姜蓮霞,張四保,傅 湧

(1.喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 喀什 844008;2.宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 宜春 336000)

φ2(φ4(m))=2ω(m)

(1)

的整數(shù)解問(wèn)題,利用廣義Euler函數(shù)φ2(m)與廣義Euler函數(shù)φ4(m)的性質(zhì),得到這一方程的一切整數(shù)解。

1 幾個(gè)基本引理

引理1[13]當(dāng)m≥3時(shí),有φ(m)為偶數(shù)。

2 定理及其證明

定理1 方程(1)的一切正整數(shù)解為m=41,43,64,77,85,93,119,123,136,141,147,153,158,164,194,255,340,374,402,408,410,442,476,492,498,520,574,582,610,612,650,738,1 020,1 122,1 230,1 326,1 428,1 560,1 530,1 722,1 830,1 950。

(2)

當(dāng)πO時(shí),式(2)有解k=1、β1=1、q1=11,此時(shí)m=11。經(jīng)驗(yàn)證m=11不是方程(1)的整數(shù)解。當(dāng)πE時(shí),式(2)有解k=1、β1=2、q1=3與k=2、β1=β2=1、q1=3、q2=7,此時(shí)m=32=9,m=3×7=21。經(jīng)驗(yàn)證m=9與m=21不是方程(1)的整數(shù)解。因而n1≥2,則2ω(m)n1≥4,結(jié)合引理2,由方程(1)得φ(2ω(m)n1)=2ω(m)+1,因而有

(3)

當(dāng)(2ω(m),n1)=1時(shí),由式(3)得φ(n1)=22,則n1=5,則有

(4)

當(dāng)πO時(shí),式(4)有解k=1、β1=1、q1=43與k=2、q1=3、q2=7、β1=1、β2=2,此時(shí)m=43,m=3×72=147。經(jīng)驗(yàn)證m=43與m=147都是方程(1)的整數(shù)解。當(dāng)πE時(shí),式(4)無(wú)奇素?cái)?shù)解。

當(dāng)(2ω(m),n1)=2ε1時(shí),令n1=2ε1η1,其中(2,η1)=1,則由式(3)得φ(η1)=22-ε1,因而ε1=1,2。

當(dāng)ε1=1時(shí),有φ(η1)=2,則η1=3,因而n1=2×3=6,從而有

(5)

當(dāng)πO時(shí),式(5)無(wú)奇素?cái)?shù)解。對(duì)于式(5),當(dāng)πE時(shí),式(5)有解k=2、β1=β2=1、q1=3、q1=47,此時(shí)m=3×47=141。經(jīng)驗(yàn)證m=141是方程(1)的整數(shù)解。

當(dāng)ε1=2時(shí),有φ(η1)=1,則η1=1,因而n1=22=4,從而有

(6)

當(dāng)πO時(shí),式(6)無(wú)奇素?cái)?shù)解。當(dāng)πE時(shí),式(6)有解k=2、β1=β2=1、q1=3、q2=31與k=2,β1=β2=1、q1=7、q2=11,此時(shí)m=3×31=93,m=7×11=77。經(jīng)驗(yàn)證m=93,m=77是方程(1)的整數(shù)解。

(7)

當(dāng)πO時(shí),式(7)有解k=2、β1=β2=1、q1=3、q2=11,此時(shí)m=2×3×11=66。經(jīng)驗(yàn)證m=66不是方程(1)的整數(shù)解。當(dāng)πE時(shí),式(7)有解k=1、β1=1、q1=7,此時(shí)m=2×7=14。經(jīng)驗(yàn)證m=14不是方程(1)的整數(shù)解。因而n2≥2,則2kn2≥4,結(jié)合引理2,由方程(1)得φ(2kn2)=2k+2,因而有

(8)

當(dāng)(2k,n2)=1時(shí),由式(8)有φ(2k)φ(n2)=2k+2,則φ(n2)=23,因而n2=15,從而

(9)

當(dāng)πO與πE時(shí),式(9)無(wú)奇素?cái)?shù)解。

當(dāng)(2ω(m),n2)=2ε2時(shí),令n2=2ε2η2,其中(2,η2)=1,則由式(8)得φ(η2)=23-ε2,因而ε2=1,2,3。

當(dāng)ε2=1時(shí),有φ(η2)=22,則η2=5,因而n2=2×5=10,從而有

(10)

