黃嘯宇，顧沖時，何 菁

(1.河海大學水利水電學院，江蘇 南京 210024；2.南京市水利建筑工程檢測中心有限公司，江蘇 南京 210036)

失效概率是定量估計工程結構可靠性的重要指標。一般來說，失效概率值很小，并且受各影響因素統(tǒng)計分布的選取影響很大，極為敏感[1-2]。合理選擇隨機變量的統(tǒng)計分布是有效計算失效概率的前提。目前描述隨機變量的統(tǒng)計分布有正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、極值分布等，然而這些統(tǒng)計分布并不能準確描述出某些隨機變量的尖峰與拖尾特征。而Lévy穩(wěn)定分布是分數(shù)階統(tǒng)計分布的一種，也屬于冪律分布，常用于描述服從非高斯分布的隨機變量，并且可以刻畫出隨機變量尖峰、拖尾及非對稱的特征[3]。隨著計算機科學的迅速發(fā)展，前人在已有理論和算法的基礎上，開發(fā)了一系列易用的Matlab軟件包來解決估計Lévy穩(wěn)定分布的參數(shù)、生成隨機數(shù)、擬合圖像等相關問題，使得Lévy穩(wěn)定分布在數(shù)值模擬和統(tǒng)計上更加備受關注。

本文以內(nèi)蒙古永濟第二節(jié)制閘為例，通過Lévy穩(wěn)定分布描述各隨機變量的統(tǒng)計特征，建立極限狀態(tài)方程，計算結構的失效概率。

1 Lévy穩(wěn)定分布的統(tǒng)計基礎

1.1 Lévy穩(wěn)定分布的統(tǒng)計特征

Lévy穩(wěn)定分布是一類廣泛應用于反常擴散、信號處理和金融工程等領域的統(tǒng)計分布[4]。近年來，許多學者對Lévy穩(wěn)定分布理論和應用進行了深入研究，并取得了一定成果。目前使用特征函數(shù)來描述Lévy穩(wěn)定分布是比較簡單的[4-5]。

在理論應用上，Samorodnitsky和Taqqu提出，假設隨機變量X服從Lévy穩(wěn)定分布，即X～S0(α，β，γ，δ)，那么X的特征函數(shù)

(1)

式中，α、β、γ、δ分別為穩(wěn)定指數(shù)、傾斜指數(shù)、尺度參數(shù)和位置參數(shù)，參數(shù)的取值范圍為， 0≤α≤2，-1≤β≤1，γ>0，δ∈R，其中，α的值分別為1和2時10-3，對應的是Lévy穩(wěn)定分布的特殊情況，即柯西分布和高斯分布；signt為t的符號函數(shù)；i為1，2，3，4，…，t為步長。

1.2 Lévy穩(wěn)定分布的優(yōu)勢

確定影響結構可靠性的隨機變量的統(tǒng)計分布是準確評估水工結構可靠性的前提，《水利水電工程鋼閘門設計規(guī)范》指出，作用在閘門上的荷載主要有靜水壓力、動水壓力、自重等，這些荷載都可以作為隨機變量進行失效概率的計算。目前應用于工程結構隨機變量估計的常用統(tǒng)計分布有正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、極值I型分布、威布爾分布等。然而，這些統(tǒng)計分布只通過觀測試驗資料的期望和方差來確定工程隨機變量的分布，卻忽視了偏態(tài)、峰態(tài)、尾部等信息，尤其不能準確描述隨機變量概率密度函數(shù)的尖峰及尾部的冪律特征，因而不能全面真實地反映服役水工結構的可靠性等信息，甚至可能得出與實際情況相悖的結論[5]。

