倉(cāng)林青，王友國(guó)，孫先莉

(南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210023)

0 引 言

在互聯(lián)網(wǎng)科技發(fā)展的時(shí)代，在線社交網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為人們分享信息和相互交流的一種重要途徑。由于在線社交網(wǎng)絡(luò)的便利性、匿名性和開(kāi)放性，信息可以自由且快速地傳播。不幸的是，謠言也將在社交網(wǎng)絡(luò)上大量傳播[1-2]。謠言是指在社會(huì)中出現(xiàn)并流傳的未經(jīng)官方公開(kāi)證實(shí)或已被官方所辟謠的信息[3-5]。例如，“5G高速技術(shù)導(dǎo)致新冠肺炎快速傳播、酒精能夠預(yù)防新冠肺炎”等一系列不實(shí)謠言不僅混淆公眾認(rèn)知而且對(duì)個(gè)人和社會(huì)造成有害的影響[6-7]。因此，探索復(fù)雜社交網(wǎng)絡(luò)中的謠言擴(kuò)散規(guī)律具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

考慮到謠言傳播過(guò)程與傳染病擴(kuò)散過(guò)程的高度相似性，許多學(xué)者通過(guò)改良傳染病模型來(lái)構(gòu)建謠言傳播模型，探究謠言傳播的內(nèi)在規(guī)律[8-12]。后來(lái)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論逐漸應(yīng)用于謠言傳播領(lǐng)域，以刻畫(huà)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的影響[13]。Yu等人[14]在復(fù)雜社交網(wǎng)絡(luò)中提出一種考慮討論者的謠言傳播模型，分析了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性并研究了無(wú)謠言平衡點(diǎn)處的臨界閾值情況。Xu等人[15]考慮到個(gè)體心理因素，在無(wú)標(biāo)度社交網(wǎng)絡(luò)上構(gòu)造SHPRS謠言傳播模型，利用下一代矩陣法推導(dǎo)基本再生數(shù)，詳細(xì)研究了無(wú)謠言平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性和謠言傳播的持久性。Niranjan等人[16]運(yùn)用平均場(chǎng)理論來(lái)構(gòu)造雙重信息擴(kuò)散模型，研究了傳播率對(duì)網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的影響。在社交網(wǎng)絡(luò)中，不同的傳播機(jī)制和個(gè)體的社會(huì)行為屬性會(huì)影響謠言傳播進(jìn)程。Xia等人[17]考慮到謠言內(nèi)容的模糊性和吸引力特征，建立了具有猶豫機(jī)制的SEIR謠言傳播模型，仿真結(jié)果表明減小模糊性可以有效提高傳播閾值和降低謠言最大影響，且傳播閾值與吸引力無(wú)關(guān)。Wang等人[18]將信任機(jī)制引入謠言傳播過(guò)程中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示信任機(jī)制不僅擴(kuò)大了傳播閾值還減小了謠言最終規(guī)模，從而降低了謠言傳播的速度。Zhao等人[19-20]研究了遺忘機(jī)制和記憶機(jī)制對(duì)謠言傳播的影響。李燕等人[21]將非支持性評(píng)論行為考慮到謠言傳播模型，探究非支持性評(píng)論對(duì)網(wǎng)絡(luò)謠言的影響。另外，復(fù)雜社交網(wǎng)絡(luò)經(jīng)常受許多環(huán)境因素的影響，隨機(jī)模型才能更加準(zhǔn)確地描述真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)。通過(guò)將環(huán)境因素抽象為噪聲，研究者們建立隨機(jī)微分方程模型來(lái)探討噪聲干擾下的謠言傳播動(dòng)力學(xué)過(guò)程[22-23]。賈芳菊[24]提出一個(gè)帶有白噪聲的隨機(jī)謠言傳播模型，研究隨機(jī)模型中謠言正解的存在性、持久性和熄滅性，得出在白噪聲影響下，隨機(jī)模型的基本再生數(shù)R0小于確定性系統(tǒng)的。Zhu等人[25]利用標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)修正節(jié)點(diǎn)度來(lái)體現(xiàn)噪聲干擾，提出一個(gè)修正的SIR謠言傳播模型，探索了噪聲干擾下的謠言擴(kuò)散動(dòng)力學(xué)行為。Chai等人[26]綜合考慮人口擾動(dòng)和連通度變化的情況，建立一個(gè)隨機(jī)信息擴(kuò)散模型，更加全面地研究了噪聲擾動(dòng)對(duì)模型的影響。

