張 靜，王 棟，張夢雨

（上海師范大學(xué)信息與機(jī)電工程學(xué)院，上海 200234）

引 言

用具有低成本和低功耗特性的智能反射表面（（Intelligent reflective surface，IRS）來輔助蜂窩通信系統(tǒng)中基站（Base station,BS)和用戶(User terminal,UT）間的信息傳輸可提高頻譜效率和增大信道容量，是下一代通信系統(tǒng)的傳輸方案之一［1］。I RS也被稱為可重構(gòu)智能表面（Reconfigurable intelligent sur?face，RIS），它由帶有大量反射元件的均勻平面陣列和相移控制器組成。通信系統(tǒng)除利用IRS被動地反射信號外，還可通過控制IRS元件的相移來提高信號的傳輸質(zhì)量。對IRS輔助通信鏈路的級聯(lián)信道狀態(tài)信息（Channel state information，CSI）做出有效估計對預(yù)編碼、波束賦形等至關(guān)重要［2］。級聯(lián)CSI的獲取方法主要有基于張量分解和基于壓縮感知理論的稀疏信號恢復(fù)方法。由于BS和UT收發(fā)天線數(shù)量的增多以及IRS反射元件的數(shù)量較大，級聯(lián)信道矩陣的維度很高，可通過張量分解來降低估計維度進(jìn)而減小導(dǎo)頻開銷。文獻(xiàn)［3］把IRS輔助的多用戶多輸入單輸出信道分解為平行因子（（Parallel facto，PARAFAC）模型，用雙線性交替最小二乘法（Bilinear alternating least squares，BALS）迭代估計信道的復(fù)衰落矩陣；文獻(xiàn)［4］將這種分解模型應(yīng)用到IRS輔助的多輸入多輸出（Multiple?input multiple?output，MIMO）通信系統(tǒng)中，實現(xiàn)了對MIMO級聯(lián)信道的估計。

當(dāng)級聯(lián)信道呈現(xiàn)時域或角度域的稀疏特性時，可建立基于Khatri?Rao積和Kronecker積的結(jié)構(gòu)化信道模型，利用稀疏信號恢復(fù)方法獲取。文獻(xiàn)［5］利用毫米波級聯(lián)信道的稀疏性，采用正交匹配追蹤（Or?thogonal matching pursuit，OMP）和近似消息傳遞獲取CSI；文獻(xiàn)［6］利用寬帶信道特性，在角度域參數(shù)已知時采用牛頓化算法；文獻(xiàn)［7］利用了毫米波信道的角度域稀疏性來減少導(dǎo)頻開銷；文獻(xiàn)［8］對級聯(lián)稀疏信道采用了一種兩階段的獲取方案，用迭代重加權(quán)算法依次估計出級聯(lián)信道參數(shù)，可獲得優(yōu)于兩階段OMP算法的性能；文獻(xiàn)［9］提出兩階段原子范數(shù)最小化方法；文獻(xiàn)［10］利用級聯(lián)信道的低秩特性，通過交替方向乘子法恢復(fù)稀疏信道矩陣。在CSI獲取時需要有效地設(shè)計導(dǎo)頻矩陣來減小導(dǎo)頻開銷并改善估計精度。文獻(xiàn)［11］指出在相同的導(dǎo)頻開銷下，純被動IRS相比于混合IRS有更好的信道估計性能；文獻(xiàn)［12］給出了一種基于三相導(dǎo)頻的信道估計框架，僅需要使用少量導(dǎo)頻就能準(zhǔn)確地估計出大量信道系數(shù)；文獻(xiàn)［13］預(yù)先設(shè)計了IRS元件的反射系數(shù)，依靠離散相移來估計信道。

本文針對IRS輔助毫米波MIMO無線通信鏈路的CSI塊衰落獲取問題，為改善估計精度和收斂速度，把級聯(lián)信道傳輸模型建立為PARAFAC張量模型后，在最小二乘BALS算法中引入松弛因子ω使收斂速度加快，為提高算法的穩(wěn)定性還利用了T?BALS算法?？紤]到矩陣維度很高，再通過奇異值分解求解核心張量，提取分解矩陣的主要元素重構(gòu)分解模型，提出了奇異值（Singular value decomposi?tion，SVD）?BALS算法，該算法在均方誤差性能（Mean squared error，MSE）和收斂速度上均優(yōu)于常規(guī)的BALS算法。

