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        奈奎斯特判據(jù)在時(shí)滯對象自抗擾控制中的應(yīng)用

        2022-12-09 09:25:50金輝宇蘭維瑤李智斌
        關(guān)鍵詞:奎斯特傳遞函數(shù)時(shí)滯

        金輝宇,倪 剛,蘭維瑤,李智斌

        (1.廈門大學(xué)航空航天學(xué)院,福建廈門361102;2.新華三技術(shù)有限公司,浙江杭州310051;3.山東科技大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,山東青島266510)

        2022年是廈門大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)科成立50周年,也是奈奎斯特發(fā)表文獻(xiàn)[1]90周年.該文提出了基于頻率響應(yīng)分析反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性的圖形化判據(jù),該判據(jù)為控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)提供了新方法,標(biāo)志著頻域方法的成熟和古典控制時(shí)期的到來.此后,這一判據(jù)被稱作奈奎斯特判據(jù),成為古典控制的核心內(nèi)容,在自動(dòng)控制的理論研究、工程實(shí)踐和教學(xué)中發(fā)揮著重要作用.而文獻(xiàn)[1]也入選控制理論歷史上最重要的25篇文獻(xiàn),并因?yàn)榘l(fā)表時(shí)間而位居第一[2].

        然而,20世紀(jì)60年代現(xiàn)代控制理論興起后,整個(gè)古典控制不再時(shí)髦,甚至被誤解為簡單、過時(shí).奈奎斯特判據(jù)也就隨之被冷落,在教學(xué)和科研中的地位不斷降低.目前,國內(nèi)通常僅在本科階段學(xué)習(xí)奈奎斯特判據(jù),研究生階段不再系統(tǒng)講述,轉(zhuǎn)而強(qiáng)調(diào)狀態(tài)空間方法.這就導(dǎo)致作為科研主力的研究生們總體上不熟悉奈奎斯特判據(jù),難以用它解決面對的科研問題.而這又進(jìn)一步加劇了“簡單、過時(shí)”的誤解,甚至還要加上“無用”.奈奎斯特判據(jù)陷入了“被誤解—不被重視—難以應(yīng)用—誤解加深”的正反饋,其研究日漸衰微.

        與狀態(tài)空間方法相比,奈奎斯特判據(jù)有其獨(dú)特的優(yōu)勢.它巧妙地平衡了數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)和工程直觀.它以復(fù)變函數(shù)理論為基石,充分嚴(yán)謹(jǐn),常常能得到穩(wěn)定性的充要條件;它以圖形為主要分析手段,足夠直觀,便于工程技術(shù)人員接受.它一般不需要繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算,過程簡潔明了,特別適合研究低階單輸入單輸出對象.

        為體現(xiàn)奈奎斯特判據(jù)的優(yōu)勢,本文用它研究時(shí)滯對象的自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC).ADRC是韓京清研究員[3-5]提出的一種通用控制技術(shù).它汲取了PID控制的思想精華,具有結(jié)構(gòu)簡單、調(diào)參方便、魯棒性好、適用面廣等優(yōu)點(diǎn).它以“內(nèi)擾”來描述對象的不確定性,并將內(nèi)擾和外擾歸結(jié)為總擾動(dòng),再構(gòu)造擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state observer,ESO)實(shí)時(shí)估計(jì)總擾動(dòng),最后用反饋予以補(bǔ)償,從而實(shí)現(xiàn)“自抗擾”.由于統(tǒng)一處理內(nèi)、外擾,ADRC不依賴對象的數(shù)學(xué)模型,在克服對象不確定性和抑制外擾方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢.21世紀(jì)以來,ADRC蓬勃發(fā)展,在工業(yè)過程、伺服系統(tǒng)、汽車工業(yè)和航空航天等領(lǐng)域不斷取得成功應(yīng)用[6-7].受應(yīng)用研究的激勵(lì),ADRC的理論研究也日趨活躍,成為當(dāng)時(shí)一個(gè)熱點(diǎn)[8-10].