當(dāng)πO時(shí),式(10)有解k=2、β1=β2=1、q1=3、q2=83,此時(shí)m=2×3×83=498。經(jīng)驗(yàn)證m=498是方程(1)的整數(shù)解。當(dāng)πE時(shí),式(10)有解k=1、β1=1、q1=79,此時(shí)m=2×79=158。經(jīng)驗(yàn)證m=158是方程(1)的整數(shù)解。

當(dāng)ε2=2時(shí),有φ(η2)=2,則η2=3,因而n2=22×3=12,從而有

(11)

當(dāng)πO與πE時(shí),式(11)均無(wú)奇素?cái)?shù)解。

當(dāng)ε2=3時(shí),有φ(η2)=1,則η2=1,因而n2=23=8,從而有

(12)

當(dāng)πO時(shí),式(12)有解k=2、β1=β2=1、q1=3、q2=67,此時(shí)m=2×3×67=402。經(jīng)驗(yàn)證m=402是方程(1)的整數(shù)解。對(duì)于式(12),當(dāng)πE時(shí),式(12)無(wú)奇素?cái)?shù)解。

情況3 當(dāng)m為其他情況,此時(shí)m或?yàn)槠鏀?shù)或?yàn)榕紨?shù)。

(13)

當(dāng)(2k,n3)=1,由式(13)有φ(2kn3)=φ(2k)φ(n3)=2k+1,從而φ(n3)=22,則n3=5,因而有

(14)

此時(shí)式(14)有解k=1、β1=1、q1=41與k=2、β1=β2=1、q1=3、q2=41,此時(shí)m=41,m=3×41=123。經(jīng)驗(yàn)證m=41與m=123都是方程(1)的整數(shù)解。

當(dāng)(2k,n3)=2ε3時(shí),令n3=2ε3η3,其中(2,η3)=1,則由式(13)有φ(η3)=22-ε3,因而ε3=1,2。

當(dāng)ε3=1時(shí),有φ(η3)=2,則有η3=3,因而n3=2×3=6,從而有

(15)

此時(shí)式(15)有解k=2、β1=β2=1、q1=7、q2=17與k=2、β1=2、β2=1、q1=3、q2=17,此時(shí)m=7×17=119,m=32×17=153。經(jīng)驗(yàn)證m=119,m=153是方程(1)的整數(shù)解。

當(dāng)ε3=2時(shí),有φ(η3)=1,則有η3=1,因而n2=22=4,從而有

(16)

此時(shí)式(16)有解k=2、β1=β2=1、q1=5、q2=17與k=3、β1=β2=β3=1、q1=3、q2=5、q3=17,此時(shí)m=5×17=85,m=3×5×17=255。經(jīng)驗(yàn)證m=85,m=255是方程(1)的整數(shù)解。

情況3.2m為偶數(shù)。

(17)

當(dāng)(2α+k-1,n4)=1,由式(17)得φ(2α+k-1)φ(n4)=2k+2,從而φ(n4)=24-α,得α=1,2,3,4。

當(dāng)α=1時(shí),有φ(n4)=23,則n4=15,因而有

(18)

此時(shí)式(18)有解k=2、β1=β2=1、q1=5、q2=61與k=2、β1=β2=1、q1=7、q2=41與k=2、β1=2、β2=1、q1=3、q2=41與k=2、β1=2、β2=1、q1=5、q2=13與k=3、β1=β2=β3=1、q1=3、q2=5、q3=61與k=3、β1=β2=β3=1、q1=3、q2=7、q3=41與k=3、β1=1、β2=2、β3=1、q1=3、q2=5、q3=13,此時(shí)m=2×5×61=610,m=2×7×41=574,m=2×32×41=738,m=2×52×13=650,m=2×3×5×61=1 830,m=2×3×7×41=1 722,m=2×3×52×13=1 950。經(jīng)驗(yàn)證m=610,m=574,m=738,m=650,m=1 830,m=1 722,m=1 950是方程(1)的整數(shù)解。

當(dāng)α=2時(shí),有φ(n4)=22,則n4=5,因而有

(19)

此時(shí)式(19)有解k=1、β1=1、q1=41與k=2、β1=β2=1、q1=3、q2=41,此時(shí)m=22×41=164,m=22×3×41=492。經(jīng)驗(yàn)證m=164,m=492是方程(1)的整數(shù)解。

當(dāng)α=3時(shí),有φ(n4)=2,則n4=3,因而有

(20)

