吳瓊

沈陽(yáng)市南昌初級(jí)中學(xué)任景娜老師的直播課《二元一次方程組及其應(yīng)用》，選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺(tái)“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科教研核心團(tuán)隊(duì)名師公益學(xué)堂”，旨在引領(lǐng)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展，服務(wù)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

觀看完任景娜老師的直播課，其中的引例引發(fā)我進(jìn)一步思考. 在這里，我和同學(xué)們一起從含有參數(shù)的一元一次方程的整數(shù)解、二元一次方程的整數(shù)解、一次函數(shù)的整數(shù)點(diǎn)這三個(gè)角度來(lái)看待同一個(gè)問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)模型的無(wú)窮魅力.

身邊實(shí)例

大連市第三十七中學(xué)的吳老師為學(xué)生購(gòu)買(mǎi)數(shù)學(xué)計(jì)算大賽的獎(jiǎng)品，回到學(xué)校后，向王主任交賬時(shí)說(shuō)：“我買(mǎi)了兩類(lèi)筆記本，共105本，單價(jià)分別為8元和12元，買(mǎi)本前我領(lǐng)取了1400元，現(xiàn)在還剩余318元. ”王主任算了一下說(shuō)：“你肯定搞錯(cuò)了. ”

（1）請(qǐng)同學(xué)們用方程的知識(shí)給予解釋?zhuān)?/p>

（2）吳老師急忙拿出發(fā)票，發(fā)現(xiàn)多買(mǎi)了1支水筆，但水筆的單價(jià)寫(xiě)得模糊不清，吳老師只記得水筆的價(jià)格為小于6的正整數(shù)，則這支水筆的單價(jià)應(yīng)該為多少元？

解析：（1）設(shè)買(mǎi)8元的筆記本x本、12元的筆記本（105 - x）本，

根據(jù)題意列方程：8x + 12 （105 - x） = 1 400 - 318，則x = 44.5（不符合題意），

44.5不是整數(shù)，所以吳老師肯定搞錯(cuò)了.

（2）設(shè)買(mǎi)8元的筆記本x本，買(mǎi)12元的筆記本（105 - x）本，1支水筆的單價(jià)為a元，

∴1400 - 8x - 12（105 - x） - a = 318，∴x = 44 + [2+a4].

∵x為正整數(shù)，且a為小于6的正整數(shù)，∴2 + a必須被4整除，∴a = 2.

∴1支水筆的價(jià)格為2元.

反思：本題也可以從列出含有a的關(guān)于8元筆記本的數(shù)量x的一元一次方程的角度求整數(shù)解；還可以建立以8元筆記本的數(shù)量為函數(shù)、水筆的價(jià)格為自變量的一次函數(shù)關(guān)系式，再去尋找一次函數(shù)的橫縱坐標(biāo)的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題. 這三個(gè)角度都是設(shè)未知數(shù)、建立等量關(guān)系，其本質(zhì)是相通的.

變式練習(xí)

表1是某次籃球聯(lián)賽積分. （1）請(qǐng)問(wèn)：勝一場(chǎng)積多少分？負(fù)一場(chǎng)積多少分？（直接寫(xiě)出答案）（2）若某隊(duì)的勝場(chǎng)總積分是負(fù)場(chǎng)總積分的n倍，n為正整數(shù)，求n的值.

解析：（1）設(shè)勝一場(chǎng)積x分，負(fù)一場(chǎng)積y分，則[10x+4y=24，9x+5y=23，]解得[x=2，y=1.]

則勝一場(chǎng)積2分，負(fù)一場(chǎng)積1分.

（2）設(shè)該隊(duì)勝a場(chǎng)，則負(fù)（14 - a）場(chǎng)，∴2a = （14 - a）n，∴n = [2a14-a].

當(dāng)a = 0時(shí)，n = 0，不符合題意；

當(dāng)a = 1，2，3，4，5，6，8，9，11時(shí)，n不是整數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a = 14時(shí)，等式無(wú)意義；

當(dāng)a = 7時(shí)，n = 2；當(dāng)a = 10時(shí)，n = 5；當(dāng)a = 12時(shí)，n = 12；當(dāng)a = 13時(shí)，n = 26.

綜上所述，n的值為2，5，12，26.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時(shí)間：8分鐘

表2是某校七年級(jí)、八年級(jí)、九年級(jí)某月課外興趣小組（分文藝小組和科技小組）活動(dòng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)表，其中各年級(jí)同一興趣小組每次活動(dòng)時(shí)間相同.

（1）請(qǐng)你完成以下分析，求出a，b的值：觀察表格，七年級(jí)、八年級(jí)科技小組活動(dòng)次數(shù)相同，文藝小組活動(dòng)次數(shù)相差次，活動(dòng)總時(shí)間相差h，由此可知文藝小組每次活動(dòng)時(shí)間為h，進(jìn)而可知科技小組每次活動(dòng)時(shí)間為h；根據(jù)題意可得a與b的關(guān)系式為，因?yàn)閍與b是自然數(shù)，所以a = ，b = .

（2）若學(xué)校重新規(guī)定：九年級(jí)每月課外興趣小組活動(dòng)總次數(shù)為8次，在文藝小組與科技小組每次活動(dòng)時(shí)間保持不變的情況下，求出九年級(jí)每月課外興趣小組活動(dòng)總時(shí)間y（h）與文藝小組活動(dòng)次數(shù)x（次）之間的函數(shù)關(guān)系式（其中規(guī)定x為大于1且小于8的自然數(shù)）. （答案見(jiàn)第33頁(yè)）

（作者單位：大連市第三十七中學(xué)）