楊寧寧,何佳婧,吳朝俊,王 鵬

(1.西安理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院,陜西 西安 710048;2.西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院,陜西 西安 710048;3.西京醫(yī)院 兒科,陜西 西安 710032)

除電阻、電容和電感外,憶阻器是第四種無源基本電路元件,反映了電荷-磁通間的相互作用。蔡少棠教授基于電路基本變量組合的完備性原理提出了這一概念,并進(jìn)一步討論了其基本特征和應(yīng)用[1-2]。但直到2008年,惠普(HP)公司實(shí)驗(yàn)室的Strukov 等才在《Nature》 上首次報(bào)道了憶阻器的實(shí)現(xiàn)性[3],研制出了納米級(jí)的憶阻器件。至此,國內(nèi)外各個(gè)領(lǐng)域掀起了對(duì)憶阻器的研究浪潮,并在短短幾年之內(nèi)取得了豐碩的成果。

憶阻器作為一種新型納米級(jí)元件,可被廣泛應(yīng)用于非易失性存儲(chǔ)器、數(shù)字邏輯電路和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域等[4-6],尤其是在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面,它所具有的低功耗、納米級(jí)、易于集成、記憶特性和CMOS 工藝兼容性等優(yōu)異性能,為實(shí)現(xiàn)存算一體的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)硬件系統(tǒng)提供無限可能,因此,對(duì)憶阻器的特性研究顯得極為重要。由于實(shí)物憶阻器在材料、制備工藝等方面要求嚴(yán)格,目前還沒有實(shí)現(xiàn)大規(guī)模的量產(chǎn),故建立合適的、精確的憶阻模型成為憶阻器相關(guān)研究的重要基礎(chǔ)。力求更加符合實(shí)物憶阻器的情況,越來越多的學(xué)者正在研究憶阻器的特性,建立各種憶阻器模型,不斷完善憶阻器研究。

HP TiO2線性雜質(zhì)漂移憶阻模型[3,7-8]和HP TiO2非線性窗函數(shù)憶阻模型[9-14]作為所有物理器件模型中研究最為廣泛的模型,均由HP 實(shí)驗(yàn)室[3]提出。該實(shí)驗(yàn)室提出的線性雜質(zhì)漂移模型只建立了一個(gè)相對(duì)簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系,該模型表明,在憶阻器元件的整個(gè)長度范圍內(nèi),憶阻摻雜區(qū)和未摻雜區(qū)分界面的離子漂移速度是恒定的。然而,由于該模型忽略了憶阻器的邊界效應(yīng),一些特性無法準(zhǔn)確反映。因此在文獻(xiàn)[10-14]中,研究者們通過加入窗函數(shù)的方法來解決該問題,這種建模類型也被稱為非線性憶阻建模。Joglekar 等[10]提出的窗函數(shù)雖然解決了邊界效應(yīng)的問題,但又出現(xiàn)了一個(gè)新的問題: 邊界鎖定。因此,Biolek 等[11]建立的窗函數(shù)通過考慮流經(jīng)憶阻的電流i這一變量,解決了上述問題,但由于該模型中的參數(shù)僅能取到正整數(shù),這又導(dǎo)致其窗函數(shù)的可調(diào)適應(yīng)范圍受限。Prodromakis 等[12]通過引入一個(gè)新的控制參數(shù)提高了Biolek 窗函數(shù)的靈活性,但忽略了邊界鎖定問題。Zha 等[13]重新將電流參數(shù)考慮進(jìn)去,解決邊界鎖定問題,同時(shí)保留Prodromakis 窗函數(shù)的主要優(yōu)點(diǎn)。Wen 等[14]提出了一個(gè)泛化的窗函數(shù),并給出了更為一般的形式。

雖然研究者們已經(jīng)提出了許多窗函數(shù)模型,但上述模型還存在一個(gè)共同的問題: 窗函數(shù)所能提供的曲線類型較為單一,其變化速率均為先慢后快,這就不能很好地模擬各種實(shí)物憶阻器的數(shù)據(jù)。由于真實(shí)的憶阻設(shè)備的特性曲線是多種多樣的,所以需要一個(gè)更加靈活、可調(diào)范圍更廣且具有一般性的窗函數(shù)模型,以此來提高擬合精度。