而Lévy穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)具有尖峰、拖尾、非對稱的特征，與影響水工結構可靠性的隨機變量的非高斯統(tǒng)計特征一致，因此可以通過Lévy穩(wěn)定分布的穩(wěn)定指數(shù)α以及傾斜指數(shù)β直接刻畫出各隨機變量的尖峰、拖尾和非對稱特征，實現(xiàn)對影響工程結構可靠性隨機變量統(tǒng)計分布的準確估計，從而得到較為準確的分析結論。整理需要研究的隨機變量的數(shù)據(jù)，得到隨機變量數(shù)組X=(x1，x2，x3，x4，x5)。將X視為獨立同分布的隨機向量，為了研究隨機變量滿足的統(tǒng)計分布，首先要確定與實際數(shù)據(jù)擬合程度最高的統(tǒng)計分布。本文將Lévy穩(wěn)定分布、極值I型分布和對數(shù)正態(tài)分布3種統(tǒng)計分布作對比分析。需要指出的是Lévy穩(wěn)定分布沒有確定解析形式的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，目前采用的方法是首先通過Koutrouvelis和Kogon、Williams[6]提出的經(jīng)驗特征函數(shù)法確定各隨機變量對應的Lévy穩(wěn)定分布的4個參數(shù)，包括穩(wěn)定指數(shù)α、傾斜指數(shù)β、尺度參數(shù)γ和位置參數(shù)δ，然后使用Nolan提出的一種直接積分法計算Lévy穩(wěn)定分布的累積分布函數(shù)。

1.3 基于 Lévy穩(wěn)定分布的蒙特卡羅法

本文通過Lévy穩(wěn)定分布與蒙特卡羅法相結合對失效概率進行計算，具體步驟如下：

(1)確定研究對象以及隨機變量并獲取數(shù)據(jù)。選擇合適的水工結構作為研究對象，選擇影響其可靠性的因素x1，x2，x3，x4，x5…作為隨機變量，并獲取相關的實驗數(shù)據(jù)，得到隨機變量矩陣X=(x1，x2，x3，x4，…)。

(2)建立極限狀態(tài)方程

g(R-S)=R-S=g(x1，x2，x3，x4，x5，…)

(4)

式中，R為容力；S為抗力；g(R，S)為X=(x1，x2，x3，x4，x5…)的函數(shù)。

(5)

(6)

(4)計算靜態(tài)失效概率。將還原后并標準化過的數(shù)據(jù)代入極限狀態(tài)方程，當計算值g(X)≤a時(a為常數(shù))，水工結構將失效。對失效情況進行蒙特卡羅模擬，進行R次數(shù)值試驗，則水工結構失效概率為

(7)

式中，I為邏輯指示函數(shù)；g(Xi)為失效概率計算值。當g(X)≤a時，I=1，否則，I=0。由上式可知，失效概率Pf與試驗次數(shù)R有關，為保證準確性，需要計算不同試驗次數(shù)R下的失效概率。

2 實例分析

2.1 Lévy穩(wěn)定分布

為進一步驗證Lévy穩(wěn)定分布對水工建筑物影響因素的擬合優(yōu)勢，本文以內(nèi)蒙古永濟第二節(jié)制閘1995年～2001年的下游水位為例，通過K-S法來定量分析3種統(tǒng)計分布與實際數(shù)據(jù)之間有無顯著性差異。K-S法是Kolmogorov和Smirnov提出的一種檢驗誤差的方法，主要思想為對每一個數(shù)據(jù)進行理論觀測和數(shù)值計算的比較，如果計算出的最大值偏差小于允許偏差時，認為原假設是正確的[7]。之后再繪制出不同統(tǒng)計分布的下游水位累積分布函數(shù)圖像，可以比較出最優(yōu)擬合統(tǒng)計分布。

圖1給出了下游水位在不同統(tǒng)計分布下的累積分布函數(shù)。從圖1可以看出，Lévy穩(wěn)定分布相比于對數(shù)正態(tài)分布和極值I型分布，對實際數(shù)據(jù)的擬合程度更好。表1給出了3種統(tǒng)計分布的K-S檢驗最大誤差。從表1可以看出，Lévy穩(wěn)定分布的K-S檢驗最大誤差僅為0.062 67，遠小于對數(shù)正態(tài)分布和極值I型分布，由此確定，Lévy穩(wěn)定分布具有最好的擬合效果。

