李 冀，趙博涵，岳出琛，彭翼杰，劉文光

(南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063)

1 引 言

近年來，智能優(yōu)化算法因其易于理解、結構簡單、魯棒性強等特點而被廣泛應用于求解機械產品設計、車間調度、無人機航跡規(guī)劃等各類工程問題.Tang等人[1]將改進后的粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimizer，PSO)應用于多維空間傳感器部署優(yōu)化問題的研究中，取得了較好的成果；李金海等人[2]提出了一種基于遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)的決策屬性約簡方法，有效提高了決策分析的效率；王振東等人[3]利用改進的差分進化算法(Differential Evolution Algorithm，DEA)成功提升了無線傳感器網(wǎng)絡的覆蓋率.

受自然界中灰狼群體協(xié)作捕食行為的啟發(fā)，Mirjalili等人提出一種新型群體智能優(yōu)化算法，即灰狼優(yōu)化算法(Grey Wolf Optimizer，GWO).經(jīng)測試證明，灰狼優(yōu)化算法在收斂精度與收斂速度上優(yōu)于PSO、DEA、GA等算法[4].戴麗珍等人[5]將差分進化的迭代機制融入灰狼優(yōu)化算法，實現(xiàn)了短時交通流的精準預測；Belkacem等人[6]將模式搜索算法與灰狼優(yōu)化算法相融合，成功實現(xiàn)了停電風險預測及防范；姚遠遠等人[7]將工序插入式方法及混合初始化方法引入灰狼優(yōu)化算法中，在解決TET-LCD模塊組裝調度問題上具有較好的適用性.灰狼優(yōu)化算法對于求解大部分工程優(yōu)化問題具有較好的適用性，但仍存在迭代前期易陷入局部極值的缺點，若種群規(guī)模較大則存在資源利用率低與全局搜索能力較弱等不足[8].為改善灰狼優(yōu)化算法的綜合性能，張悅等人[9]提出一種控制參數(shù)自適應調整策略，并引入混沌局部搜索機制，有效提高了算法的整體收斂速度；王振東等人[10]將混沌映射、非線性收斂因子及動態(tài)權重策略引入灰狼優(yōu)化算法，在性能上取得了較大的提升.針對灰狼優(yōu)化算法存在的不足，本文采用量子旋轉門更新機制優(yōu)化初始種群分布狀態(tài)，于尋優(yōu)階段引入慣性權值與鄰域變異機制，由此形成一種嵌入鄰域變異策略的量子灰狼優(yōu)化算法，增強了經(jīng)典灰狼優(yōu)化算法的尋優(yōu)性能.

2 嵌入鄰域變異策略的量子灰狼優(yōu)化算法

2.1 灰狼優(yōu)化算法

一般而言，灰狼種群由5-12只狼組成.整個狼群通常由以下4種地位的狼組成：

1)α：α是種群中的領導者，統(tǒng)治整個狼群；

2)β：β地位僅次于α，負責協(xié)助α進行決策并管理δ、ω；

3)δ：δ擔任較低級的角色，若α或β失去地位即成為δ；

4)ω：ω在種群中等級最低，起到平衡種群內部關系的作用.

在狼群中，α、β、δ狼的選擇稱為精英策略.搜尋獵物時，距離獵物最近的狼被定義α，其次為β、δ、ω.狼群內部通過嚎叫、散播氣味等方式相互傳遞信息，從而包圍獵物、攻擊獵物[11].包圍過程中，灰狼與獵物間的距離為：

D=|C·XP(t)-X(t)|

(1)

其中，C為[0，2]內的隨機數(shù)，Xp(t)、X(t)分別為獵物、灰狼的位置向量，t為當前迭代次數(shù).灰狼下一位置定義為：

X(t+1)=Xp(t)-A·D

(2)

式中參數(shù)A=a×(2r-1)，r為[0，1]內的隨機數(shù)，a為收斂因子：

a=2-2(t/tmax)

(3)

由于ω狼社會地位最低，其位置更新取決于α、β、δ狼的位置：

(4)

(5)

Xα、Xβ、Xδ分別表示α、β、δ狼的當前位置，X1、X2、X3為指導向量，X(t+1)為ω狼更新后的位置[12].