此時(shí)式(20)有解k=2、β1=β2=1、q1=5、q2=13與k=3、β1=β2=β3=1、q1=3、q2=5、q3=13,此時(shí)m=23×5×13=520,m=23×3×5×13=1 560。經(jīng)驗(yàn)證m=520,m=1 560是方程(1)的整數(shù)解。

當(dāng)α=4時(shí),有φ(n4)=1,則n4=1,因而有

(21)

此時(shí)式(21)無(wú)奇素?cái)?shù)解。

當(dāng)(2α+k-1,n4)=2ε4時(shí),令n4=2ε4η4,其中(2,η4)=1,則由式(17)得φ(η4)=24-α-ε4,因而α+ε4=2,3,4。

當(dāng)α+ε4=2時(shí),有α=ε4=1,此時(shí)φ(η4)=22,則η4=5,有n4=10,因而有

(22)

此時(shí)式(22)有解k=2、β1=β2=1、q1=5、q2=41與k=3、β1=β2=β3=1、q1=3、q2=5、q3=41與k=2、β1=β2=1、q1=11、q2=17與k=3、β1=β2=β3=1、q1=3、q2=11、q3=17,此時(shí)m=2×5×41=410,m=2×3×5×41=1 230,m=2×11×17=374,m=2×3×11×17=1 122。經(jīng)驗(yàn)證m=410,m=1 230,m=374,m=1 122是方程(1)的整數(shù)解。

當(dāng)α+ε4=3時(shí),有α=1,ε4=2或者α=2,ε4=1,此時(shí)φ(η4)=2,有η4=3。

當(dāng)α=1,ε4=2時(shí),有n4=12,因而有

(23)

此時(shí)式(23)有解k=1、β1=1、q1=97與k=2、β1=β2=1、q1=3、q2=97與k=3、β1=2、β2=β3=1、q1=3、q2=5、q3=17與k=2、β1=β2=1、q1=13、q2=17與k=3、β1=β2=β3=1、q1=3、q2=13、q3=17,此時(shí)m=2×97=194,m=2×3×97=582,m=2×32×5×17=1 530,m=2×13×17=442,m=2×3×13×17=1 326。經(jīng)驗(yàn)證m=194,m=582,m=1 530,m=442,m=1 326是方程(1)的整數(shù)解。

當(dāng)α=2,ε4=1時(shí),有n4=6,因而有

(24)

此時(shí)式(24)有解k=2、β1=2、β2=1、q1=3、q2=17與k=2、β1=β2=1、q1=7、q2=17與k=3、β1=β2=β3=1、q1=3、q2=7、q3=17,此時(shí)m=22×32×17=612,m=22×7×17=476,m=22×3×7×17=1 428。經(jīng)驗(yàn)證m=612,m=476,m=1 428是方程(1)的整數(shù)解。

當(dāng)α+ε4=4時(shí),有α=1,ε4=3或者α=2,ε4=2或者α=3,ε4=1,此時(shí)φ(η4)=1,有η4=1。

當(dāng)α=1,ε4=3時(shí),有n4=8,因而有

(25)

此時(shí)式(25)無(wú)奇素?cái)?shù)解。

當(dāng)α=2,ε4=2時(shí),有n4=4,因而有

(26)

此時(shí)式(26)有解k=2、β1=β2=1、q1=5、q2=17與k=3、β1=β2=β3=1、q1=3、q2=5、q3=17,此時(shí)m=22×5×17=340,m=22×3×5×17=1 020。經(jīng)驗(yàn)證m=340,m=1 020是方程(1)的整數(shù)解。

當(dāng)α=3,ε4=1時(shí),有n4=2,因而有

(27)

此時(shí)式(27)有解k=1、β1=1、q1=17與k=2、β1=β2=1、q1=3、q2=17,此時(shí)m=23×17=136,m=23×3×17=408。經(jīng)驗(yàn)證m=136,m=408是方程(1)的整數(shù)解。

綜合以上所有情況的討論,可得定理1。

3 結(jié) 論

對(duì)于包含廣義Euler函數(shù)φ2(m)與廣義Euler函數(shù)φ4(m)以及函數(shù)ω(m)的數(shù)論函數(shù)方程φ2(φ4(m))=2ω(m)的可解性問(wèn)題,采用分類分段的方式進(jìn)行了討論,得到了數(shù)論函數(shù)方程φ2(φ4(m))=2ω(m)共有42個(gè)正整數(shù)解,并給出了其全部的正整數(shù)解。