        在工業(yè)過程領(lǐng)域,由于存在傳輸時(shí)滯、容積時(shí)滯、測量時(shí)滯等因素,被控對象常常是時(shí)滯對象.ADRC高度重視時(shí)滯對象,發(fā)展出無視時(shí)滯法、階次提高法、時(shí)滯預(yù)估法等若干種控制時(shí)滯對象的方法,在工程實(shí)際中取得了良好的效果[11-12].但時(shí)滯對象ADRC的理論研究相對滯后,直到近年才找到若干穩(wěn)定性條件[13-14].目前,時(shí)滯對象ADRC穩(wěn)定性研究的主要工具是時(shí)滯常微分方程穩(wěn)定性理論,這一時(shí)域方法可以得到嚴(yán)格、精巧的理論結(jié)果,但存在理論艱深、學(xué)習(xí)困難的缺點(diǎn).

        本文用奈奎斯特判據(jù)重新研究了一階時(shí)滯對象在ADRC下的穩(wěn)定性.所研究問題的特點(diǎn)是,對象不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定,ADRC中采用降階ESO.這兩點(diǎn)增加了問題的難度,一度被認(rèn)為難以用傳遞函數(shù)方法研究[14].本文先進(jìn)行框圖化簡,將原問題分母中的超越函數(shù)項(xiàng)分離出來,成為時(shí)滯對象反饋控制的標(biāo)準(zhǔn)形式.再分情況繪制奈奎斯特圖分析穩(wěn)定性,得到了與文獻(xiàn)[14]一致的充要條件.這表明,奈奎斯特判據(jù)是研究ADRC的有力工具.

        1 奈奎斯特判據(jù)簡介

        考慮圖1(a)所示的反饋控制系統(tǒng),其中r與y分別參考信號與輸出,G(s)與F(s)分別是前向通道和反饋通道的傳遞函數(shù).該系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于特征方程

        1+G(s)F(s)=0

        (1)

        根的位置.當(dāng)且僅當(dāng)所有的根都在開左半平面(left-half-plane,LHP)時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

        圖1 反饋系統(tǒng)和D形圍線Fig.1Feedback system and D contour

        假定奈奎斯特曲線順時(shí)針N次包圍點(diǎn)-1+i0,而G(s)F(s)在右半平面有P個(gè)極點(diǎn).奈奎斯特判據(jù)斷言,方程(1)的全部根中,不在LHP的根有Z=N+P個(gè).顯然,當(dāng)且僅當(dāng)Z=0時(shí),反饋系統(tǒng)穩(wěn)定.

        奈奎斯特判據(jù)適用于時(shí)滯對象[15].其詳細(xì)介紹和繪圖細(xì)節(jié)可見文獻(xiàn)[16-17].

        2 理論結(jié)果

        2.1 問題描述

        設(shè)有一階時(shí)滯對象

        (2)

        其中,u和x分別是對象的輸入與輸出,d是外部擾動(dòng),常數(shù)L,b,τ的數(shù)值已知,且滿足L≥0,b,τ>0.控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)是跟蹤參考信號r.典型的r是一個(gè)階躍信號.

        為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了降階ESO

        (3)

        和控制器

        (4)

        問題是分析由式(2)~(4)組成的一階LADRC系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

        注1式(3)被稱作降階ESO的原因是它的微分方程只有一階,而一般針對式(2)設(shè)計(jì)的ESO為兩階.

        2.2 框圖及其簡化

        線性自抗擾控制(LADRC)系統(tǒng)(2)~(4)有框圖如圖2[14]所示,其中

        (5)

        (6)

        (7)

        由于控制器C(s)的分母是超越函數(shù),其穩(wěn)定性分析被認(rèn)為是一個(gè)難題.

        圖2 LADRC系統(tǒng)(2)~(4)的框圖[14]Fig.2Block diagram of LADRC system (2)~(4)[14]

        現(xiàn)在化簡圖2.由于外擾不影響線性時(shí)不變(linear time-invariant,LTI)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,將D(s)刪去.考慮到圖3所示模塊有傳遞函數(shù)

        (8)

        則圖2可以化簡為圖4(e),中間過程見圖4(a)~(d).