為了解決上述窗函數(shù)中存在的問題,本文提出了一種改進(jìn)型窗函數(shù)模型,它對(duì)幾個(gè)經(jīng)典的窗口函數(shù)功能進(jìn)行了優(yōu)化和統(tǒng)一。同時(shí)考慮了非線性影響,克服了邊界效應(yīng)及邊界鎖定問題,特別地,提出的窗函數(shù)可以得到兩種不同變化趨勢(shì)的速率曲線,具有更加廣泛的調(diào)整范圍,使其可以對(duì)真實(shí)憶阻器進(jìn)行更為精細(xì)的擬合。本文的工作為憶阻器的模型研究及應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

1 HP 線性憶阻模型

憶阻器是根據(jù)磁通量變化與電荷變化的比值[1]來定義的,它可以表示為:

式中:M為憶阻器的阻值,它具有和電阻相同的量綱,其值等于憶阻器兩端電壓與流經(jīng)憶阻器的電流的比值。電流控制的憶阻器定義為[2]:

式中:v是憶阻器兩端的電壓;i是通過憶阻器的電流;M(t)是瞬時(shí)電阻值;x(t)是設(shè)備的內(nèi)部狀態(tài)變量。

圖1 為HP 實(shí)驗(yàn)室給出的基于氧空位遷移的憶阻模型示意圖[3],它是由一個(gè)夾在兩個(gè)金屬鉑電極間的TiO2半導(dǎo)體薄膜組成。

如圖1 所示,兩邊黑色部分為金屬電極,中間部分為TiO2薄膜,總厚度是D。該薄膜由左邊電導(dǎo)率高的高濃度摻雜區(qū)(Doped)和右邊電導(dǎo)率低的未摻雜區(qū)(Undoped)組成,兩部分的厚度分別為w、D-w。當(dāng)在憶阻器的兩個(gè)端口施加電壓(電流)時(shí),氧空位漂移,引起摻雜區(qū)寬度的變化。

圖1 HP TiO2憶阻器模型Fig.1 HP TiO2 memristor model

總電阻可以等效為兩個(gè)串聯(lián)部分的電阻之和,故總體上的憶阻值可以表示為:

式中:w為摻雜區(qū)寬度;Ron和Roff分別為w=D和w=0時(shí)的電阻值。

由圖1 中的模型可以發(fā)現(xiàn),憶阻器件上流過的電流i(t)與摻雜區(qū)w的變化率呈線性關(guān)系,因此可以表示為:

式中:x為摻雜區(qū)域的歸一化寬度;μv為平均氧離子遷移率。

HP 線性憶阻器的數(shù)學(xué)模型極為簡單,得到了廣泛應(yīng)用,但也正因?yàn)樵诮⒛Ｐ蜁r(shí)的種種簡化,導(dǎo)致其具有一定局限性。從式(5)中不難看出,在理想的憶阻器模型中,離子漂移呈線性特征。但由于實(shí)際憶阻器是納米級(jí)別,在電壓作用下容易受到電場(chǎng)力的作用,故離子漂移速度并非一成不變,而是呈現(xiàn)一個(gè)非線性變化狀態(tài),且這種行為在憶阻器的邊界會(huì)更加明顯,即當(dāng)摻雜區(qū)和未摻雜區(qū)間的分界面趨于憶阻器件邊緣(w=D或w=0)時(shí),離子移動(dòng)速率應(yīng)為零。這種現(xiàn)象也被稱為邊界效應(yīng)。因此,為了更好地模擬憶阻器的真實(shí)變化情況,引入一個(gè)窗函數(shù),實(shí)現(xiàn)非線性建模是很有必要的。

2 不同窗函數(shù)介紹

正如前面所提到的,通過采用對(duì)分界面漂移速度加窗函數(shù)的方法來解決邊界效應(yīng)問題。在式(5)右側(cè)乘以一個(gè)窗函數(shù),得到HP TiO2非線性窗函數(shù)模型,即:

Joglekar 等[10]提出的窗函數(shù)可表示為:

式中:p是一個(gè)正整數(shù),x∈(0,1)。當(dāng)分界面移動(dòng)到憶阻設(shè)備邊緣時(shí),f(x)=0,即dx/dt=0,離子漂移速度為零,克服了邊界效應(yīng)的缺點(diǎn)。此外,當(dāng)p→∞時(shí),該模型等效為一個(gè)理想的線性模型。但窗函數(shù)(8)會(huì)導(dǎo)致末端狀態(tài)問題,即當(dāng)憶阻的摻雜區(qū)和非摻雜區(qū)的分界面漂移到邊界點(diǎn)(w=0 或w=D)后將永遠(yuǎn)保持既有狀態(tài),即使再給反向激勵(lì)也無法改變憶阻器的阻值[15]。

為了避免邊界鎖定問題,除了變量x和p,Biolek還將流經(jīng)憶阻設(shè)備的電流i這一變量考慮進(jìn)來,構(gòu)建了如下窗函數(shù)[11]:

式中:p是一個(gè)正整數(shù),x∈(0,1),stp(i)=。雖然Biolek 窗函數(shù)可以保證當(dāng)邊界面漂移到憶阻器件的某一端時(shí),憶阻器仍然正常工作,但式(9)中p只能取正整數(shù),且缺少一個(gè)控制振幅的參數(shù),所以它的可伸縮性受到一定限制。

為了提高靈活性,Prodromakis 等[12]提出了以下窗函數(shù):

式中:p為正實(shí)數(shù);j為引入的新控制參數(shù),通過改變參數(shù)j來調(diào)整f(x)的幅度。但它忽略了電流i這一變量,故仍然存在邊界鎖定問題。

Zha 等結(jié)合了窗函數(shù)Biolek 和Prodromakis 的優(yōu)點(diǎn),提出了另一個(gè)窗函數(shù)[13]:

式中:p為正實(shí)數(shù);j為控制參數(shù)。該窗函數(shù)克服了邊界鎖定問題,在靈活性方面也有一定優(yōu)化。

從上述分析中可以看出,邊界效應(yīng)、末端狀態(tài)問題、靈活性、非線性影響等是在構(gòu)建一個(gè)窗函數(shù)時(shí)需要考慮的基本因素。同時(shí)上述所提到的窗函數(shù)都存在一個(gè)缺點(diǎn),即其曲線變化速率是單一的,均為先慢后快。因此,它們不能夠滿足實(shí)際憶阻設(shè)備所具有的多樣化特性曲線,調(diào)整范圍受到限制,導(dǎo)致其擬合精度稍顯不足。

3 改進(jìn)后的窗函數(shù)

Prodromakis 等給出了任意窗函數(shù)應(yīng)滿足的基本條件[12]:

(a)考慮邊界條件,即分界面的運(yùn)動(dòng)區(qū)間位于[0,D] 之間;

(b)分界面在接近憶阻器邊緣時(shí),離子漂移速度呈現(xiàn)明顯非線性;

(c)可擴(kuò)展性,例如f(x)max可以取到[0,1] 中的任意值;

(d)靈活性強(qiáng),可以利用內(nèi)置控制參數(shù)調(diào)整模型;

(e)提供線性和非線性雜質(zhì)漂移模型之間的連接;

(f)可避免邊界鎖定問題。

本文提出了一種一般化的窗口函數(shù),以解決上一節(jié)中所提到的現(xiàn)有窗函數(shù)存在的問題,其表示為:

式中:p為正實(shí)數(shù);j為控制參數(shù);α和β為新引進(jìn)的兩個(gè)擬合參數(shù),α取[0,1] 中的任意實(shí)數(shù),β取正實(shí)數(shù)。

從式(12)中不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)選取特定參數(shù)時(shí),可以得到上文中提到的幾個(gè)經(jīng)典模型,其具體聯(lián)系如表1所示。

表1 經(jīng)典窗函數(shù)模型的參數(shù)選擇Tab.1 Parameter selection of classical window function model

通過設(shè)置不同的參數(shù),Biolek 和Zha 窗函數(shù)模型成為該改進(jìn)窗函數(shù)的特殊形式,同時(shí)α和β這兩個(gè)參數(shù)的引進(jìn),也使得該模型在參數(shù)選擇上范圍更加廣泛,普遍適應(yīng)性更強(qiáng)。