以上的研究成果對(duì)謠言傳播機(jī)制做出了巨大貢獻(xiàn)，但大多數(shù)模型沒(méi)有將傳播者個(gè)體內(nèi)在的心理差異因素考慮進(jìn)謠言傳播模型。在復(fù)雜社交網(wǎng)絡(luò)中，不同心理敏感程度的傳播者在面對(duì)信息時(shí)將會(huì)有不同的反應(yīng)。當(dāng)一個(gè)心理敏感度高的傳播者在傳播謠言時(shí)，由于聽(tīng)到與其所傳謠言相悖的言論或出于“自我保護(hù)”意識(shí)的敏感心理，心理敏感度高的傳播者將會(huì)自發(fā)地變成沉默者，暫時(shí)不傳播謠言。然而，沉默者個(gè)體再次接觸傳播者后，也會(huì)受“隨波逐流”心理的影響而轉(zhuǎn)變成傳播者，再次開(kāi)始傳播謠言。基于以上分析，該文在基本SIR謠言傳播模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)考慮傳播者心理差異因素而引入沉默者個(gè)體，同時(shí)考慮噪聲干擾的影響，構(gòu)建隨機(jī)Si-SIR謠言傳播模型，研究隨機(jī)Si-SIR謠言傳播模型的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，證明謠言消亡的充分條件，并進(jìn)行穩(wěn)態(tài)分析來(lái)研究傳播閾值的情況。利用蒙特卡洛方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，分析噪聲干擾和傳播者心理差異因素對(duì)謠言傳播造成的影響。該模型考慮的因素更加全面且貼合真實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)，為探究復(fù)雜社交網(wǎng)絡(luò)的謠言傳播規(guī)律和謠言有效防控提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1 噪聲干擾下的隨機(jī)Si-SIR謠言傳播模型

根據(jù)社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的特征，假設(shè)在一個(gè)由N個(gè)個(gè)體組成的社交網(wǎng)絡(luò)中，將個(gè)體狀態(tài)分為以下四類：未知者S(從未接觸過(guò)謠言的個(gè)體，但易受謠言的影響)、傳播者I(相信并傳播謠言的個(gè)體)、沉默者Si(保持沉默狀態(tài)的個(gè)體，來(lái)源于傳播者個(gè)體但暫時(shí)不傳播謠言)和免疫者R(知道謠言但從不傳播謠言的個(gè)體)。假設(shè)傳播者通過(guò)與其他個(gè)體直接接觸而傳播謠言，由于謠言的生存周期遠(yuǎn)小于個(gè)體的生命周期，即在謠言擴(kuò)散的整個(gè)過(guò)程中不考慮個(gè)體的出生率和死亡率?？紤]傳播者心理差異的Si-SIR謠言傳播規(guī)律描述如下：

(1)當(dāng)未知者與傳播者接觸，一部分未知者以傳播率λ轉(zhuǎn)化為傳播者，另一部分未知者以拒絕率γ轉(zhuǎn)化為免疫者。

(2)考慮到傳播者心理差異因素，心理敏感度高的傳播者自發(fā)地以沉默率β轉(zhuǎn)變?yōu)槌聊?；另一方面，?dāng)沉默者接觸傳播者，沉默者以復(fù)發(fā)率θ轉(zhuǎn)變?yōu)閭鞑フ摺⑦@兩者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系稱為沉默-復(fù)發(fā)機(jī)制。

(3)當(dāng)傳播者與沉默者、免疫者和其他傳播者接觸時(shí)，初始傳播者將以概率α轉(zhuǎn)化成免疫者，其中α稱為抑制率。

1.1 同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上的隨機(jī)Si-SIR謠言傳播模型

(1)

其中，初始條件為S(0)=(N-1)/N≈1，I(0)=1/N≈0，Si(0)=R(0)=0，N表示網(wǎng)絡(luò)規(guī)模。圖1示意的是隨機(jī)Si-SIR謠言傳播模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程。

圖1 隨機(jī)謠言傳播模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

1.2 異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上的隨機(jī)Si-SIR謠言傳播模型

(2)

βIk'(t)-αk'Ik'(t)Φ(t)

(3)

(4)

(5)