2.2 量子旋轉門

由于GWO算法采用隨機方式初始化種群，因此當ω個體過多時必然會使非最優(yōu)個體間的位置重合性提高，導致種群總體資源利用率降低，進而造成種群多樣性下降.鑒于此，本文引入量子旋轉門完成種群初始化工作.量子旋轉門的操作主要是使概率幅值收斂至0或1.在量子機制中，充當信息儲存單元的物理介質是一個雙態(tài)量子系統(tǒng)，稱為量子比特[13].其獨特之處在于可同時處于兩個量子疊加態(tài)：

|φ〉=α|0〉β|1〉

(6)

其中，|0〉與|1〉表示自旋向下態(tài)和自旋向上態(tài)，(α，β)是兩個相異的概率幅值，滿足下列關系：

|α|2+|β|2=1

(7)

(8)

(α′i，β′i)與(αi，βi)分別表示個體第i個量子旋轉門更新前后的概率幅值，θi為旋轉角.設個體(包含m對量子比特)值計算方法如下[14]：

(9)

其中，qj表示個體j的位置；k為構成任意個體的量子比特數(shù)；m為個體維度.

量子旋轉門中存在一定的選擇策略，即令個體qj的適應度值fitness(j)與當前種群最優(yōu)個體best的適應度值fitness(best)進行比較，視情況調整qj中相應位的量子比特，使概率幅值(αi，βi)向當前最優(yōu)值的概率幅值方向演化[15].

2.3 慣性權值

由于灰狼優(yōu)化算法的全局搜索和局部開發(fā)交替進行，具有非線性收斂性質，線性收斂因子a僅能有限描述算法迭代過程的特性.鑒于此，本文引入一種非線性變化的慣性權值：

(10)

引入w后X1、X2、X3更新方式更新為：

(11)

圖1所示為收斂因子a與慣性權重w的迭代差異.相比于收斂因子a，迭代前期w衰減速度由快變慢，有利于全局搜索；隨后w衰減速度由慢變快，便于迭代后期更精確的搜尋全局最優(yōu)值，由此提高算法整體尋優(yōu)能力.

圖1 收斂因子及慣性權值迭代過程

2.4 鄰域變異機制

在求解復雜問題時，伴隨著迭代過程的進行，算法有一定幾率陷入局部最優(yōu)值，出現(xiàn)算法早熟收斂現(xiàn)象.為改善搜索效率，提高局部精細化搜索能力，故在此引入鄰域變異機制[16].迭代中算法有一定概率進行鄰域變異：

(12)

式中Pmin、Pmax分別為個體最小變異率和最大變異率，Pm為個體在第t代時的變異率，MAXGEN為種群最大迭代次數(shù).若種群當前最優(yōu)值連續(xù)三代未發(fā)生變化，則認為算法陷入局部最優(yōu)狀態(tài).此時，若r<=Pm(r∈[0，1])，則對種群進行變異.C為待定常數(shù)，由以下準則確定：

(13)

C的取值分為3個階段：迭代前期、迭代中期、迭代后期.因迭代前期所得最優(yōu)值間差異較大，應盡量發(fā)揮量子機制自身優(yōu)勢，故減小C；迭代后期差異較小，增大C避免陷入局部最優(yōu)值：

(14)

Rk為第k次迭代時的鄰域搜索半徑，Rmax、Rmin分別為鄰域半徑上、下限，ub、lb為所測試函數(shù)上、下限邊界值，本文設定Rmax=0.2×ub、Rmin=0.2×lb.因變異存在隨機性，故本文設定每代個體變異概率均為0.5，在滿足r<=Pm的前提下，若r<=0.5，則可進行個體變異：

Xm(i，：)=X(i，：)+Rk(2r-1)

(15)

式中X(i，：)為當前個體位置，經(jīng)變異后為Xm(i，：)，i為種群中個體的序號.NMQGWO算法求解流程如圖2所示.

圖2 NMQGWO算法流程圖

3 仿真實驗及算法有效性分析

為驗證所提出算法的性能，本文選用6種標準測試函數(shù)對NMQGWO算法進行測試，并與正弦余弦算法(Sine Cosine Algorithm，SCA)、WOA算法、GWO算法、混合灰狼優(yōu)化算法(Hybrid Grey Wolf Optimizer，HGWO)[17]進行比較，各算法參數(shù)設置如表1所示.標準測試函數(shù)包含單峰函數(shù)與多峰函數(shù)，如表2所示.

表1 優(yōu)化算法參數(shù)設置

表2 標準測試函數(shù)

因NMQGWO算法中Pmax、Pmin間存在一定間距，綜合考慮個體在不同求解階段的作用差異，Pmax和Pmin分別選取經(jīng)驗值0.6和0.1.

令各算法的進化代數(shù)為1000，種群規(guī)模為100，對表2中所有標準測試函數(shù)進行30維、200維、500維測試.獨立運行20次并記錄各算法所求得最小值(MIN)、平均值(MEAN)、最大值(MAX)與方差(VAR).尋優(yōu)性能測試環(huán)境為Intel(R)Core(TM)i7-7700HQ CPU@ 2.8GHZ、16GB內存和Windows10操作系統(tǒng)，運行環(huán)境為MATLAB R2018a，測試結果如表3所示.