3.1 仿真與分析

本文采用MATLAB &Simulink 數(shù)值仿真的方法驗(yàn)證新窗口函數(shù)的特性,其參數(shù)設(shè)置為Ron=100 Ω,Roff=16 kΩ,μv=10-14m2·(s·V)-1,D=10 nm。圖2 為f(x)曲線變化示意圖,當(dāng)i>0 和i<0時(shí),可以得到兩條不同曲線來分別描述Roff→Ron和Ron→Roff的變化過程。當(dāng)j=1,α=1時(shí),f(x)max=1。

圖2 f(x)曲線變化示意圖Fig.2 Schematic diagram of f(x) curves change

(a)解決邊界效應(yīng)

設(shè)置參數(shù)j=1,p=5,α=1,β=4,在憶阻器兩端施加一個(gè)高振幅正弦電壓(v(t)=5sin(2πt))觸發(fā)硬開關(guān)。從圖3 中可以看到,狀態(tài)變量x在[0,1] 中變化,即分界面漂移區(qū)間位于[0,D] 之間,同時(shí)憶阻值M被限制在[Ron,Roff]間,意味著該模型沒有邊界效應(yīng)問題。此外,當(dāng)憶阻值為Ron時(shí),x正好為最大值1;當(dāng)憶阻值為Roff時(shí),x正好為最小值0,這與之前所說的摻雜區(qū)寬度w越大,阻值越小;w越小,阻值越大的特性相符。

圖3 在高振幅輸入激勵(lì)下憶阻值M 和狀態(tài)變量x 的變化Fig.3 Variation of memristance M and state variable x with a high amplitude input voltage

(b)非線性雜質(zhì)漂移特性

給憶阻器模型施加一個(gè)v(t)=sin(2πt)的正弦電壓,可以得到i-v曲線是一條緊磁滯回線,當(dāng)分界面漂移到模型任意邊緣時(shí),會(huì)呈現(xiàn)高度非線性。繼續(xù)觀察圖4 會(huì)發(fā)現(xiàn),當(dāng)其他參數(shù)一定時(shí),α越大,β越大,其非線性程度越明顯。

圖4 不同參數(shù)下的i-v 曲線Fig.4 The i-v curves with different parameters

(c)可擴(kuò)展性和靈活性

圖5 展示了四種常見窗函數(shù)曲線隨參數(shù)p的變化圖,其中將Prodromakis 和Zha 窗函數(shù)中的控制參數(shù)j固定為1。特別地,Biolek 和Zha 窗函數(shù)考慮了變量電流i,如圖所示,用實(shí)線和虛線分別表示i>0 和i<0 時(shí)曲線的變化趨勢(shì),當(dāng)邊界面移動(dòng)到接近憶阻器件的一端時(shí),電流改變方向,邊界會(huì)與另一條曲線延伸,實(shí)現(xiàn)兩個(gè)端點(diǎn)處的互通。

圖5 不同p 值下幾種經(jīng)典窗函數(shù)的曲線變化圖。(a) Joglekar 窗函數(shù);(b) Biolek 窗函數(shù);(c) Prodromakis 窗函數(shù);(d) Zha 窗函數(shù)Fig.5 Curves of several classical window functions with different p.(a) Joglekar window function;(b) Biolek window function;(c) Prodromakis window function;(d) Zha window function

固定j=1 和p=1,觀察當(dāng)新引進(jìn)的參數(shù)α和β變化時(shí),其對(duì)所提出的窗函數(shù)曲線變化速率的影響情況。如圖6 和圖7 所示,相較于圖5 中窗函數(shù)曲線單一的變化趨勢(shì)(曲線速率均為先慢后快),新的窗口函數(shù)曲線變化類型更加豐富,表現(xiàn)出了更大的靈活性和更強(qiáng)的適應(yīng)性,這使得在擬合變化多樣的實(shí)物憶阻器特性曲線時(shí),結(jié)果更為精確。具體地,當(dāng)α=1時(shí),得到兩種速率的漂移曲線(圖6),其中β>1,該曲線變化速率是先快后慢,直到邊界時(shí)變?yōu)?;β<1,其變化速率是先慢后快。當(dāng)β=0.5,β=2時(shí),不同的α取值對(duì)曲線變化情況的影響如圖7,依然可以得到兩種不同速率的漂移曲線。

