倪子凡，張云華

（浙江理工大學 信息學院，杭州 310018）

0 引言

在中國，草莓作為一種重要的經濟作物，其年產量約200 萬噸，產值約300 億元［1］。隨著草莓種植在國內的普及，使用科學的方法對草莓的種植策略進行指導也漸漸成為了一個熱點問題。

生長模型、即研究生物生長情況的模型，一般是根據生物實際累積生長曲線進行擬合的理論生長曲線，可由累積重量和時間的函數表示。生物的生長一般情況下符合先快速增長，后平緩接近于某一臨界值的規(guī)律，實際生產實踐與應用中常用S型曲線表示，一般具有非線性的特點，故可以使用非線性的數學模型來模擬生物的生長規(guī)律［2］。研究作物累積重量隨時間變化的規(guī)律，建立可靠的統計模型，可以更加全面地了解作物的生長情況以及不同生長階段的生長潛力，有助于對作物的生長進行預測，分析種植效果，從而針對不同的情況制定不同的種植策略，以期達到最理想的種植效果。

本文使用Logistic 曲線模型對草莓的生長過程進行研究，并提出了一種改進的生長模型，該改進模型相較于Logistic 曲線模型更好地擬合和重現了草莓在生長周期中累積重量的變化。

1 相關知識

Logistic 曲線模型又被稱為皮爾（Pearl）曲線模型，是一種應用非常廣泛的非線性增長曲線模型。該曲線模型可用于描述事物發(fā)生、發(fā)展、成熟和極限四個階段的生長變化過程，最早是應用于生物繁殖、人口發(fā)展統計和產品生命周期分析等方面［3］，后逐漸推廣到人工神經網絡、生態(tài)學、經濟學等諸多學科［4］。該曲線增長率大于零，有唯一的拐點和一條水平漸近線［5］，是一種簡單的飽和增長模型［6］。國內外學者數年來的理論和實驗研究都證明該模型具有可信的識別、預測和推廣能力［7］。

假設作物累積重量的自然增長率，即凈增長率在一定時期內為常數k。由該假設可知，作物的累積重量增長率，即單位時間內累積重量的增長量與當時作物的重量成正比，其比例系數為k，且k ＞0。由于增長率本質上反映的是變化速度，故可以利用微分方程來建立模型［8］，列出方程見式（1）：

其中，t表示時間，P（t）表示t時刻作物的累積重量，這樣便得到了一個一階常微分方程。將式（1）分離變量后積分可得公式（2）：

其中，當時間t取0時，P（t）的值為C，即C表示初始情況下的作物累積重量［9］。該式即為馬爾薩斯于1798 年提出的指數增長模型［10］，在該模型下作物累積重量的增長是非常快的，后期將形成爆炸式增長，這顯然是不符合實際情況的。回到基本假設中可以發(fā)現，實際上作物在生長到一定程度后，其自然生長率在受到資源、環(huán)境等因素的制約后并不會維持不變［11］，而是隨著時間逐漸減少，即基本假設中的自然增長率k應該是P（t）的減函數。為表示出增長率受資源限制的關系，設當前環(huán)境下作物所能達到的最大累計重量為M，則M-P（t）表示當前時間t時作物累計重量的剩余增長空間。k與M -P（t）為正相關關系，令k＝λ（M -P（t）），代入式（1），可得式（3）：

對式（3）進行變形，得到式（4）：

由式（4）可得式（5）：

式（5）兩邊導數相等，則求導前的函數相差一個任意實數，設為C，得到式（6）：

兩邊取e的對數，得到式（7）：

令eC＝1／a，λM＝b，解得式（8）：

式（8）即為Logistic 曲線模型的積分形式。

2 模型改進

本文在Logistic 曲線模型的基礎上對作物累積重量的自然增長率進行了優(yōu)化，使其更符合實際生產中的情況。

由前文可知，作物累積重量的自然增長率k與剩余增長空間M -P（t）之間成正相關，但實際生產中二者之間的關系并不一定是線性的［12］，而更可能是時間t的函數，且隨著時間的增長持續(xù)下降［13］，可設其為r（t），即推得式（9）：

本文討論r（t）為一次函數的情況，這里令r(t)＝at+b，a和b為參數，得到公式（10）：

同式（8）的推導過程，可得公式（11）：

其中，c為任意實數。

3 實驗與分析

3.1 實驗數據及工具

為了對比2 種模型的擬合效果，本文采用了Universidade Federal de Santa Maria 的草莓實驗數據集，該數據集使用了16 種不同的處理方法對草莓進行種植，在完全成熟階段，每周2 次、共進行37 次收獲并稱重。

擬合的工具使用的是SPSS26，這是一款圖形操作界面友好的統計軟件，可以對目標數據集進行回歸分析，并給出參數的估計值和擬合優(yōu)度［14］。

3.2 實驗數據的預處理

由于SPSS26 在擬合數據較大時會出現擬合失敗的情況，故需對數據進行預處理。本文采用計算頻率的方式處理數據，即將每一時刻的累積重量除以總累積重量，時間同理，以此將數據大小限制在0到1 之間，方便進行擬合［15］。

3.3 實驗結果

通過使用SPSS26 軟件對2 種模型各自在5 組數據上進行擬合，對比Logistic 曲線模型和本文提出的改進模型的擬合效果，采用可決系數（R2）作為指標來評價擬合優(yōu)度，計算方法見式（12）：

將一組數據預處理后輸入SPSS26 后使用改進生長模型曲線進行擬合，擬合結果如圖1 所示。圖1中，橫坐標為迭代次數，縱坐標為殘差平方和。圖1中，從圖1 可以看出，數據擬合效果較好，雖然前幾次迭代中殘差平方和有所上升，但在接下來的迭代中殘差平方和迅速降低、并趨于穩(wěn)定。

圖1 擬合結果殘差平方和Fig.1 RSS of fitting results

將2 種模型在相同數據集上進行擬合，擬合的評價結果見表1。

表1 2 種模型的實驗結果Tab.1 Results of two models

由表1 可以看出，本文提出的改進生長模型對比Logistic 曲線模型在可決系數的指標上都有所提高，可以更準確地重現草莓在生長過程中的累積重量變化，具有良好的指導意義。

4 結束語

本文提出了一種基于Logistic 曲線模型的生長模型，對Logistic 曲線模型中的作物累積重量自然增長率進行了優(yōu)化，使其更符合實際情況。本文對多種不同處理下的草莓生長數據分別使用Logistic 曲線模型和改進生長模型進行擬合，實驗結果表明改進后的生長模型的擬合效果更好?？紤]到生長模型曲線泛用性強的特點，今后的研究工作中將會嘗試將其推廣到更多的領域，并結合實際情況加以改進，以便為更多領域的數據統計提供一個可靠的統計模型。