金輝宇，倪 剛，蘭維瑤，李智斌

(1.廈門(mén)大學(xué)航空航天學(xué)院，福建廈門(mén)361102；2.新華三技術(shù)有限公司，浙江杭州310051；3.山東科技大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，山東青島266510)

2022年是廈門(mén)大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)科成立50周年，也是奈奎斯特發(fā)表文獻(xiàn)[1]90周年.該文提出了基于頻率響應(yīng)分析反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性的圖形化判據(jù)，該判據(jù)為控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)提供了新方法，標(biāo)志著頻域方法的成熟和古典控制時(shí)期的到來(lái).此后，這一判據(jù)被稱(chēng)作奈奎斯特判據(jù)，成為古典控制的核心內(nèi)容，在自動(dòng)控制的理論研究、工程實(shí)踐和教學(xué)中發(fā)揮著重要作用.而文獻(xiàn)[1]也入選控制理論歷史上最重要的25篇文獻(xiàn)，并因?yàn)榘l(fā)表時(shí)間而位居第一[2].

然而，20世紀(jì)60年代現(xiàn)代控制理論興起后，整個(gè)古典控制不再時(shí)髦，甚至被誤解為簡(jiǎn)單、過(guò)時(shí).奈奎斯特判據(jù)也就隨之被冷落，在教學(xué)和科研中的地位不斷降低.目前，國(guó)內(nèi)通常僅在本科階段學(xué)習(xí)奈奎斯特判據(jù)，研究生階段不再系統(tǒng)講述，轉(zhuǎn)而強(qiáng)調(diào)狀態(tài)空間方法.這就導(dǎo)致作為科研主力的研究生們總體上不熟悉奈奎斯特判據(jù)，難以用它解決面對(duì)的科研問(wèn)題.而這又進(jìn)一步加劇了“簡(jiǎn)單、過(guò)時(shí)”的誤解，甚至還要加上“無(wú)用”.奈奎斯特判據(jù)陷入了“被誤解—不被重視—難以應(yīng)用—誤解加深”的正反饋，其研究日漸衰微.

與狀態(tài)空間方法相比，奈奎斯特判據(jù)有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).它巧妙地平衡了數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)和工程直觀.它以復(fù)變函數(shù)理論為基石，充分嚴(yán)謹(jǐn)，常常能得到穩(wěn)定性的充要條件；它以圖形為主要分析手段，足夠直觀，便于工程技術(shù)人員接受.它一般不需要繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，特別適合研究低階單輸入單輸出對(duì)象.

為體現(xiàn)奈奎斯特判據(jù)的優(yōu)勢(shì)，本文用它研究時(shí)滯對(duì)象的自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC).ADRC是韓京清研究員[3-5]提出的一種通用控制技術(shù).它汲取了PID控制的思想精華，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、調(diào)參方便、魯棒性好、適用面廣等優(yōu)點(diǎn).它以“內(nèi)擾”來(lái)描述對(duì)象的不確定性，并將內(nèi)擾和外擾歸結(jié)為總擾動(dòng),再構(gòu)造擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer,ESO)實(shí)時(shí)估計(jì)總擾動(dòng),最后用反饋予以補(bǔ)償,從而實(shí)現(xiàn)“自抗擾”.由于統(tǒng)一處理內(nèi)、外擾，ADRC不依賴對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，在克服對(duì)象不確定性和抑制外擾方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).21世紀(jì)以來(lái)，ADRC蓬勃發(fā)展，在工業(yè)過(guò)程、伺服系統(tǒng)、汽車(chē)工業(yè)和航空航天等領(lǐng)域不斷取得成功應(yīng)用[6-7].受應(yīng)用研究的激勵(lì)，ADRC的理論研究也日趨活躍，成為當(dāng)時(shí)一個(gè)熱點(diǎn)[8-10].

