湯少敏， 劉桂雄， 李小兵

(1. 華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640; 2. 工業(yè)和信息化部第五研究所，廣東 廣州 510610)

0 引 言

對(duì)于高可靠性、長(zhǎng)壽命機(jī)械部件，其可靠性試驗(yàn)常常面臨測(cè)試子樣少、測(cè)試時(shí)間有限等問題，導(dǎo)致可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本較少而難以進(jìn)行有效可靠性評(píng)估[1-2]。針對(duì)小樣本可靠性評(píng)估問題，Bootstrap法[3]通過重復(fù)抽樣擴(kuò)充可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)，無需預(yù)設(shè)樣本分布，獲得廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[4]應(yīng)用Bootstrap方法擴(kuò)充樣本估計(jì)衛(wèi)星空間用導(dǎo)電滑環(huán)壽命分布參數(shù)，最后結(jié)合傳統(tǒng)可靠性預(yù)測(cè)方法，得到滑環(huán)一系列可靠性指標(biāo)。文獻(xiàn)[5]結(jié)合Bootstrap自助法擴(kuò)充軸承性能退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)，再根據(jù)基于退化軌跡的信息補(bǔ)充方法進(jìn)行其可靠性評(píng)估。

經(jīng)典Bootstrap法基于原樣本經(jīng)驗(yàn)分布，當(dāng)原樣本容量較小時(shí)，原樣本經(jīng)驗(yàn)分布特征不顯著，加之?dāng)U充樣本取值范圍局限于原樣本，無法有效利用原樣本上、下限數(shù)據(jù)信息，容易導(dǎo)致擴(kuò)充樣本分布一定程度偏離原樣本真實(shí)分布。為此，本文從原樣本經(jīng)驗(yàn)分布出發(fā)，借助徑向基函數(shù)(radial basis function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合原樣本經(jīng)驗(yàn)分布，獲取原樣本連續(xù)分布特性，并利用鄰域抽樣方法構(gòu)造RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入集，從而獲得更接近于原樣本真實(shí)分布的擴(kuò)充樣本。

1 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Bootstrap數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法

圖1為基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Bootstrap數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法流程圖，獲取原樣本集合X={x1, x2, ···, xn}的經(jīng)驗(yàn)分布值集合F={Fn(x1), Fn(x2), · ··, Fn(xn)}；基于原樣本集合X與經(jīng)驗(yàn)分布值集合F訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；由于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)靠近其訓(xùn)練樣本的輸入有更可靠輸出[6]，這里通過構(gòu)建F的鄰域函數(shù)Ri，構(gòu)造RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入集Sin，輸入訓(xùn)練好的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，獲得擴(kuò)充樣本集合X*。具體實(shí)施步驟為：

圖1 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Bootstrap數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法流程圖

1）獲得原樣本集合X的經(jīng)驗(yàn)分布值。X={x1,x2, ···, xn}元素按從小到大排列得到其次序統(tǒng)計(jì)量集 X'={x(1),x(2), ···, x(n)} (其 中 x(1)≤ x(2)≤ ···≤x(n))，構(gòu)造X的經(jīng)驗(yàn)分布分布函數(shù)Fn(x)：

將X元素代入上式，即得到X的經(jīng)驗(yàn)分布值集合F={Fn(x1), Fn(x2), · ··, Fn(xn)}。

2）訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。以X的經(jīng)驗(yàn)分布值Fn(x(i))(i∈[1, n])作為 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入 sj，x(i)作為網(wǎng)絡(luò)輸出oj，訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)選用高斯型徑向基函數(shù)[7]：

式中：ck——核函數(shù)中心，采用無監(jiān)督k-means訓(xùn)練算法確定；

bk——高斯函數(shù)半徑，用正交最小二乘法訓(xùn)練算法確定。

3）構(gòu)建X的經(jīng)驗(yàn)分布值集合F鄰域函數(shù)Ri，獲得RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入集Sin。令fi= Fn(x(i))，那么Fn(x(i))的鄰域函數(shù)Ri為：

其中r為取鄰域參數(shù)，r≥2。按順序i=1,2, ···,n從各鄰域Ri的均勻分布U[Ri]產(chǎn)生RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入集 Sin，有 Sin={s1, s2, ···, sj, ···, sn}，其中 sj～ U[Rj]。

4）將輸入集Sin輸入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，獲得擴(kuò)充樣本X*。將Sin中元素逐一輸入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入為sj，其輸出oj為：

由RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出oj組成的集合即為X的擴(kuò)充樣本X*。

5）按重復(fù)抽樣次數(shù)N重復(fù)步驟3）、4），得到X的擴(kuò)充樣本X*(k) ={xk1*, xk2*, ···, xkn*}(k=1, 2 , ···, N)。

2 仿真分析

設(shè)原樣本集合X={x1, x2, ···, x30}為卡方分布χ2(5)獨(dú)立隨機(jī)樣本，樣本容量n=30，樣本取值區(qū)間VI=[0.693 2, 13.472 5]，將X擴(kuò)充為樣本容量N=300的擴(kuò)充樣本X*。分別用經(jīng)典Bootstrap法、基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Bootstrap數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法(下簡(jiǎn)稱“RBF+Bootstrap法”)獲得擴(kuò)充樣本X*，表1為擴(kuò)充樣本X*的分布特性表。

表1 擴(kuò)充樣本分布特性表

可以看出：

1）由χ2(5)分布產(chǎn)生數(shù)據(jù)、Bootstrap法擴(kuò)充樣本、“RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)+Bootstrap法”擴(kuò)充樣本X*期望值及95%置信區(qū)間長(zhǎng)度分別為E=5.000 0，5.231 2，5.059 5和 L=0.699 0，0.776 6，0.687 1。“RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)+Bootstrap法”與由 χ2(5)本身的期望值E、95%置信區(qū)間長(zhǎng)度 L的差值分別為 0.059 5、0.011 9，小于Bootstrap 法的相應(yīng)差值 0.231 2、0.077 6，因此“RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)+Bootstrap法”擴(kuò)充樣本X*分布特性更接近于原樣本X的真實(shí) χ2(5)分布。

2）由 χ2(5)分布產(chǎn)生數(shù)據(jù)的取值區(qū)間、Bootstrap法擴(kuò)充樣本 X*的取值區(qū)間、“RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)+Bootstrap法”擴(kuò)充樣本X*的取值區(qū)間分別為VI=[0.049 7, 19.444 4]、 [0.694 9, 13.352 9]、 [0.044 5,13.472 5]。Bootstrap法擴(kuò)充樣本 X*的取值區(qū)間[0.694 9, 13.352 9]局限于 X的 [0.693 2, 13.472 5]，“RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)+Bootstrap法”取值區(qū)間VI [0.044 5,13.472 5]，拓展了原樣本下限，但未拓展原樣本上限，這是由于原樣本數(shù)據(jù)上限13.472 5附近數(shù)據(jù)稀少，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練不足造成的。但“RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)+Bootstrap法”擴(kuò)展數(shù)據(jù)下限仍大于Bootstrap法的。因此，“RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)+Bootstrap法”有效利用了原樣本取值區(qū)間上、下限數(shù)據(jù)信息，一定程度改善了經(jīng)典Bootstrap法取值區(qū)間局限于原樣本問題。

3 在IRSS可靠性評(píng)估中的應(yīng)用

工業(yè)機(jī)器人伺服系統(tǒng)(industrial robot servo system, IRSS)是用于完成工業(yè)機(jī)器人特定軌跡運(yùn)動(dòng)的執(zhí)行單元，是工業(yè)機(jī)器人核心部件，其可靠性直接關(guān)系工業(yè)機(jī)器人正常使用壽命[8]。IRSS系典型長(zhǎng)壽命、高可靠產(chǎn)品，其可靠性評(píng)估面臨測(cè)試子樣少、試驗(yàn)時(shí)間有限導(dǎo)致的可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)不足問題。

基于偽失效壽命分布擬合的可靠性評(píng)估方法，是分析長(zhǎng)壽命、高可靠性產(chǎn)品性能退化可靠性的有效方法[9]。圖2為IRSS偽失效壽命分布擬合可靠性評(píng)估方法流程圖，基于IRSS性能退化數(shù)據(jù)，通過設(shè)置偽失效水平，獲取IRSS偽失效壽命數(shù)據(jù)集，建立各偽失效水平IRSS偽失效壽命分布，最后外推失效閾值下壽命分布，完成可靠性評(píng)估。

圖2 IRSS偽失效壽命分布擬合可靠性評(píng)估方法流程圖

表2為基于IRSS性能退化數(shù)據(jù)獲得的某型號(hào)IRSS 偽失效壽命數(shù)據(jù)表，設(shè)置 w1、w2、w3、w4、w5、w6、w7等7個(gè)偽失效水平，IRSS試驗(yàn)子樣5件，每個(gè)偽失效水平獲得5個(gè)IRSS偽失效壽命數(shù)據(jù)。IRSS可靠性試驗(yàn)子樣少，導(dǎo)致其偽失效壽命數(shù)據(jù)容量較小，為IRSS偽失效壽命分布建模帶來困難，這里應(yīng)用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Bootstrap數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法擴(kuò)充IRSS偽失效壽命數(shù)據(jù)，開展IRSS可靠性評(píng)估。