2 隨機(jī)模型的穩(wěn)態(tài)分析

2.1 謠言消亡的充分條件

(6)

這意味著當(dāng)t→∞時(shí)，謠言將依概率1消亡。

證明：定義函數(shù)F(I(t))=lnI(t)，則F(I(t))關(guān)于t連續(xù)可微，關(guān)于I二階可微，由伊藤引理可得(簡(jiǎn)記B(t)，S(t)，I(t)，Si(t)，R(t)分別為Bt，St，It，Sit，Rt)：

β)dt+(λσSt+(θ-α)σSit-ασIt-

ασRt)dBτ

(7)

對(duì)式兩邊求定積分，再取極限，可得：

由于Bt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，即Bt～N(0,1)，因此，

2.2 同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上的穩(wěn)態(tài)分析

在定理1的條件下，當(dāng)同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中不存在傳播者個(gè)體時(shí)(I(t)=0)，即謠言停止傳播，此時(shí)系統(tǒng)中僅有免疫者個(gè)體，整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。因此，將最終的免疫節(jié)點(diǎn)密度表示為謠言的最終規(guī)模R，該文通過(guò)研究謠言的最終規(guī)模R來(lái)討論傳播閾值，進(jìn)而分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得：

即：

(8)

同時(shí)，終止時(shí)刻有S(∞)=1-R(∞)，對(duì)方程左右兩端關(guān)于R(t)和S(t)從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)積分，再對(duì)兩端取以e為底的指數(shù)，得到超越方程：

(9)

顯然，方程始終有平凡解R=0。此外，若求解非平凡解，則必須滿足：

(10)

由于等價(jià)條件(λ+α)/α>1對(duì)非零的參數(shù)λ和α總是成立的，所以，當(dāng)λ>0時(shí)，方程存在非平凡解。

觀察圖2可知，謠言的最終規(guī)模R隨著傳播率λ的增加而增加，越大的抑制率α導(dǎo)致越小的謠言的最終規(guī)模。這是由于傳播率越大，促進(jìn)越多的未知者轉(zhuǎn)變?yōu)閭鞑フ?，從而提高了謠言的最終規(guī)模。然而，抑制率越高，越多的傳播者停止傳播謠言，成為免疫者，從而導(dǎo)致系統(tǒng)中留下的傳播者越少，傳播者與未知者的接觸概率減小，導(dǎo)致謠言的最終規(guī)模降低。當(dāng)λ=0時(shí)，才有R=0，這表明當(dāng)傳播率λ>0時(shí)系統(tǒng)中有謠言傳播，意味著隨機(jī)模型不存在傳播閾值，這與文獻(xiàn)[19]的結(jié)論一致。

圖2 謠言的最終規(guī)模R隨傳播率λ和抑制率α的變化趨勢(shì)

2.3 異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上的穩(wěn)態(tài)分析

〈〈e-(λ+γ)k'φ(t')〉〉]dt'-

〈〈e-(λ+γ)k'φ(t')〉〉]dt'

(11)

利用以上方法對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得：

(12)

當(dāng)t→∞時(shí)，有dφ(t)/dt=0，dψ(t)/dt=0。因此，化簡(jiǎn)并聯(lián)立方程和可以得到：

〈〈e-(λ+γ)k'φ(t')〉〉]dt'=0

(13)

分別對(duì)方程和進(jìn)行積分，可得：

e-(λ+γ)k'φ(t)〉〉dt'

(14)

(15)

對(duì)式和式關(guān)于α取高階無(wú)窮小，聯(lián)立后化簡(jiǎn)可得關(guān)于Ik'(t)的表達(dá)式：

(16)

令φ(t)=φ∞f(t)，其中f(t)是有限函數(shù)。因此，式可化簡(jiǎn)為：

(17)

通過(guò)將式代入方程化簡(jiǎn)可得：

(18)

以上結(jié)果表明在異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上無(wú)傳播閾值，即謠言可以擴(kuò)散并影響系統(tǒng)中的個(gè)體，這與文獻(xiàn)[20]的結(jié)論一致。

