李艷輝 張國(guó)旭

（東北石油大學(xué)a.環(huán)渤海能源研究院；b.電氣信息工程學(xué)院）

Markov跳變系統(tǒng)是一類特殊的隨機(jī)系統(tǒng)，可以利用Markov鏈實(shí)現(xiàn)不同模態(tài)之間的轉(zhuǎn)換［1］。 近年來，網(wǎng)絡(luò)化Markov跳變系統(tǒng)的研究受到極大關(guān)注［2，3］。 在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)研究中，時(shí)間觸發(fā)的數(shù)據(jù)傳輸方式容易造成數(shù)據(jù)擁堵、資源冗余等現(xiàn)象［4］。針對(duì)這類問題，采用事件觸發(fā)機(jī)制，僅讓滿足事件觸發(fā)條件的數(shù)據(jù)通過網(wǎng)絡(luò)傳輸，有效緩解了網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)傳輸壓力，并取得了一些成果［5，6］。文獻(xiàn)［5］提出一種事件觸發(fā)的自適應(yīng)差分調(diào)制方法。 PENG C和YANG T C提出一種事件觸發(fā)通信機(jī)制和采樣狀態(tài)誤差依賴模型［6］。值得注意的是，傳統(tǒng)事件觸發(fā)機(jī)制未考慮控制器到執(zhí)行器的數(shù)據(jù)傳輸問題。因此，研究雙端事件觸發(fā)機(jī)制顯得尤為重要。 在連續(xù)系統(tǒng)中，雙端事件觸發(fā)機(jī)制已有相關(guān)報(bào)道［7］。 然而雙端事件觸發(fā)機(jī)制下的離散系統(tǒng)控制問題同樣具有學(xué)術(shù)研究?jī)r(jià)值。 另一方面，在網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)研究過程中，系統(tǒng)狀態(tài)往往無法直接獲得，這時(shí)采用輸出反饋控制器可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，并且動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器具有更好的性質(zhì)和控制效果［8］。

筆者采用線性矩陣不等式和奇異值分解法針對(duì)不確定離散Markov跳變系統(tǒng)，在雙端事件觸發(fā)機(jī)制下研究了一類動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制問題，并成功得到動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器參數(shù)矩陣，保證了閉環(huán)控制系統(tǒng)雙模態(tài)跳變情況下隨機(jī)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)。

1 問題描述

離散不確定Markov跳變模型為被控對(duì)象，有：

馬爾可夫模態(tài)跳變概率πji為：

其中，x^（k）∈Rn為控制器狀態(tài)向量；y^（k）∈Rp為控制器輸入向量；u（k）為控制器輸出向量；Acj，Bcj和Ccj是待求控制參數(shù)矩陣。

雙端事件觸發(fā)機(jī)制下網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 雙端事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

事件觸發(fā)條件如下：

應(yīng)用增廣矩陣的思想，聯(lián)立式（1）～（7）得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)如下：

筆者的目標(biāo)是設(shè)計(jì)出式（4）所示且滿足下述條件的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器：

a. 當(dāng)外部擾動(dòng)信號(hào)ω（k）=0時(shí)，閉環(huán)控制系統(tǒng)（8）是隨機(jī)穩(wěn)定的；

b. 在零初始條件下，對(duì)于任意的非零干擾ω（k）∈L2［0，∞），閉環(huán)控制系統(tǒng)（8）滿足H∞控制性能γ（γ＞0），即E{‖z（k）‖2}＜γ2‖ω（k）‖2。

引理1［9］假設(shè)D、S和F是具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣，F(xiàn)（k）滿足FT（k）F（k）≤I，則對(duì)于任意參數(shù)β＞0使得：

注1 雙端事件觸發(fā)機(jī)制用來減緩網(wǎng)絡(luò)傳輸數(shù)據(jù)壓力。 只有滿足觸發(fā)條件（5）、（6）的輸出數(shù)據(jù)y（k）和控制信號(hào)u（k）才能進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)傳輸。

注2 閉環(huán)控制系統(tǒng)（8）的建立考慮雙端事件觸發(fā)條件，使得系統(tǒng)控制狀態(tài)隨著事件觸發(fā)機(jī)制的發(fā)生而變化，也是在減少網(wǎng)絡(luò)資源占用的同時(shí)保證系統(tǒng)良好控制效果的關(guān)鍵。

