劉芳璇，謝程程

(西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西，西安 710028)

0 引言

在牽引工況下,機(jī)車電機(jī)產(chǎn)生的牽引動(dòng)力通過減速齒輪傳至輪對(duì),并利用輪軌黏著產(chǎn)生牽引力驅(qū)動(dòng)機(jī)車。機(jī)車運(yùn)行時(shí),輪對(duì)踏面承受車體靜載荷和動(dòng)態(tài)沖擊載荷致使負(fù)載折算后牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸所受外部擾動(dòng)影響增強(qiáng),齒輪磨耗程度增加,影響牽引傳動(dòng)的可靠性和電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制精度,應(yīng)通過削弱外部擾動(dòng)提升電機(jī)的運(yùn)行品質(zhì)。

常見的削弱擾動(dòng)的方法是針對(duì)擾動(dòng)的類型合理設(shè)計(jì)觀測(cè)器,并結(jié)合控制器進(jìn)一步降低觀測(cè)誤差對(duì)系統(tǒng)輸出的影響,最終使得系統(tǒng)閉環(huán)跟蹤誤差有界收斂。張剛[1]和丁穩(wěn)房等[2]設(shè)計(jì)了添加比例——積分(PI)鎖相環(huán)的滑模觀測(cè)器,旨在消除高頻抖動(dòng)。但該文對(duì)鎖相后擾動(dòng)觀測(cè)結(jié)果缺乏分析,且采用PI控制無(wú)法確保跟蹤觀測(cè)實(shí)際擾動(dòng);牛綠原[3]和姜建國(guó)等[4]設(shè)計(jì)了基于Sigmoid函數(shù)的自適應(yīng)模糊滑模觀測(cè)器,并將其引入電機(jī)轉(zhuǎn)速閉環(huán)用來(lái)估計(jì)轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子位置,但其模糊規(guī)則難以根據(jù)時(shí)變擾動(dòng)隨時(shí)調(diào)整,致使轉(zhuǎn)速估計(jì)存在較大誤差。

實(shí)際工況中,電機(jī)的工作電壓受限于標(biāo)準(zhǔn)電壓。同時(shí),為了避免電子元件過壓超載導(dǎo)致系統(tǒng)失控,應(yīng)在控制器輸出端設(shè)置飽和控制器。飽和控制器雖能限制電壓幅值,而飽和非線性卻會(huì)導(dǎo)致控制量的輸出特性在飽和限幅以外的部分被截?cái)?只有飽和限幅以內(nèi)的部分則不受影響[5]。此外，隨著對(duì)牽引傳動(dòng)系統(tǒng)性能要求的逐步提升,僅針對(duì)閉環(huán)輸出誤差設(shè)計(jì)的PI控制器已難以應(yīng)對(duì)高階耦合非線性。

根據(jù)上述分析,本文針對(duì)機(jī)車牽引傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器,通過引入飽和輔助控制系統(tǒng)、構(gòu)造轉(zhuǎn)速誤差面和虛擬控制律并采用微分跟蹤器和反推法設(shè)計(jì)電壓控制器;構(gòu)建非線性擾動(dòng)觀測(cè)器分別估計(jì)轉(zhuǎn)子軸和負(fù)載軸的時(shí)變擾動(dòng),對(duì)估計(jì)誤差采用自適應(yīng)模糊逼近,并將此逼近值引入控制器以補(bǔ)償擾動(dòng)估計(jì)誤差。本文所設(shè)計(jì)的控制器可使受控系統(tǒng)快速跟蹤參考輸入并精確估計(jì)外部擾動(dòng)的實(shí)時(shí)變化,兼顧動(dòng)態(tài)響應(yīng)快速性和時(shí)變擾動(dòng)魯棒性。

1 自適應(yīng)跟蹤控制器設(shè)計(jì)

1.1 機(jī)車牽引傳動(dòng)系統(tǒng)模型

為推導(dǎo)牽引傳動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,特對(duì)牽引電機(jī)做如下假設(shè)[6]。

(1) 不計(jì)銅耗和鐵耗。

(2) 忽略鐵芯飽和效應(yīng)。

(3) 不考慮齒隙傳動(dòng)伺服補(bǔ)償。

圖1為牽引傳動(dòng)系統(tǒng)示意圖。

圖1 機(jī)車牽引傳動(dòng)系統(tǒng)

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中，θL、θM、WL、WM分別為負(fù)載軸和電機(jī)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度和轉(zhuǎn)速，JL、BL、JM、BM分別為負(fù)載軸和電機(jī)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘滯摩擦阻尼，Kθ和KT分別為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)與電機(jī)常數(shù)，U為控制電壓，R為等效電阻，ρ為齒數(shù)比，dL、dM分別為負(fù)載軸和電機(jī)軸的外部擾動(dòng)。