1 傳輸系統(tǒng)模型

1.1 傳輸模型

考慮一個如圖1所示的IRS輔助毫米波傳輸系統(tǒng)的上行鏈路。其中，BS配備R根天線服務(wù)于M個單天線UT，組成虛擬MIMO傳輸方案，輔助傳輸?shù)腎RS由N個元件組成，每個元件具有單獨的反射系數(shù)和相移，設(shè)UT、IRS和BS的射頻部分均為半波長間隔的均勻平面陣列，且從UT到IRS和從IRS到BS的信道均為多徑信道，并假設(shè)UT到BS之間的直傳鏈路被阻隔，僅通過IRS來傳輸信息。

圖1 傳輸場景Fig.1 Transmission senario

設(shè)UT端發(fā)射的導(dǎo)頻符號為x，則到達(dá)IRS端的接收信號可以表示為

式中：H1∈C N×M為UT和IRS之間信道的復(fù)衰落矩陣，w1為IRS端的接收噪聲。

H1可進(jìn)一步表示為

式中：L1為UT?IRS之間的可分辨路徑數(shù)目；ρl1為第l1條路徑的復(fù)衰落系數(shù)；αr和αt分別為IRS和UT間的角度響應(yīng)向量，其表示為

式中：θl1和φl1分別為到達(dá)IRS處波束的方位角和仰角；γl1為發(fā)射端的離開角；λ為信號的波長；d為天線的間距，設(shè)d=0.5λ。

信號y1經(jīng)IRS反射時產(chǎn)生附加相移，設(shè)相移向量為g=[g1ej?1，…，g Nej?N]T，其中g(shù)j∈{0，1}為反射系數(shù)并控制第j個IRS元件的通斷，相移?j∈(0，2π]，則經(jīng)IRS移相后的待傳輸信號為

再經(jīng)IRS反射到達(dá)BS端的接收信號為

式中：w為接收噪聲；H2為IRS和BS間信道的復(fù)衰落矩陣。

H2用與式（2）相似的多徑模型，表示為

定義該系統(tǒng)的級聯(lián)信道為

1.2 接收信號的張量模型

設(shè)在K個符號周期內(nèi)信道為塊衰落信道，復(fù)矩陣H1和H2均保持不變。一個符號周期又被分成若干個時隙，僅在其中一個時隙發(fā)送導(dǎo)頻。IRS的相移特性在同一個符號周期內(nèi)保持不變，在不同符號周期內(nèi)的相移向量互相正交。把IRS的反射系數(shù)與信道H1疊加，并仍然用H1來表示。忽略由IRS所引入的接收噪聲w1，則在一個時隙內(nèi)多個導(dǎo)頻符號發(fā)送時刻t=1，…，T處的時域接收信號模型為

式中g(shù)(t)為N個IRS元件在時刻t的相移向量。

在每個符號周期里重復(fù)發(fā)射相同的導(dǎo)頻符號，則在符號周期k=1，…，K內(nèi)導(dǎo)頻所占的時隙上，時域接收信號模型可寫為

把在第k個符號周期內(nèi)第t=1，…，T個時隙的接收信號表示為Y[k]=[y(1)，y(2)，…，y(T)]∈C R×T，T個時隙內(nèi)的發(fā)送導(dǎo)頻構(gòu)成矩陣X=[x(1)，x(2)，…，x(T)]∈C M×T，則式（10）可以重寫為

設(shè)導(dǎo)頻符號滿足XXH=I M，將式（11）的左右兩邊同時乘以XH，得到

式中：Z(k)=Y(k)XH；V(k)=W(k)XH。

記G為N個IRS元件在K個符號周期內(nèi)的相移矩陣，再將式（12）寫為

式中：A=H1T；D k(G)=diag[g(k)]為以IRS相移矩陣G的第k行作為對角元素的對角矩陣。Z(k)為三維張量∈C R×K×M的第k個切片，且滿足PARAFAC分解模型，可以表示成有限個秩1張量的和，即其第（r，k，m）個標(biāo)量元素為