3 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證所提隨機(jī)謠言傳播模型的正確性，分別在人工網(wǎng)絡(luò)(WS網(wǎng)絡(luò)、BA網(wǎng)絡(luò))和Facebook真實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，具體的特征參數(shù)見(jiàn)表1。利用蒙特卡洛方法模擬謠言傳播的演化過(guò)程，分析參數(shù)對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的影響。為減小隨機(jī)誤差，所有模擬結(jié)果都是經(jīng)過(guò)100次獨(dú)立仿真得到的平均結(jié)果，且在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中設(shè)定一個(gè)初始傳播者。同時(shí)，系統(tǒng)中的噪聲設(shè)定為獨(dú)立同分布的零均值高斯白噪聲。網(wǎng)絡(luò)中的傳播率λ、拒絕率γ、沉默率β、復(fù)發(fā)率θ、抑制率α和噪聲強(qiáng)度σ設(shè)置為0.6，0.2，0.5，0.5，0.8和11(滿足定理1的條件)。

表1 WS、BA和Facebook網(wǎng)絡(luò)的特征參數(shù)

圖3 BA網(wǎng)絡(luò)中不同噪聲擾動(dòng)次數(shù)下的度分布(弱噪聲)

考慮到真實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)顯著的無(wú)標(biāo)度特征[27-28]，主要研究噪聲對(duì)BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響。圖3分別展示了在經(jīng)歷0次、1次、5次、10次弱噪聲(σ=1)干擾下的BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)演化趨勢(shì)。其中子圖(a)表示初始時(shí)刻的網(wǎng)絡(luò)度分布，近似服從冪律分布即網(wǎng)絡(luò)中大部分節(jié)點(diǎn)的度較小，存在少量的高連通度節(jié)點(diǎn)(稱為hub節(jié)點(diǎn))，具有顯著的長(zhǎng)尾特征。在子圖(b)中，經(jīng)歷一次弱噪聲擾動(dòng)后，度分布出現(xiàn)輕微震蕩，節(jié)點(diǎn)度k與度分布P(k)不再完全滿足指數(shù)下降關(guān)系，但整體依然近似滿足冪律分布。通過(guò)觀察圖3(c)和圖3(d)發(fā)現(xiàn)，經(jīng)歷多次弱噪聲干擾后，BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布出現(xiàn)多個(gè)局部峰值，即網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)大量次級(jí)中心節(jié)點(diǎn)，原h(huán)ub節(jié)點(diǎn)的分布變得稀疏，網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度特征被破壞。這些現(xiàn)象表明即使很小的噪聲也會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)的度分布。

圖4分別顯示在WS、BA人工網(wǎng)絡(luò)和Facebook真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中，噪聲干擾對(duì)謠言傳播演化過(guò)程的影響。在不考慮噪聲擾動(dòng)時(shí)，從圖4(a)、4(c)、4(e)可以看出，F(xiàn)acebook網(wǎng)絡(luò)上謠言的最終規(guī)模是最大的，WS網(wǎng)絡(luò)第二，BA網(wǎng)絡(luò)最小。但是，謠言在Facebook網(wǎng)絡(luò)上達(dá)到穩(wěn)態(tài)和峰值所需的時(shí)間比WS和BA網(wǎng)絡(luò)短。此外，謠言在WS網(wǎng)絡(luò)中的最終規(guī)模R稍大于BA網(wǎng)絡(luò)，而B(niǎo)A網(wǎng)絡(luò)中的擴(kuò)散速度明顯比WS網(wǎng)絡(luò)快。這是由于BA網(wǎng)絡(luò)中的hub節(jié)點(diǎn)使得更多的鄰居節(jié)點(diǎn)更容易獲得謠言并更有效的向其他節(jié)點(diǎn)傳播謠言，這在一定程度上加速謠言的傳播，然而，當(dāng)hub節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為免疫節(jié)點(diǎn)后也會(huì)在一定程度上阻礙謠言的傳播，這與文獻(xiàn)[29]中的結(jié)論一致。Facebook網(wǎng)絡(luò)擁有比BA網(wǎng)絡(luò)更多的hub節(jié)點(diǎn)，這些hub節(jié)點(diǎn)可以使得謠言在更短的時(shí)間內(nèi)蔓延到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，從而造成更大的謠言最終規(guī)模。因此，謠言在Facebook網(wǎng)絡(luò)中傳播的速度最快，也是最早開(kāi)始衰落的，并最終趨于消亡。在考慮噪聲擾動(dòng)時(shí)，通過(guò)圖4(b)、4(d)、4(f)與圖4(a)、4(c)、4(e)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，添加適量噪聲進(jìn)行干擾可以促使人工網(wǎng)絡(luò)和Facebook真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中謠言的最終規(guī)模R更大，傳播節(jié)點(diǎn)達(dá)到峰值的時(shí)間更早且峰值更高，即噪聲干擾可以有效促進(jìn)謠言的擴(kuò)散。此外，網(wǎng)絡(luò)中添加噪聲干擾，使得沉默節(jié)點(diǎn)最終趨于消亡，這表明噪聲干擾在沉默節(jié)點(diǎn)復(fù)發(fā)為傳播節(jié)點(diǎn)方面起到促進(jìn)作用，從而降低了系統(tǒng)中沉默節(jié)點(diǎn)的比例。