        圖3 一個(gè)具有傳遞函數(shù)(8)的模塊Fig.3A block with transfer function (8)

        圖4 化簡圖2結(jié)果Fig.4Simplification of Figure 2

        2.3 增益穿越頻率

        圖4(e)中的反饋回路有傳遞函數(shù)

        (9)

        其特征方程為

        (s+β)(s-L)+(ks+kβ+βL)e-τs=0.

        (10)

        注意到式(10)也是圖2的特征方程,這再次表明圖2和圖4(e)的穩(wěn)定性相同.

        引理1假設(shè)k,β>0,考慮式(9)和方程

        |W(iω)|=1.

        (11)

        方程(11)有4個(gè)根,其中有且僅有一個(gè)正實(shí)根

        ωc=

        (12)

        證明方程(11)可以改寫為

        兩邊平方后得

        ω4+(β2+L2-k2)ω2-(k2β2+2kβ2L)=0.

        它有兩個(gè)實(shí)根ω1,2=±ωc和兩個(gè)虛根,其中有且僅有ωc是正實(shí)根.

        引理1表明,當(dāng)s從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到+i∞的過程中,僅在ωc處穿越單位圓一次.在古典控制中,ωc被稱作增益穿越頻率,它是用奈奎斯特圖分析穩(wěn)定性時(shí)的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù).

        證明由式(9),有

        2.4 穩(wěn)定性條件

        現(xiàn)在建立穩(wěn)定性條件.

        定理1考慮由式(2)~(4)組成的一階LADRC系統(tǒng),假定k+β>L.記時(shí)滯上界

        τ*=

        (13)

        該LADRC系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是時(shí)滯τ<τ*.

        證明分別考慮L=0和L>0兩種情況.L=0時(shí),式(9)簡化為

        圖5 L=0時(shí)W(s)的奈奎斯特圖Fig.5Nyquist diagram of W(s) when L=0

        下面證明不包圍點(diǎn)-1的充要條件就是τ<τ*.分析W(s)的奈奎斯特曲線,當(dāng)ω=0+時(shí),W(iω)在-i∞附近;隨著ω的增加,在ω=ωc處穿越單位圓;此后保持在單位圓內(nèi).當(dāng)且僅當(dāng)τ<τ*時(shí),有

        (14)

        由引理2,W(s)的奈奎斯特曲線在第二象限穿入單位圓.此時(shí)整個(gè)奈奎斯特圖不包圍-1點(diǎn),如圖5(a)所示,其中藍(lán)色實(shí)線是s從i0+出發(fā)運(yùn)動(dòng)到+i∞的曲線,黑色實(shí)線是s從-i∞沿負(fù)虛軸運(yùn)動(dòng)到i0-的曲線,而點(diǎn)劃線大半圓是圖1(b)中D形圍道繞開原點(diǎn)的那一段小半圓生成的.

        而當(dāng)τ≥τ*時(shí),式(14)不成立,系統(tǒng)不是穩(wěn)定的.圖5(b)是一個(gè)不穩(wěn)定的例子,W(s)的奈奎斯特曲線順時(shí)針包圍點(diǎn)-1一次.

        當(dāng)L>0時(shí),W(s)在原點(diǎn)無極點(diǎn),D形圍道不需要繞開原點(diǎn).同時(shí)W(s)在右半平面有一個(gè)極點(diǎn),由奈奎斯特判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)奈奎斯特曲線逆時(shí)針包圍點(diǎn)-1一次.

        W(iωc)>-π

        (15)

        時(shí),奈奎斯特曲線在第二象限穿入單位圓,逆時(shí)針包圍-1點(diǎn)一次,如圖6(a)所示.其中藍(lán)線是從外向內(nèi)穿入單位圓,而黑線是從內(nèi)向外穿出單位圓.如果不等式(15)不成立,ADRC系統(tǒng)不是穩(wěn)定的.圖6(b)是一個(gè)不穩(wěn)定的例子,奈奎斯特曲線順時(shí)針包圍點(diǎn)-1一次.