式中：H2(r，n)、G(k，n)和A(m，n)分別為各矩陣的第r行第n列、第k行第n列和第m行第n列元素，該分解模型可以用圖2表示。

圖2 PARAFAC分解模型Fig.2 PARAFAC decomposition model

根據(jù)張量分解理論［14?16］，可得到展開的矩陣模式n為

1.3 張量分解的唯一性條件

PARAFAC分解具有固有的因子模糊和尺度模糊，即因子向量排序的不確定和因子向量范數(shù)的不確定。在滿足式（14）的前提下，加載矩陣H2、G和A可分別表示為

式中：Σj∈C N×N為因子模糊，Δj∈C N×N為尺度模糊，j=1，2，3且滿足Σ1Σ2Σ3=I N和Δ1Δ2Δ3=I N。

為排除這種固有的不確定性，在分解項之和等于原張量的約束下，可得到唯一的秩1張量，這種唯一性的充分條件與Kruskal秩即k秩有關(guān)。設(shè)k H2、k G和k A分別為加載矩陣H2、G和A的k秩，則當(dāng)

這種分解是唯一的。

根據(jù)張量分解理論，分解唯一性的必要條件為

由于k秩總是小于或等于矩陣的秩，并且H2∈C R×N、G∈C K×N和A∈C M×N的列秩分別為其行和列數(shù)的最小值，經(jīng)Khatri?Rao積之后的秩大于或等于原矩陣的秩，故通過合理地調(diào)整收發(fā)天線數(shù)、IRS反射元件數(shù)及信道塊衰落所含的符號周期數(shù)，在相移矩陣G和導(dǎo)頻矩陣X均為列滿秩且列秩的最小值為N時，可滿足分解的唯一性條件。在分解條件不滿足時，則需要將IRS元件分成若干組，使每組的元件數(shù)滿足該條件。

2 基于PARAFAC的信道估計算法

2.1 帶松弛因子的交替最小二乘法（ω?BALS）

根據(jù)接收信號張量模型的矩陣模式1和模式2，利用交替最小二乘算法求得迭代解，即通過矩陣Z1和Z2，在X和G已知時，利用兩個代價函數(shù)來迭代估計信道矩陣H1和H2。在給定H1（A=HT1）后，用代價函數(shù)

求得

式中“?”表示矩陣的逆，再利用，用代價函數(shù)

求得

定義第i次迭代的估計誤差為

若δ(i)小于預(yù)先給定的門檻值η或達(dá)到最大迭代次數(shù)，則輸出估計值。

這種常規(guī)的BALS算法簡單，易于實現(xiàn)，但也容易陷入泥沼之中，使收斂速度很慢，迭代時間很長。為加快估計收斂速度，采用引入松弛因子的ω?BALS算法［17］。ω?BALS算法在ω>1時，收斂速度變快，較小的迭代次數(shù)就可以達(dá)到收斂，但不能改善算法的MSE性能；當(dāng)0<ω<1時，算法的穩(wěn)定性加強(qiáng)，可避免迭代過程發(fā)散。

選取適當(dāng)?shù)乃沙谝蜃应氐臄?shù)值對算法性能至關(guān)重要。為加快收斂，選取ω>1，并設(shè)定兩個誤差門限η1和η，且η1>η。在η<δ(i)<η1時，做如下迭代

算法1ω?BALS算法

輸入：接收信號矩陣Y、導(dǎo)頻矩陣X、相移矩陣G，初始化H1（0）為復(fù)高斯分布矩陣；初始化估計誤差η（0）=1、η1和ω。

輸出：H1和H2

（1）用式（22）估計得到H?2(i)。

（2）用式（24）估計得到H?1(i)。

（3）用式（25）計算δ(i)。

（4）若δ(i)>η1，則i=i+1，返回步驟（1）；

若η<δ(i)<η1，則

（5）若終止條件滿足，算法停止；否則重復(fù)步驟（1～5）。

在求矩陣的偽逆時，有時會發(fā)生由于缺秩所引起的數(shù)值穩(wěn)定性變差情況。故可將Tikhonov正則化方法應(yīng)用到BALS算法中，即在計算式（22）時，設(shè)可得