圖4 不同網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播的演化過(guò)程

為了更加有針對(duì)性地研究沉默-復(fù)發(fā)機(jī)制對(duì)謠言傳播的影響，假設(shè)此時(shí)忽略噪聲對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響，系統(tǒng)中模型參數(shù)為：λ=0.6，γ=0.2，α=0.8。圖5表示在不同的沉默率β和復(fù)發(fā)率θ情況下，傳播節(jié)點(diǎn)密度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)。圖5中傳播節(jié)點(diǎn)密度的峰值表示謠言的最大影響Imax。仿真實(shí)驗(yàn)表明，沉默-復(fù)發(fā)機(jī)制越強(qiáng)烈，謠言的最大影響Imax的值越大，且謠言消亡的時(shí)間越晚。這是因?yàn)樵綇?qiáng)的沉默-復(fù)發(fā)機(jī)制削弱了抑制率α，從而使得系統(tǒng)中謠言的最大影響Imax提高。相比于傳播者的自發(fā)沉默行為，沉默者的復(fù)發(fā)行為起著更為重要的作用。不難理解，隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，個(gè)體之間進(jìn)行信息交流變得更加頻繁、便捷。在傳播者因心理差異因素而自發(fā)變成沉默者時(shí)，沉默者又會(huì)頻繁地接觸到外界的謠言信息并再次進(jìn)行謠言傳播。沉默-復(fù)發(fā)機(jī)制在謠言傳播過(guò)程中起著促進(jìn)作用，但延遲了謠言消亡的時(shí)間。此外，BA網(wǎng)絡(luò)和Facebook真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中謠言達(dá)到最大影響Imax所需的時(shí)間短于WS網(wǎng)絡(luò)，這是由于BA網(wǎng)絡(luò)和Facebook網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度特征所引起的。

圖5 沉默-復(fù)發(fā)機(jī)制對(duì)傳播節(jié)點(diǎn)密度的影響

4 結(jié)束語(yǔ)

考慮到復(fù)雜社交網(wǎng)絡(luò)受環(huán)境因素的影響以及傳播者個(gè)體存在的心理差異，該文在基本SIR謠言傳播模型的基礎(chǔ)上，建立一個(gè)隨機(jī)Si-SIR謠言傳播模型。利用平均場(chǎng)理論在同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)和異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中構(gòu)建隨機(jī)微分方程，證明了謠言消亡的充分條件，并對(duì)隨機(jī)模型進(jìn)行穩(wěn)態(tài)分析來(lái)研究傳播閾值情況。利用蒙特卡洛方法模擬謠言在WS小世界網(wǎng)絡(luò)、BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)和Facebook真實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)中的傳播演化，分析了噪聲干擾和沉默-復(fù)發(fā)機(jī)制對(duì)謠言傳播過(guò)程的影響。仿真實(shí)驗(yàn)表明，適量的噪聲干擾可以加速謠言的傳播演化，擴(kuò)大謠言的最大影響和謠言的最終規(guī)模。沉默-復(fù)發(fā)機(jī)制提高了謠言的最大影響，但延長(zhǎng)了謠言消亡的時(shí)間。此外，隨機(jī)Si-SIR謠言傳播模型不存在傳播閾值。因此政府部門(mén)或有公信力的媒體平臺(tái)要加強(qiáng)辟謠網(wǎng)站的建設(shè)，及時(shí)發(fā)布辟謠信息，降低沉默節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)率，弱化傳播者心理差異造成的影響。雖然研究的多種因素對(duì)謠言傳播過(guò)程的影響具有一定的意義，但是把最優(yōu)化控制方法考慮到謠言傳播模型中，解決謠言控制問(wèn)題也是未來(lái)值得研究的方向。