表3 算法尋優(yōu)結果

3.1 單峰測試函數(shù)分析

NMQGWO算法對兩種測試函數(shù)在低維、高維下均具有較好的收斂結果.圖3為各算法尋優(yōu)500維Sphere函數(shù)測試的平均收斂過程，可知引入慣性權值后強化了經(jīng)典GWO算法搜索的指向性，即使在高維時也可表現(xiàn)出較好的效果，從而整體上提高了算法收斂速度.

圖3 500維Sphere函數(shù)平均收斂過程

低維：對于低維Sphere函數(shù)各算法間求解精度相差較大，相比于SCA算法和WOA算法，GWO算法求解精度最高，體現(xiàn)了GWO算法中社會等級制度存在一定的優(yōu)越性.

高維：伴隨維度增高所有算法的尋優(yōu)精度均有下滑，表明待求解問題維度升高后算法更難以收斂至全局最優(yōu)解.對于Sphere函數(shù)，SCA算法、GWO算法精度喪失尤為明顯，HGWO算法、NMQGWO算法仍可保持較高求解精度，且后者在迭代前期收斂速度明顯優(yōu)于前者，證明了量子旋轉門機制對提升初代種群多樣性、加速算法收斂的有效性.

3.2 多峰測試函數(shù)分析

高維：NMQGWO算法對4種測試函數(shù)均可求得全局最優(yōu)值，但在500維下均無法求得最優(yōu)解.總體上可知由于慣性權值與鄰域變異策略的引入，使得NMQGWO算法更易跳出局部最優(yōu)值，相比于其他算法具有一定的優(yōu)越性.因各函數(shù)性質不同，算法求解時精度有所差異，但均存在類似對高維單峰函數(shù)尋優(yōu)時維度與精度呈負相關的現(xiàn)象.圖4為各算法針對200維Rastrigin函數(shù)測試進行尋優(yōu)的平均收斂過程，NMQGWO算法的收斂精度與收斂速度優(yōu)于其他比較算法.

圖4 200維Rastrigin平均收斂過程

低維：對于多峰函數(shù)，WOA算法精度丟失現(xiàn)象較為嚴重.針對多峰錐形分布(Ackley)函數(shù)而言，所有算法精度均不足，但在200維情況下NMQGWO算法較GWO算法仍能保持較好的求解精度，說明鄰域變異策略在求解多峰函數(shù)時起到了重要作用.由于Schaffer函數(shù)具有強烈振蕩性態(tài)，故所有算法求解此函數(shù)時精度均較差，但相比于高維而言穩(wěn)定性較好.圖5為各算法對30維Girewank函數(shù)進行尋優(yōu)時的平均收斂過程，鑒于此函數(shù)具有許多按規(guī)律分布的局部最小值，故各算法收斂精度欠佳.

圖5 30維Girewank函數(shù)平均收斂過程

為清晰展現(xiàn)NMQGWO算法的改進有效性，與GWO算法、HGWO算法進行收斂速率對比測試，結果如表4所示.

表4 對比測試

由表4可知，對于單峰、多峰函數(shù)，NMQGWO算法在收斂速度、收斂精度方面皆優(yōu)于GWO算法，且較HGWO算法具有一定優(yōu)勢，證明了算法改進的有效性.

4 結 論

本文針對經(jīng)典灰狼優(yōu)化算法尋優(yōu)策略上存在的不足，提出一種嵌入鄰域變異策略的量子灰狼優(yōu)化算法，有效改善了算法易早熟、求解精度不足等問題.NMQGWO算法利用量子旋轉門更新機制初始化種群，提高了算法前期收斂速度；伴隨慣性權值與鄰域變異策略的引入，迭代前期w衰減速度由快變慢、變異率低，有利于全局搜索；隨后w衰減速度由慢變快、變異率增高，便于精確搜尋局部最優(yōu)值.為驗證NMQGWO算法的有效性，使其與SCA算法、WOA算法、GWO算法、HGWO算法同時進行標準測試函數(shù)測試的仿真實驗并進行結果分析.結果表明，NMQGWO算法求解單峰、多峰函數(shù)時均展現(xiàn)出較大的優(yōu)越性，但對于求解具有強烈振蕩性態(tài)的函數(shù)及多峰錐形分布函數(shù)最優(yōu)值問題仍有一定的提升空間.如何融合其他優(yōu)化算法的搜索機制以提高NMQGWO算法收斂精度將成為下一步研究工作的主要目標.