2.2 基于奇異值分解的交替最小二乘法（SVD?BALS）

當(dāng)BS和UT的天線數(shù)目較大時，或者IRS元件的數(shù)目較大時，BALS算法的收斂速度很慢。ω?BALS算法雖加快了收斂速度，但算法的估計精度并沒有得到改善。為進(jìn)一步加快收斂速度并改善估計性能，采用奇異值分解作降維處理。通過選取張量的前幾個最大的主奇異值和所對應(yīng)的奇異向量，將張量壓縮成一個維數(shù)小的核心張量做低秩逼近，再對核心張量做交替最小二乘估計。

最小二乘估計算法是一種噪聲迫零的方法，容易放大噪聲。把高維度的張量經(jīng)奇異值分解后，主奇異值所對應(yīng)的奇異向量張成信號子空間，只包含信號信息，可濾除噪聲的影響。因此，采用張量的奇異值分解對BALS算法進(jìn)行改進(jìn)，以降低張量的維度、加快估計速度和改善算法性能。

對張量的3個矩陣模式做奇異值分解，有

式中U∈C R×J1、O∈C M×J2和Q∈C N×J3分別為與J1、J2和J33個主奇異值所對應(yīng)的左奇異向量矩陣，其中J1

然后，計算核心張量的模式矩陣為

經(jīng)過這樣的降維處理之后，可再利用交替最小二乘法求取LMV(Lathauwer,Moor,Vanderwalle）縱向展開的矩陣形式［15］，得到形如式（15～17）的各因子矩陣。在選取主奇異值個數(shù)時，可用影響力向量來評判所求得的因子矩陣是否適用于所得模型。

就本文的估計問題，得到核心張量的模式矩陣后，根據(jù)式（33，34），求解出H1和H2分別為

算法2SVD?BALS算法

輸入：接收信號矩陣Y、導(dǎo)頻矩陣X、相移矩陣G，初始化H1（0）為復(fù)高斯分布矩陣；初始化估計誤差η（0）=1，預(yù)設(shè)J1和J2。

輸出：H1和H2。

預(yù)處理過程：

（1）用式（30～35）求得Z1(J1)和Z2(J2)。

迭代計算：

（2）用式（36）估計得到H?2(i)。

（3）用式（37）估計得到H?1(i)。

（4）若終止條件滿足，算法停止；否則重復(fù)步驟（2～4）。

2.3 算法的計算復(fù)雜度分析

用算法所需的乘法運算次數(shù)來評判計算復(fù)雜度。算法的乘法運算集中在Khatri?Rao積和偽逆計算上，如在計算(G⊙HT1)和[(G⊙HT1)T]?時的乘法次數(shù)分別為KMN和2KMN2+N3。在ω?BALS算法中，在式（26，27）中的乘法次數(shù)可以忽略，故單次迭代的乘法次數(shù)與BALS算法幾乎相同；在SVD?BALS算法中，奇異值分解過程可離線處理，不計入計算復(fù)雜度，故單次執(zhí)行的乘法次數(shù)如表1所示。

表1 不同算法的計算復(fù)雜度Table 1 Computational complexity of different algorithms

3 仿真結(jié)果與分析

在仿真中，對IRS輔助毫米波通信系統(tǒng)的兩段信道均采用Saleh?Valenzuela模 型，設(shè) 置 仿 真 參數(shù)：IRS相移矩陣G為離散傅里葉變換（Discrete Fourier transform，DFT）矩陣；導(dǎo)頻矩陣為單位矩陣；反射系數(shù)全部為1（全反射）；UT與IRS間的路徑數(shù)目為5，IRS與BS間的路徑數(shù)目為6；門檻值η=10-4，η1=10-2；ω=1.3；J1=J2=6或8。在此場景和參數(shù)下，對ω?BALS算法和svd?BALS算法做性能對比。

