控制,如果對應(yīng)的終端狀態(tài)滿足z(x,T;f?)=0,a.e.x ∈?.并且,稱(NP)T滿足bang–bang性,若任何范數(shù)最優(yōu)控制f?滿足|f?(x,t)|=M?(T),a.e.(x,t)∈ω×(0,T).

根據(jù)定理2,運(yùn)用文獻(xiàn)[4]中相同的方法可以證明M?(T)大于零,以及(NP)T至少存在一個(gè)范數(shù)最優(yōu)控制.更進(jìn)一步,有下面的推論.

推論2對任意T >0,最優(yōu)控制問題(NP)T有唯一的bang–bang最優(yōu)控制.

4 總結(jié)

1) 在這篇文章中,雖然僅考察擴(kuò)散方程滿足Dirichlet零邊值條件的情形,但對于其他邊值條件,比如Neumann或者Robin混合邊值條件,采用本文相同的方法也可以建立類似結(jié)論.

2) 對于帶有界位勢的擴(kuò)散方程,筆者不知道如何證明類似于定理2的結(jié)論.這主要是因?yàn)樵谝?的證明過程中,筆者用到橢圓方程解的梯度在可測集上的能觀估計(jì)(即引理1).而后者對于有界位勢的橢圓方程情形一般不再成立(參見文獻(xiàn)[27]).

致謝 作者感謝西班牙巴斯克大學(xué)(UPV/EHU)Luis Escauriaza教授在該項(xiàng)工作中給予的諸多富有成效的建議.