在工業(yè)過(guò)程領(lǐng)域，由于存在傳輸時(shí)滯、容積時(shí)滯、測(cè)量時(shí)滯等因素，被控對(duì)象常常是時(shí)滯對(duì)象.ADRC高度重視時(shí)滯對(duì)象，發(fā)展出無(wú)視時(shí)滯法、階次提高法、時(shí)滯預(yù)估法等若干種控制時(shí)滯對(duì)象的方法，在工程實(shí)際中取得了良好的效果[11-12].但時(shí)滯對(duì)象ADRC的理論研究相對(duì)滯后，直到近年才找到若干穩(wěn)定性條件[13-14].目前，時(shí)滯對(duì)象ADRC穩(wěn)定性研究的主要工具是時(shí)滯常微分方程穩(wěn)定性理論，這一時(shí)域方法可以得到嚴(yán)格、精巧的理論結(jié)果，但存在理論艱深、學(xué)習(xí)困難的缺點(diǎn).

本文用奈奎斯特判據(jù)重新研究了一階時(shí)滯對(duì)象在ADRC下的穩(wěn)定性.所研究問(wèn)題的特點(diǎn)是，對(duì)象不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定，ADRC中采用降階ESO.這兩點(diǎn)增加了問(wèn)題的難度，一度被認(rèn)為難以用傳遞函數(shù)方法研究[14].本文先進(jìn)行框圖化簡(jiǎn)，將原問(wèn)題分母中的超越函數(shù)項(xiàng)分離出來(lái)，成為時(shí)滯對(duì)象反饋控制的標(biāo)準(zhǔn)形式.再分情況繪制奈奎斯特圖分析穩(wěn)定性，得到了與文獻(xiàn)[14]一致的充要條件.這表明，奈奎斯特判據(jù)是研究ADRC的有力工具.

1 奈奎斯特判據(jù)簡(jiǎn)介

考慮圖1(a)所示的反饋控制系統(tǒng)，其中r與y分別參考信號(hào)與輸出，G(s)與F(s)分別是前向通道和反饋通道的傳遞函數(shù).該系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于特征方程

1+G(s)F(s)=0

(1)

根的位置.當(dāng)且僅當(dāng)所有的根都在開(kāi)左半平面(left-half-plane,LHP)時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

圖1 反饋系統(tǒng)和D形圍線Fig.1Feedback system and D contour

假定奈奎斯特曲線順時(shí)針N次包圍點(diǎn)-1+i0，而G(s)F(s)在右半平面有P個(gè)極點(diǎn).奈奎斯特判據(jù)斷言，方程(1)的全部根中，不在LHP的根有Z=N+P個(gè).顯然，當(dāng)且僅當(dāng)Z=0時(shí)，反饋系統(tǒng)穩(wěn)定.

奈奎斯特判據(jù)適用于時(shí)滯對(duì)象[15].其詳細(xì)介紹和繪圖細(xì)節(jié)可見(jiàn)文獻(xiàn)[16-17].

2 理論結(jié)果

2.1 問(wèn)題描述

設(shè)有一階時(shí)滯對(duì)象

(2)

其中，u和x分別是對(duì)象的輸入與輸出，d是外部擾動(dòng)，常數(shù)L，b，τ的數(shù)值已知，且滿足L≥0，b,τ>0.控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)是跟蹤參考信號(hào)r.典型的r是一個(gè)階躍信號(hào).

為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了降階ESO

(3)

和控制器

(4)

問(wèn)題是分析由式(2)～(4)組成的一階LADRC系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

注1式(3)被稱(chēng)作降階ESO的原因是它的微分方程只有一階，而一般針對(duì)式(2)設(shè)計(jì)的ESO為兩階.

2.2 框圖及其簡(jiǎn)化

線性自抗擾控制(LADRC)系統(tǒng)(2)～(4)有框圖如圖2[14]所示，其中

(5)

(6)

(7)

由于控制器C(s)的分母是超越函數(shù)，其穩(wěn)定性分析被認(rèn)為是一個(gè)難題.

圖2 LADRC系統(tǒng)(2)～(4)的框圖[14]Fig.2Block diagram of LADRC system (2)～(4)[14]

現(xiàn)在化簡(jiǎn)圖2.由于外擾不影響線性時(shí)不變(linear time-invariant,LTI)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將D(s)刪去.考慮到圖3所示模塊有傳遞函數(shù)

(8)

則圖2可以化簡(jiǎn)為圖4(e)，中間過(guò)程見(jiàn)圖4(a)～(d).