選取狀態(tài)變量如下:x1=θL,x2=ωL,x3=θM,x4=ωM,將式(1)化為狀態(tài)方程,得:

(2)

本文的控制目標(biāo)是為系統(tǒng)設(shè)計(jì)自適應(yīng)跟蹤控制器,在系統(tǒng)控制量存在飽和及外部存在干擾的情況下,能夠確保系統(tǒng)輸出盡快跟蹤期望的參考軌跡,且系統(tǒng)閉環(huán)信號(hào)有界。

1.2 具有輸入飽和的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

飽和限幅前后系統(tǒng)控制量存在關(guān)系如下[9]:

(3)

式中，V、U分別為飽和限幅前后控制量,uM為飽和限幅。

設(shè)計(jì)飽和輔助控制系統(tǒng)為

(4)

式中，ΔU=sat(V)-V為飽和限幅差,λ1、λ2、λ3、λ4為輔助變量,σ1、σ2、σ3、σ4為非負(fù)增益。

對(duì)λ1分別求算其二至四階導(dǎo)數(shù),有:

定義:

-(σ1+σ2+σ3+σ4)λ4

假設(shè)參考軌跡xd及其各階導(dǎo)數(shù)存在。定義x1的跟蹤誤差e1為

e1=x1-xd-λ1

(5)

式中，xd為期望軌跡。

(6)

式中，k1>0為待定增益。

(7)

式中，ζL和χL為輔助變量,L1>0為輔助增益。

(8)

(9)

式中，k3>0為待定增益。

(10)

式中，ζM和χM為輔助變量,L2>0為輔助增益。

設(shè)計(jì)NDO輸出至控制器部分的控制量為

(11)

同時(shí)注意控制器內(nèi)部關(guān)系:

U=V+ΔU=Vat-Vf+ΔU

(12)

(13)

設(shè)計(jì)Δ1的估計(jì)律為

設(shè)計(jì)自適應(yīng)模糊控制器為

(14)

式中，k4>0為待定增益。

(15)

(16)

(17)

(18)

1.3 閉環(huán)穩(wěn)定性證明

引理1 (Young’s不等式[11])

(19)

式中，p>1,q>1,并且(p-1)(q-1)=1。

引理2 (微分跟蹤器[12])

(20)

引理3[13]對(duì)任意σ>0和?∈R,下述不等式成立:

(21)

式中，γ為常數(shù)且滿足γ=e-(γ+1),i.e.,γ=0.278 5。

證 定義Lyapunov泛函為

(22)

對(duì)式(22)求導(dǎo),并進(jìn)行化簡(jiǎn)可得:

(23)

根據(jù)引理1得:

(24)

(25)

其中，

2 仿真結(jié)果及分析

在SIMULINK仿真環(huán)境(MATLAB_R2018a)中對(duì)機(jī)車牽引傳動(dòng)系統(tǒng)采用具有輸入飽和的自適應(yīng)跟蹤控制器進(jìn)行仿真研究。仿真框圖見圖2。

圖2 具有輸入飽和的牽引傳動(dòng)系統(tǒng)仿真模塊框圖

設(shè)定輸入指令為xd=1-cos(5·t)。負(fù)載軸和轉(zhuǎn)子軸分別承受沖擊載荷為

(26)

機(jī)車牽引傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)見表1。

表1 機(jī)車牽引傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)稱值

圖3為系統(tǒng)輸出x1對(duì)輸入指令xd的跟蹤誤差及其對(duì)數(shù)數(shù)量級(jí)曲線。分析可知,x1能夠在0.1 s內(nèi)(圖3子圖1)迅速且精確跟蹤xd,其跟蹤誤差均在e-20～e-5范圍內(nèi)變化,即跟蹤誤差對(duì)數(shù)數(shù)量級(jí)變化范圍集中在-20至-5,對(duì)數(shù)數(shù)量級(jí)越小說明x1對(duì)xd的跟蹤性能越強(qiáng)。圖3子圖2呈現(xiàn)的是2至5 s內(nèi)的跟蹤情況,顯然,從2.5 s和3.8 s開始,跟蹤效果有所降低,其原因?yàn)橄到y(tǒng)控制量受飽和限幅影響,由于限幅以外控制量的輸出特性被截?cái)?導(dǎo)致系統(tǒng)輸出無(wú)法有效跟蹤輸入指令。同樣地,在圖3子圖3中,雖然跟蹤誤差在±0.01內(nèi)變化,但在第5.8 s和第7 s這兩個(gè)時(shí)刻處的跟蹤誤差明顯較大。考察圖6可知,系統(tǒng)控制量在對(duì)應(yīng)時(shí)刻均存在飽和現(xiàn)象。