        而不等式(15)成立的充要條件就是τ<τ*.因?yàn)?/p>

        -∠(iωc-L)=-π+∠(iωc+L),

        ∠W(iωc)=∠(ikωc+kβ+βL)-∠(iωc+β)-

        ∠(iωc-L)-τωc,

        于是不等式(15)等價(jià)于

        τωc<∠(ikωc+kβ+βL)-∠(iωc+β)+

        ∠(iωc+L).

        而由于

        ∠(ikωc+kβ+βL)-∠(iωc+β)+∠(iωc+L)=

        ∠(ikωc+kβ+βL)(iωc+L)(-iωc+β)=

        ωcτ*,

        當(dāng)且僅當(dāng)τ<τ*時(shí),不等式(15)成立.

        綜合L=0和L>0兩種情況,定理1得證.

        圖6 L>0時(shí)W(s)的奈奎斯特圖Fig.6Nyquist diagram of W(s) when L>0

        3 討論與算例

        3.1 與文獻(xiàn)[14]的比較

        定理1得到的時(shí)滯上界和文獻(xiàn)[14]一致,這表明了奈奎斯特判據(jù)的有效性.但定理1和文獻(xiàn)[14]存在若干差別,在此進(jìn)行比較.

        從方法看,本文的主要方法是奈奎斯特判據(jù),文獻(xiàn)[14]的主要方法是時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性理論.兩種方法都能得到正確的結(jié)果,但奈奎斯特判據(jù)為自動(dòng)化背景的研究人員所熟悉,數(shù)學(xué)專業(yè)的未必熟悉;時(shí)滯微分方程理論則相反,為數(shù)學(xué)背景的研究人員所熟悉,但自動(dòng)化專業(yè)的常不熟悉.

        從證明過程看,本文需要分別討論L=0和L>0兩種情況,不如文獻(xiàn)[14]數(shù)學(xué)上簡潔.但從工程的角度,L=0意味著對象臨界穩(wěn)定且包含一個(gè)積分器,而L>0意味著對象不穩(wěn)定且不包含積分器,兩者的差別明顯而重要.因此,分情況討論在工程上是合理的.

        從結(jié)果來看,本文沒有對外擾d作假設(shè),而文獻(xiàn)[14]假設(shè)d的極限存在且為一個(gè)有界常數(shù).這一假設(shè)對于穩(wěn)定性無必要,因?yàn)閷ο蠛虯DRC都是LTI的,整個(gè)LADRC系統(tǒng)也是LTI的,而LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性與外擾無關(guān).這個(gè)假設(shè)是為了保證d能被完全兌消.

        3.2 算例

        本節(jié)通過兩個(gè)算例說明定理1.

        圖7 例1的輸出x(a)和控制u(b)Fig.7The output x(a) and control u(b) of example 1

        例2仍取L=1,b=4,β=2,k=3.令τ=0.15,外擾取d1(t)=0.1·1(t)和d2(t)=0.1sin(2t)·1(t).用MATLAB數(shù)值求解方程(2)~(4),結(jié)果如圖8.從圖8中可以看到,兩種情況系統(tǒng)都是穩(wěn)定的,差別在于,d1(t)完全被兌消,而d2(t)沒有被完全兌消,導(dǎo)致x和u在暫態(tài)結(jié)束以后仍存在振蕩分量.

        圖8 例2的輸出x(a)和控制u(b)Fig.8The output x(a) and control u(b) of example 2

        4 結(jié) 論

        本文以奈奎斯特判據(jù)研究時(shí)滯對象自抗擾控制的穩(wěn)定性,得到了和文獻(xiàn)[14]定理1一致的充要條件,并且放松了對外擾的要求.這表明,奈奎斯特判據(jù)并未過時(shí),仍可以在控制理論的前沿研究發(fā)揮作用.為更好地發(fā)揮其作用,有必要加強(qiáng)奈奎斯特判據(jù)和整個(gè)古典控制理論的教學(xué),尤其是研究生階段的教學(xué).

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