2.2 失效概率計算

內(nèi)蒙古永濟第二節(jié)制閘是一座整體開放式水閘，閘室包括兩扇閘門，每扇閘門都配有一座螺旋式啟閉機，在河道和河道的兩側連接有鋼筋混凝土的后墻。相關數(shù)據(jù)如下：閘門寬2.5 m，高3 m，自重3.25 t，中墩厚0.8 m，閘室底板順水流方向長7.5 m。計算工況采用閘上設計水位2.6 m，閘下設計水位0.6 m[8]。在上述工況條件下，計算水閘的抗滑穩(wěn)定性?！端l設計規(guī)范》指出，水閘抗滑穩(wěn)定性的主要影響因素有：水閘結構自重、上下游水壓力、滲透壓力、水體重力、底板與地基間摩擦力、基底粘著力及地震荷載等。在本文的計算中，選取結構自重、上游水位、下游水位、底板與地基間摩擦力、基底粘著力作為隨機變量，將其依次設為x1，x2，x3，x4，x5。

以內(nèi)蒙古永濟第二節(jié)制閘為研究對象，采用上述失效概率預測模型分析永濟第二節(jié)制閘的抗滑穩(wěn)定性。建立水閘抗滑穩(wěn)定性極限狀態(tài)方程

g(X)=f[Wu+Wd+Ws-U]+AFg-(Pu-Pd)

(8)

式中，f為底部內(nèi)摩擦系數(shù)；Wu為上游水重；Wd為下游水重；Ws為水閘自重；U為揚壓力；A為底部受剪面積；Fg為基底粘著力；Pu為閘上游水壓力；Pd為下游水壓力。當g(X)≤0時，水閘將失效。

之后，將還原并標準化后的Lévy隨機數(shù)代入極限狀態(tài)方程中，進行多次蒙特卡羅模擬試驗，得到失效概率Pf。本文通過Matlab軟件實現(xiàn)對Lévy穩(wěn)定分布的參數(shù)估計、概率密度函數(shù)及累積分布函數(shù)的計算、生成隨機數(shù)等，并且根據(jù)蒙特卡羅法的思想編寫程序計算失效概率。由大數(shù)定理可知，當試驗次數(shù)R極大時，試驗結果可以反映失效概率Pf。為了保證計算得到的失效概率有效，需要進行多次試驗來判斷收斂情況，這也使得對水閘的可靠性評估更加準確。作者通過不斷增加多次試驗并觀察后確定失效概率Pf曲線收斂并且在一個值附近波動，當曲線趨于平穩(wěn)時表明在該試驗次數(shù)R下可以得到較為準確的失效概率Pf。

本文進行了10組試驗次數(shù)依次遞增的蒙特卡羅模擬試驗，失效概率隨模擬次數(shù)變化的收斂曲線見圖2。從圖2可以看出，當試驗次數(shù)數(shù)量級達到106時，失效概率曲線開始趨于收斂，并在0.227%附近波動，相對誤差不超過2%。模擬次數(shù)以及失效概率的計算結果見表2。

表2 模擬次數(shù)、失效概率

文獻[8]給出了1995年～2001年下游水位數(shù)據(jù)，為了研究不同年份中該水閘抗滑穩(wěn)定性及其變化規(guī)律，對各年數(shù)據(jù)按前述Lévy穩(wěn)定分布失效概率計算方法分別進行處理。表3給出了失效概率逐年變化的計算數(shù)據(jù)。進一步觀察可發(fā)現(xiàn)，該水閘隨使用年限增加，失效概率與年份近似為線性增長關系。基于Lévy穩(wěn)定分布得到的失效概率隨年份變化的函數(shù)可對水工建筑物失效概率進行分析和預測。

表3 失效概率逐年變化數(shù)據(jù)

3 結 論

(1)與對數(shù)正態(tài)分布和極值I型分布相比，Lévy穩(wěn)定分布作為影響水工建筑物可靠性隨機變量的統(tǒng)計分布時對實測數(shù)據(jù)的擬合效果好，可以較好地反映水工結構水位數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征。

(2)從理論和數(shù)值計算兩方面來看，基于Lévy穩(wěn)定分布的失效概率預測模型是有效的，Lévy穩(wěn)定分布對影響水工建筑物可靠性的各隨機變量具有較好的還原性，可以據(jù)此進行失效概率的預測，分析在一定年限內(nèi)水工建筑物可靠性的變化，可應用于實際工程中。