2 閉環(huán)控制系統(tǒng)H∞性能分析

下面定理將給出閉環(huán)控制系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的充分條件，為之后動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器參數(shù)的求解提供基礎(chǔ)。

定理1 給定事件觸發(fā)閾值ε1、ε2和正標(biāo)量γ，如果存在對(duì)稱矩陣Pj＞0和變量β滿足下列不等式：

其中，ε1和ε2為事件觸發(fā)閾值。

應(yīng)用Schur補(bǔ)引理可得：

根據(jù)式（9）可得Ω＜0，可知閉環(huán)控制系統(tǒng)（8）是隨機(jī)穩(wěn)定的。

由此可知，對(duì)于所有的η2（k）≠0，ω（k）=0，可得E{ΔV（k，ξ（k））}＜0，進(jìn) 而 可 得E{‖z（k）‖2}＜γ2‖ω（k）‖2，則閉環(huán)控制系統(tǒng)滿足H∞性能指標(biāo)。

3 動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)

則稱閉環(huán)控制系統(tǒng)（8）隨機(jī)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)γ。 動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器參數(shù)為：

由式（18）可知Xj和Yj為非奇異矩陣，易得：

4 仿真算例

現(xiàn)將通過數(shù)值模擬來證明基于雙端事件觸發(fā)機(jī)制的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的有效性。

取不確定相關(guān)參數(shù)L（k）=sin（0.1k），選取控制器初值x^（k）=［0.1 -0.01］T，擾動(dòng)信號(hào)ω（k）=e-0.2ksin（0.3πk），事件觸發(fā)閾值分別為ε1=0.3，ε2=0.5，初始狀態(tài)x（k）=［0.1 0.01］，得到最優(yōu)解γ=1.2825，求得模態(tài)1情況下動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器參

事件觸發(fā)閾值ε1和ε2和H∞性能等級(jí)γ之間的關(guān)系見表1。 可以看出，事件觸發(fā)閾值ε1一定時(shí)，H∞性能等級(jí)γ會(huì)隨著事件觸發(fā)閾值ε2的減小而減小， 同樣當(dāng)ε2一定時(shí)，γ也會(huì)隨著事件觸發(fā)閾值ε1的減小而減小，相應(yīng)的H∞動(dòng)態(tài)輸出反饋控制效果越好，Markov模態(tài)跳變過程如圖2所示。

表1 事件觸發(fā)閾值ε和性能指標(biāo)γ之間的關(guān)系

圖2 模態(tài)跳變過程

開環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)曲線如圖3所示，可以看出系統(tǒng)最終發(fā)散。 閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)曲線如圖4所示。 圖5是對(duì)應(yīng)控制器的響應(yīng)曲線，在控制器作用下系統(tǒng)狀態(tài)最終穩(wěn)定， 表明所設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器有效。 雙端事件觸發(fā)機(jī)制作用時(shí)刻如圖6、7所示，可知僅需80個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)和51個(gè)控制數(shù)據(jù)便可以保證對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，對(duì)網(wǎng)絡(luò)資源的占有率分別為53.3%、34.0%，相對(duì)于單端事件觸發(fā)機(jī)制明顯節(jié)省了網(wǎng)絡(luò)資源。

圖3 開環(huán)控制系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖4 閉環(huán)控制系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖5 控制器響應(yīng)曲線

圖6 測(cè)量數(shù)據(jù)傳輸時(shí)刻和傳輸間隔

圖7 控制數(shù)據(jù)傳輸時(shí)刻和傳輸間隔

5 結(jié)束語

針對(duì)離散不確定Markov跳變系統(tǒng)，在雙端事件觸發(fā)機(jī)制下給出了一種動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)方案。 采用奇異值分解法和線性不等式技術(shù)求取出動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器參數(shù)，在系統(tǒng)具有雙模態(tài)跳變情況下，利用雙端事件觸發(fā)機(jī)制對(duì)傳輸數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，進(jìn)一步節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源。 提出的H∞控制方法為飛行器控制和化工生產(chǎn)過程等領(lǐng)域的應(yīng)用提供理論參考。