圖3 一個(gè)具有傳遞函數(shù)(8)的模塊Fig.3A block with transfer function (8)

圖4 化簡(jiǎn)圖2結(jié)果Fig.4Simplification of Figure 2

2.3 增益穿越頻率

圖4(e)中的反饋回路有傳遞函數(shù)

(9)

其特征方程為

(s+β)(s-L)+(ks+kβ+βL)e-τs=0.

(10)

注意到式(10)也是圖2的特征方程，這再次表明圖2和圖4(e)的穩(wěn)定性相同.

引理1假設(shè)k,β>0，考慮式(9)和方程

|W(iω)|=1.

(11)

方程(11)有4個(gè)根，其中有且僅有一個(gè)正實(shí)根

ωc=

(12)

證明方程(11)可以改寫(xiě)為

兩邊平方后得

ω4+(β2+L2-k2)ω2-(k2β2+2kβ2L)=0.

它有兩個(gè)實(shí)根ω1,2=±ωc和兩個(gè)虛根，其中有且僅有ωc是正實(shí)根.

引理1表明，當(dāng)s從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到+i∞的過(guò)程中，僅在ωc處穿越單位圓一次.在古典控制中，ωc被稱(chēng)作增益穿越頻率，它是用奈奎斯特圖分析穩(wěn)定性時(shí)的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù).

證明由式(9)，有

2.4 穩(wěn)定性條件

現(xiàn)在建立穩(wěn)定性條件.

定理1考慮由式(2)～(4)組成的一階LADRC系統(tǒng)，假定k+β>L.記時(shí)滯上界

τ*=

(13)

該LADRC系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是時(shí)滯τ<τ*.

證明分別考慮L=0和L>0兩種情況.L=0時(shí)，式(9)簡(jiǎn)化為

圖5 L=0時(shí)W(s)的奈奎斯特圖Fig.5Nyquist diagram of W(s) when L=0

下面證明不包圍點(diǎn)-1的充要條件就是τ<τ*.分析W(s)的奈奎斯特曲線，當(dāng)ω=0+時(shí)，W(iω)在-i∞附近；隨著ω的增加，在ω=ωc處穿越單位圓；此后保持在單位圓內(nèi).當(dāng)且僅當(dāng)τ<τ*時(shí)，有

(14)

由引理2，W(s)的奈奎斯特曲線在第二象限穿入單位圓.此時(shí)整個(gè)奈奎斯特圖不包圍-1點(diǎn)，如圖5(a)所示，其中藍(lán)色實(shí)線是s從i0+出發(fā)運(yùn)動(dòng)到+i∞的曲線，黑色實(shí)線是s從-i∞沿負(fù)虛軸運(yùn)動(dòng)到i0-的曲線，而點(diǎn)劃線大半圓是圖1(b)中D形圍道繞開(kāi)原點(diǎn)的那一段小半圓生成的.

而當(dāng)τ≥τ*時(shí)，式(14)不成立，系統(tǒng)不是穩(wěn)定的.圖5(b)是一個(gè)不穩(wěn)定的例子，W(s)的奈奎斯特曲線順時(shí)針包圍點(diǎn)-1一次.

當(dāng)L>0時(shí)，W(s)在原點(diǎn)無(wú)極點(diǎn)，D形圍道不需要繞開(kāi)原點(diǎn).同時(shí)W(s)在右半平面有一個(gè)極點(diǎn)，由奈奎斯特判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)奈奎斯特曲線逆時(shí)針包圍點(diǎn)-1一次.

W(iωc)>-π

(15)

時(shí)，奈奎斯特曲線在第二象限穿入單位圓，逆時(shí)針包圍-1點(diǎn)一次，如圖6(a)所示.其中藍(lán)線是從外向內(nèi)穿入單位圓，而黑線是從內(nèi)向外穿出單位圓.如果不等式(15)不成立，ADRC系統(tǒng)不是穩(wěn)定的.圖6(b)是一個(gè)不穩(wěn)定的例子，奈奎斯特曲線順時(shí)針包圍點(diǎn)-1一次.