圖3 輸入指令跟蹤曲線

圖4分別為負(fù)載軸和轉(zhuǎn)子軸的擾動(dòng)估計(jì)誤差及其對(duì)數(shù)數(shù)量級(jí)曲線。由兩幅子圖可知,負(fù)載軸和轉(zhuǎn)子軸的擾動(dòng)估計(jì)值均能夠在0.01 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際值的跟蹤,其跟蹤誤差分別收斂于±0.3和±0.6。參照對(duì)數(shù)數(shù)量級(jí)曲線可知,誤差分別穩(wěn)定在e-15～e0(dL)和e-12～e0(dM)范圍內(nèi)。這表明,本文所設(shè)計(jì)的NDO可有效且精確估計(jì)外部擾動(dòng)。

和

圖5為微分跟蹤器對(duì)虛擬律的跟蹤誤差及虛擬律的微分曲線。由于直接求取虛擬控制律微分的解析表達(dá)式會(huì)引入大量計(jì)算,增加控制器的構(gòu)建難度,故采用微分跟蹤器對(duì)虛擬律進(jìn)行整體微分。對(duì)比分析圖5(a)和圖5(b)的子圖1,易知在0.1 s短暫的振蕩后,微分跟蹤器的輸出能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)虛擬律的跟蹤,其跟蹤誤差分別在±0.15和±10范圍內(nèi)規(guī)律變化(圖5子圖2)?？紤]縱坐標(biāo)數(shù)量級(jí),認(rèn)為微分跟蹤器能夠精確跟蹤虛擬律,由引理2可知跟蹤器輸出的虛擬律的微分能夠有效逼近虛擬律微分的解析解。對(duì)比分析兩幅圖的子圖3和子圖4,可知虛擬律的微分在2.5 s和3.8 s及5.8 s和7 s附近存在小幅波動(dòng)現(xiàn)象,其產(chǎn)生時(shí)間與圖6中時(shí)刻相同,說明飽和限幅亦會(huì)影響虛擬律的微分。

(a) α2、χα2、εα2和

圖6為系統(tǒng)飽和限幅前、后控制量曲線。仿真中設(shè)定飽和限幅為±220。分析圖6及其子圖可知,由于飽和限幅對(duì)控制量超出幅值的有用信息進(jìn)行了強(qiáng)制切除,導(dǎo)致圖3及圖5中跟蹤及微分曲線突變;而控制量在飽和限幅內(nèi),則不會(huì)被截?cái)?其曲線光滑平整,對(duì)應(yīng)輸出和虛擬律跟蹤誤差(圖5子圖2)及微分曲線抖振較小。

綜上可知,對(duì)于采用自適應(yīng)跟蹤控制的牽引傳動(dòng)系統(tǒng),其閉環(huán)輸出快速穩(wěn)定跟蹤輸入指令;NDO精確跟隨外部擾動(dòng);微分跟蹤器精確跟蹤虛擬律變化并有效輸出虛擬律的微分;在飽和限幅內(nèi),系統(tǒng)控制量光滑無(wú)抖振。

3 總結(jié)

本文針對(duì)具有輸入飽和的機(jī)車牽引傳動(dòng)系統(tǒng),設(shè)計(jì)了基于NDO和微分跟蹤器的自適應(yīng)反推控制器。針對(duì)控制量輸入飽和,設(shè)計(jì)了飽和輔助控制系統(tǒng);針對(duì)系統(tǒng)負(fù)載軸和轉(zhuǎn)子軸所受的時(shí)變擾動(dòng),設(shè)計(jì)了NDO對(duì)其分別跟蹤觀測(cè),觀測(cè)誤差進(jìn)行自適應(yīng)模糊估計(jì),并由此推導(dǎo)出觀測(cè)誤差的自適應(yīng)律。由仿真結(jié)果知,本文設(shè)計(jì)的控制器具備優(yōu)勢(shì)如下:

(1) 采用微分跟蹤器輸出虛擬律的微分解決傳統(tǒng)反推控制中對(duì)虛擬律求導(dǎo)產(chǎn)生的計(jì)算膨脹問題;

(2) 飽和輔助控制器中引入控制量限幅差補(bǔ)償跟蹤性能受飽和限幅的影響,實(shí)現(xiàn)限幅內(nèi)快速收斂;

(3) 采用自適應(yīng)模糊估計(jì)觀測(cè)誤差,降低擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)跟蹤性能的影響。