表2 IRSS偽失效壽命數(shù)據(jù)表 h

圖3～圖 9 為 w1、w2、w3、w4、w5、w6、w77 個(gè)偽失效水平的IRSS偽失效擴(kuò)充數(shù)據(jù)直方圖及偽失效壽命分布估計(jì)結(jié)果?；诟魇絺问勖植脊烙?jì)結(jié)果，外推失效閾值wth下IRSS壽命分布f(t,wth)，圖10(a)、(b)分別為其壽命分布概率密度函數(shù)圖、失效分布圖。其中，IRSS失效壽命估計(jì)值Tfailure=11 264.75 h，與廠商提供的該型號(hào)IRSS額定壽命值10 000 h相近。

圖3 w1下壽命分布

圖4 w2下壽命分布

圖5 w3下壽命分布

圖6 w4下壽命分布

圖7 w5下壽命分布

圖8 w6下壽命分布

圖9 w7下壽命分布

圖10 IRSS可靠性評(píng)估結(jié)果圖

表3對(duì)比了不同方法獲得的本文IRSS可靠性評(píng)估結(jié)果。由經(jīng)典退化軌跡法獲得的IRSS失效壽命估計(jì)結(jié)果為13 269.90 h，與額定值10 000 h相比，相對(duì)誤差32.70%；由本文方法(偽失效壽命分布擬合+基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Bootstrap數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法)獲得可靠性評(píng)估結(jié)果為11 264.75 h，與額定值的相對(duì)誤差12.65%；本文方法評(píng)估結(jié)果與IRSS額定壽命更接近，相對(duì)誤差減小61.32%，證明了本文可靠性評(píng)估方法有效性。另外，表中列出同樣基于偽失效壽命分布擬合方法進(jìn)行IRSS可靠性評(píng)估，采用經(jīng)典Bootstrap法擴(kuò)充偽失效數(shù)據(jù)，得到的IRSS失效壽命估計(jì)值為12 012.25 h，相對(duì)誤差20.12%，對(duì)比采用本文數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法評(píng)估結(jié)果相對(duì)誤差增大37.13%，表明采用本文基于 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Bootstrap數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法擴(kuò)充偽失效數(shù)據(jù)，更有助于獲取偽失效水平下真實(shí)壽命分布，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)IRSS可靠性有效評(píng)估。

表3 不同方法的IRSS可靠性評(píng)估結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)束語

1）經(jīng)典Bootstrap法基于原樣本經(jīng)驗(yàn)分布，當(dāng)原樣本容量較小時(shí)，容易導(dǎo)致擴(kuò)充樣本分布一定程度偏離原樣本真實(shí)分布，且無法有效利用原樣本上、下限數(shù)據(jù)信息。本文提出基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Bootstrap數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法，借助RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)獲取原樣本連續(xù)分布特性，并利用鄰域抽樣方法構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)輸入集。仿真表明由基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Bootstrap數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法獲得的擴(kuò)充樣本分布特性更接近于原樣本的真實(shí)分布，并有效利用了原樣本取值區(qū)間上、下限數(shù)據(jù)信息，改善經(jīng)典Bootstrap法擴(kuò)充樣本取值區(qū)間局限于原樣本問題。

2）將基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Bootstrap數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人伺服系統(tǒng)IRSS偽失效壽命分布可靠性評(píng)估，擴(kuò)充IRSS偽失效壽命數(shù)據(jù)，便于其中各失效水平IRSS偽失效數(shù)據(jù)壽命分布建模。最終外推失效閾值wth下IRSS失效壽命估計(jì)值Tfailure=11 264.75 h，對(duì)比廠商提供的該型號(hào)IRSS額定壽命10 000 h，相對(duì)誤差12.65%，與采用經(jīng)典Bootstrap法擴(kuò)充偽失效數(shù)據(jù)樣本獲得的可靠性評(píng)估結(jié)果相比，相對(duì)誤差減少37.13%，表明了采用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Bootstrap數(shù)據(jù)擴(kuò)充方法擴(kuò)充偽失效數(shù)據(jù)，更有助于獲取偽失效水平下真實(shí)壽命分布，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)IRSS可靠性有效評(píng)估，方法具實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。