而不等式(15)成立的充要條件就是τ<τ*.因?yàn)?/p>

-∠(iωc-L)=-π+∠(iωc+L)，

而

∠W(iωc)=∠(ikωc+kβ+βL)-∠(iωc+β)-

∠(iωc-L)-τωc，

于是不等式(15)等價(jià)于

τωc<∠(ikωc+kβ+βL)-∠(iωc+β)+

∠(iωc+L).

而由于

∠(ikωc+kβ+βL)-∠(iωc+β)+∠(iωc+L)=

∠(ikωc+kβ+βL)(iωc+L)(-iωc+β)=

ωcτ*，

當(dāng)且僅當(dāng)τ<τ*時(shí)，不等式(15)成立.

綜合L=0和L>0兩種情況，定理1得證.

圖6 L>0時(shí)W(s)的奈奎斯特圖Fig.6Nyquist diagram of W(s) when L>0

3 討論與算例

3.1 與文獻(xiàn)[14]的比較

定理1得到的時(shí)滯上界和文獻(xiàn)[14]一致，這表明了奈奎斯特判據(jù)的有效性.但定理1和文獻(xiàn)[14]存在若干差別，在此進(jìn)行比較.

從方法看，本文的主要方法是奈奎斯特判據(jù)，文獻(xiàn)[14]的主要方法是時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性理論.兩種方法都能得到正確的結(jié)果，但奈奎斯特判據(jù)為自動(dòng)化背景的研究人員所熟悉，數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的未必熟悉；時(shí)滯微分方程理論則相反，為數(shù)學(xué)背景的研究人員所熟悉，但自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)的常不熟悉.

從證明過(guò)程看，本文需要分別討論L=0和L>0兩種情況，不如文獻(xiàn)[14]數(shù)學(xué)上簡(jiǎn)潔.但從工程的角度，L=0意味著對(duì)象臨界穩(wěn)定且包含一個(gè)積分器，而L>0意味著對(duì)象不穩(wěn)定且不包含積分器，兩者的差別明顯而重要.因此，分情況討論在工程上是合理的.

從結(jié)果來(lái)看，本文沒(méi)有對(duì)外擾d作假設(shè)，而文獻(xiàn)[14]假設(shè)d的極限存在且為一個(gè)有界常數(shù).這一假設(shè)對(duì)于穩(wěn)定性無(wú)必要，因?yàn)閷?duì)象和ADRC都是LTI的，整個(gè)LADRC系統(tǒng)也是LTI的，而LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性與外擾無(wú)關(guān).這個(gè)假設(shè)是為了保證d能被完全兌消.

3.2 算例

本節(jié)通過(guò)兩個(gè)算例說(shuō)明定理1.

圖7 例1的輸出x(a)和控制u(b)Fig.7The output x(a) and control u(b) of example 1

例2仍取L=1，b=4，β=2，k=3.令τ=0.15，外擾取d1(t)=0.1·1(t)和d2(t)=0.1sin(2t)·1(t).用MATLAB數(shù)值求解方程(2)～(4)，結(jié)果如圖8.從圖8中可以看到，兩種情況系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，差別在于，d1(t)完全被兌消，而d2(t)沒(méi)有被完全兌消，導(dǎo)致x和u在暫態(tài)結(jié)束以后仍存在振蕩分量.

圖8 例2的輸出x(a)和控制u(b)Fig.8The output x(a) and control u(b) of example 2

4 結(jié) 論

本文以奈奎斯特判據(jù)研究時(shí)滯對(duì)象自抗擾控制的穩(wěn)定性，得到了和文獻(xiàn)[14]定理1一致的充要條件，并且放松了對(duì)外擾的要求.這表明，奈奎斯特判據(jù)并未過(guò)時(shí)，仍可以在控制理論的前沿研究發(fā)揮作用.為更好地發(fā)揮其作用，有必要加強(qiáng)奈奎斯特判據(jù)和整個(gè)古典控制理論的教學(xué)，尤其是研究生階段的教學(xué).