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        一題多解探思路 追本溯源挖題根

        2022-12-04 14:48:23浙江省紹興市越州中學(xué)屠豐慶
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年21期
        關(guān)鍵詞:思路解題

        浙江省紹興市越州中學(xué) 屠豐慶

        吉林省北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 屠蕊林

        數(shù)學(xué)解題不能僅滿足于一道題的答案,而應(yīng)通過探索思考.去追求更優(yōu)、更快捷的解題方法.“一題多解”就是從不同角度、按不同思路、用不同方法給出同一道題的解答.

        但同時(shí),著名數(shù)學(xué)家陳景潤先生在談起數(shù)學(xué)解題時(shí),曾說過“題有千變,貴在有根”[1].以題根方式展開教學(xué),抓住解題思維入口,才能幫助學(xué)生理解問題本質(zhì),總結(jié)歸納解題過程,以不變應(yīng)萬變.筆者以2021年浙江數(shù)學(xué)高考17題為例,在一題多解的基礎(chǔ)上,追本溯源,挖掘此類考題的題根,給出解決問題的捷徑,以期對(duì)學(xué)生快速解題有所幫助.

        1 一題多解,探析思路

        圖1

        圖2

        點(diǎn)評(píng):思路4揭示了轉(zhuǎn)換后問題的幾何意義,將代數(shù)下的條件和目標(biāo)轉(zhuǎn)化為平面方程和空間距離,使得問題更直觀[3].最后類比初中三角形中用面積法求高的方法,利用體積相等求得結(jié)果,也不難被一般的高中生接受.

        點(diǎn)評(píng):利用偏導(dǎo)求極值(最值)的方法,有較深的高等數(shù)學(xué)背景,大學(xué)教材中稱之為“拉格朗日乘數(shù)法”.此方法在解決條件極值時(shí),在本質(zhì)上觀點(diǎn)“高屋建瓴”,在范圍上“普遍適用”,在過程上計(jì)算“可程序化”.面對(duì)技巧性較高的題,讀者不妨用此法一試,往往會(huì)有“柳暗花明又一村”之感.

        2 追本溯源,挖掘題根

        為便于理解,以二元變量為例,具體介紹拉格朗日乘數(shù)法涵義的初等理解和解題過程.

        問題在約束條件h(x,y)=0下,求z=g(x,y)的最值.

        (1)函數(shù)f(x,y,λ)=g(x,y)+λh(x,y)的涵義解釋.由約束條件h(x,y)=0,可知f(x,y,λ)=g(x,y)+λh(x,y)=g(x,y)與線性規(guī)劃類似,不妨稱之為目標(biāo)函數(shù),其中λ可以理解為目標(biāo)z=g(x,y)在約束條件h(x,y)=0下可自由伸縮的空間,不妨稱之為調(diào)節(jié)系數(shù).問題就轉(zhuǎn)化為:通過不斷調(diào)節(jié)λ,使得f(x,y,λ)=g(x,y)=z取到極(最)值.

        圖3

        (2)關(guān)于“偏導(dǎo)”,可以這么理解:對(duì)于目標(biāo)函數(shù)f(x,y,λ)=g(x,y)+λh(x,y),問題在幾何上就是求空間坐標(biāo)系中曲面的最高(低)點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)值,如圖3所示.求目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的最值,可以分步實(shí)施,先將y看成常數(shù),求關(guān)于x的極值,再將x看成常數(shù),求關(guān)于y的極值.某種意義上,可以理解為將曲面分別向xOz,yOz坐標(biāo)平面作正投影,曲面最高(低)點(diǎn)對(duì)應(yīng)投影曲線上的最高(低)點(diǎn),此處取得極值,因而兩個(gè)偏導(dǎo)都應(yīng)該等于零.

        3 舉一反三,速解考題

        例3(2020江蘇高考,題12)已知x,y∈R,5x2y2+y4=1,則x2+y2的最小值是.

        解析:令f(x,y,λ)=x2+y2+λ(5x2y2+y4-1),分別關(guān)于x,y求偏導(dǎo)得到方程組

        解析:令f(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(xy+2z-2)+μ(4x2+y2+z2-8),分別關(guān)于x,y,z求偏導(dǎo)得到方程組

        經(jīng)消元檢驗(yàn),可知

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