蘇立鵬　李銘輝　梁詩(shī)埼

分類討論思想是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn).下面舉例介紹其在中考試卷里的應(yīng)用.

[真題再現(xiàn)]

例1 （2022·湖南·衡陽(yáng)）如圖1，已知拋物線y = x2 - x - 2交[x]軸于A，B兩點(diǎn)，將該拋物線位于[x]軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于點(diǎn)C．

（1）寫(xiě)出圖象W位于A，B兩點(diǎn)之間的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若直線[y=-x+b]與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出[b]的值.

（3）[P]為[x]軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)[P]作[PM?y]軸交直線[BC]于點(diǎn)[M]，交圖象[W]于點(diǎn)[N]，是否存在這樣的點(diǎn)[P]，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)[P]的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

[思路分析]

整體分析：用分段函數(shù)的模型和分類討論的思想來(lái)分析，把圖形分成三段分別研究，第一問(wèn)即是中間段的函數(shù)表達(dá)式（這是分類中的一個(gè)部分，要注意取值范圍），第二問(wèn)、第三問(wèn)都可以轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的二次函數(shù)交點(diǎn)數(shù)量問(wèn)題和相似三角形存在性問(wèn)題，注意圖象特征即可.

逐問(wèn)分析：（1）先求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式. （2）其一由圖象可直接求得，其二根據(jù)第一種情況分析并聯(lián)立方程組，由判別式Δ = 0求出b的值. （3）要結(jié)合題中的條件進(jìn)行兩次分類討論：第一次分類根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分∠CNM = 90°和∠NCM = 90°兩種情況；第二次分類根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)B的相對(duì)位置，分點(diǎn)P在線段AB上和點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上兩種情況．

[過(guò)程詳解]

解：（1）由翻折可知：C（0，2）.令[x2-x-2=0]，解得[x1=-1]，[x2=2]，∴A（ - 1，0），B（2，0）. 設(shè)圖象[W]位于A，B兩點(diǎn)之間的部分的解析式為y = a（x + 1）（x - 2），將C（0，2）代入，解得[a=-1]，∴圖象[W]位于A，B兩點(diǎn)之間的部分的函數(shù)關(guān)系式為y = - （x + 1）（x - 2） = [-x2+x+2]（[-1≤x≤2]）．

（2）聯(lián)立方程組[y=-x+b，y=-x2+x+2，]整理，得[x2-2x+b-2=0]，由Δ = 4 - 4（b - 2） = 0，得b = 3，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. 由圖象可知，當(dāng)b = 2或b = 3時(shí)，直線[y=-x+b]與圖象[W]有三個(gè)交點(diǎn).

（3）存在. 如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上且[CN?OB]時(shí)，[△OBC∽△NCM]，此時(shí)，點(diǎn)N與C關(guān)于直線[x=12]對(duì)稱，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1，∴P（1，0）；如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線上且[CN?OB]時(shí)，[△OBC∽△NCM]，此時(shí)，點(diǎn)[N]縱坐標(biāo)為2，由[x2-x-2=2]，解得[x1=1+172]，[x2=1-172]（舍），∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為[1+172]，所以[P1+172，0]；如圖4，當(dāng)[∠NCM=90°]時(shí)，[△OBC∽△CNM]，此時(shí)，直線[CN]的解析式為[y=x+2]，聯(lián)立方程組[y=x+2，y=x2-x-2，]整理得x2 - 2x - 4 = 0，解得[x1=1+5]，[x2=1-5]（舍），∴N的橫坐標(biāo)為[1+5]，所以P（[1+5]，0）.

[能力提升]

例2 （2021·四川·瀘州）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線[y=-14x2+32x+4]與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn).

（1）求證：∠ACB = 90°.

（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．

①求DE + BF的最大值；

②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解：（1）令x = 0，得[y=4]，∴C（0，4）. 令[y=0]得[-14x2+32x+4=0]，解得x1 = -2，x2 = 8，[∴A（-2，0）]，[B（8，0）]，∴[AB=10]，[AC=25]，[BC=45]. [∵102= （25）2+（45）2]，[∴AB2=AC2+BC2]，[∴∠ACB=90°].

（2）①設(shè)直線BC的解析式為[y=kx+b（k≠0）]，將[B（8，0）]，[C（0，4）]代入得[8k+b=0，b=4，]解得[k=-12，b=4，][∴y=-12x+4]. 設(shè)[Dx，-14x2+32x+4]，[∴BF=8-x，DE=-14x2+32x+4--12x+4=-14x2+2x]，[∴DE+BF=-14x2+2x+8-x] [=-14x2+x+8] [=-14（x-2）2+9]. [∵-14<0]，[∴-14（x-2）2≤0]，[∴-14（x-2）2+9≤9]，[∴DE+BF≤9]，即DE + BF的最大值為9.

②[∵]點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，∴在[Rt△AOC]中，[OG=12AC=AG=5]，即△AOG為等腰三角形. [∵∠CAO+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°]，[∴∠CAO=∠OCB]. [∵OC?DF]，[∴∠OCB=∠DEC]，[∴∠CAO=∠DEC].

a. 若△AGO ∽ △EDC，則[AGAO=EDEC=52]，即[-14x2+2xEC=52]，∴[52]EC = -[14]x2 + 2x. [∵OC?DF]，[∴ECBC=FOOB，∴EC=BC?FOOB=5x2]，[∴-14x2+2x=5x2×52]，[∴x2-3x=0]，解得x1 = 0，[x2=3]. 當(dāng)x = 0時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，不符合題意，∴此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為[3，254].

b.當(dāng)△AGO ∽ △ECD時(shí)，[AGAO=ECED=52]，即[EC-14x2+2x] = [52]，∴EC = [52-14x2+2x]，[∵OC?DF]，∴[ECBC=FOOB]，[∴EC=BC?FOOB=5x2]，∴[52-14x2+2x] = [52x]，整理得，[∴x2-4x=0]，解得[x1=0]，[x2=4]. ∵x = 0不符合題意，舍去. ∴此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，6）.

綜上所述，[D3，254]或[D（4，6）]．