為評估算法性能，定義MSE和歸一化均方誤差（Normalized mean squared error，NMSE）分別為

式中：H c(p)和分別為級聯(lián)信道的真實值和估計值。

分別用P=1 000次的蒙特卡羅仿真平均值繪制性能曲線。圖3為在IRS元件數(shù)N=16、單天線UT數(shù)M=16、基站天線數(shù)R=16和符號周期數(shù)K=16時，兩種算法的NMSE隨信噪比（Signal?to?noise ratio，SNR）變化的性能曲線，此時滿足式（19，20）的張量分解唯一性條件。從圖3可以看出，奇異值（Singular value decomposition，SVD）?BALS算法在J1=J2=J分別為6和8時，NMSE性能均優(yōu)于ω?BALS算法和T?BALS算法，且NMSE隨SNR的增大而減小。通過因子矩陣的影響力分析還可以發(fā)現(xiàn)，此時前6個和8個主要的奇異值對張量模型的擬合已足夠充分。

圖3 算法的NMSE性能隨信噪比變化的曲線Fig.3 NMSE performance of algorithms versus SNR

圖4為在R=16、N=16、M=16及K分別取3、10、15及30時，在SVD?BALS算法中取前8個最大的奇異值，兩種算法的NMSE性能隨SNR變化的曲線。由式（19）可知，由于K的取值都滿足K≥2，因而滿足張量分解的唯一性條件。由圖4表明，隨著符號周期數(shù)K的增加，兩種算法的NMSE性能變好；SVD?BALS算法的NMSE性能仍然優(yōu)于ω?BALS算法。這表明：隨著K的增大，可使用的測量信息增多，使用奇異值分解的改進(jìn)算法性能更優(yōu)。

圖4 算法的NMSE性能在符號周期K值變化時的曲線Fig.4 NMSE performance of algorithms when the num?ber of symbol period K changing

圖5為在N=16、R=16、K=16以及SNR=15 d B時，兩種算法估計級聯(lián)信道的MSE性能隨發(fā)射天線數(shù)M變化的曲線。從圖5中可以看出，隨著M的增加，各算法的MSE也增大；在J1和J2相等并分別為6和8時，SVD?BALS算法均優(yōu)于ω?BALS算法。

圖5 算法的MSE隨發(fā)射天線數(shù)M變化的曲線Fig.5 MSE performance of algorithms versus the number of transmit antennas M

圖6為在R=16、M=16、K=16以及SNR=15 dB時，算法的MSE性能隨N變化的MSE性能曲線。從圖6中可以看出，隨著IRS元件數(shù)的增加，算法的MSE也增大，SVD?BALS算法在N=49之后趨于穩(wěn)定，但ω?BALS算法的MSE則仍處于增長趨勢。這表明，SVD?BALS算法可有效地克服由于IRS元件數(shù)增長而帶來的冗余信息，從信道獲取的角度也反映出IRS反射元件的數(shù)量達(dá)到一定值時，系統(tǒng)的性能沒有隨著反射面數(shù)量的增長而改善。

圖6 算法的MSE隨IRS反射元件數(shù)N變化的曲線Fig.6 MSE performance of algorithms versus the num?ber of IRS elements N

通過這些仿真結(jié)果可知，在導(dǎo)頻開銷較小時，SVD?BALS算法表現(xiàn)出比ω?BALS算法更優(yōu)的性能。在發(fā)射天線數(shù)目逐漸增加的情況下，兩種算法的MSE均變大；而當(dāng)固定發(fā)射天線數(shù)目M=16時，在IRS反射元件數(shù)N約為發(fā)射天線數(shù)的3倍時，SVD?BALS算法的性能趨于穩(wěn)定。因此，在導(dǎo)頻開銷較低的情況下，并不是IRS反射元件數(shù)越多，級聯(lián)信道的估計性能越好，SVD?BALS算法可在一定程度上節(jié)約導(dǎo)頻開銷。

4 結(jié)束語

針對IRS輔助的毫米波MIMO通信系統(tǒng)的信道估計問題，在建立PARAFAC分解模型后，用帶松弛因子的ω?BALS算法加速收斂過程，并對張量的模式矩陣做奇異值分解進(jìn)行張量的低秩逼近，提出一種基于奇異值分解的BALS算法。由于預(yù)處理過程可離線進(jìn)行，故降維后算法的計算復(fù)雜度更低。仿真結(jié)果表明，所提出的SVD?BALS算法可提升均方誤差性能，收斂速度較快。