圖6 α=1, β 取不同值時(shí)新窗函數(shù)曲線變化圖。(a) β<1;(b) β>1Fig.6 The curve change diagrams of the proposed window function with α=1 and β varying.(a) β<1;(b) β>1

圖7 α 取不同值時(shí)新窗函數(shù)曲線變化圖。(a) β=0.5;(b) β=2Fig.7 The curve change diagrams of the proposed window function with different α.(a) β=0.5;(b) β=2

在實(shí)際電路中,會(huì)遇到一些特殊情況[16]需要f(x)max>1,此時(shí)可以通過調(diào)整參數(shù)j的值來實(shí)現(xiàn)。從圖8 中可以看到,在j的變化下,窗函數(shù)曲線范圍可以向上或向下進(jìn)行縮放,得到不同尺度范圍的漂移曲線,間接實(shí)現(xiàn)了調(diào)整曲線速率的目的,也便于對(duì)模型進(jìn)行修改。

圖8 j 取不同值時(shí)新窗函數(shù)曲線變化圖Fig.8 The curve change diagram of the proposed window function with different j

(d)線性和非線性摻雜漂移模型之間的轉(zhuǎn)換

從公式(12)和圖6 中可以看出,參數(shù)p和β取值越大,f(x)值越接近1,當(dāng)p和β趨于無窮時(shí),可以近似認(rèn)為f(x)=1,此時(shí)非線性憶阻模型就變?yōu)榫€性模型,也就實(shí)現(xiàn)了線性和非線性摻雜漂移模型之間的轉(zhuǎn)換。

(e)克服邊界鎖定問題

新窗函數(shù)考慮了電流i的影響,因此當(dāng)摻雜區(qū)與非摻雜區(qū)的分界面達(dá)到憶阻設(shè)備的邊緣時(shí),施加反向電流可以驅(qū)使分界面朝相反方向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)向憶阻器的兩端施加足夠的正脈沖時(shí),如圖9 所示,狀態(tài)變量x逐漸增大至1,然后保持不變,直到出現(xiàn)反向脈沖;當(dāng)電壓變?yōu)樨?fù)值時(shí),x從1 逐漸下降至0,因此表明新的窗函數(shù)可以有效解決邊界鎖定問題。

圖9 狀態(tài)變量x 隨輸入電壓的變化Fig.9 Variation of the state variable x with the input voltage

(f)頻率依賴性

在憶阻器兩端施加幅值為2 V,頻率分別為5,25和50 Hz 的正弦交流電,i-v特性曲線如圖10 所示,由電流-電壓構(gòu)成的緊磁滯回線面積隨頻率的增加而減小,并且當(dāng)頻率f→∞時(shí),i-v特性曲線會(huì)收縮成一條直線,此變化也表明了該窗函數(shù)對(duì)憶阻器的滯后特性并沒有影響。

圖10 在不同頻率下的i-v 特性曲線Fig.10 The i-v curves at different frequencies

3.2 各窗函數(shù)的性能對(duì)比

為了清楚地展示本文提出的窗函數(shù)的優(yōu)點(diǎn),將其與其他窗函數(shù)性能進(jìn)行比較,如表2 所示。從表中及以上討論中可以看到,本文提出的一般化窗函數(shù)首先可以滿足文獻(xiàn)[12]中說到的所有基本條件,其次相對(duì)于其他窗函數(shù)來說,在靈活性和可調(diào)范圍上有了較大提高,使得其可以更加精細(xì)地?cái)M合實(shí)驗(yàn)憶阻數(shù)據(jù),構(gòu)建更加符合真實(shí)設(shè)備的憶阻模型。

表2 不同窗口函數(shù)的性能比較Tab.2 Performance comparison of different window functions

4 結(jié)論

本文提出了一種新的憶阻模型,經(jīng)過仿真對(duì)比分析,表明所提出的窗口函數(shù)是有效和準(zhǔn)確的。它能很好地解決邊界效應(yīng)、邊界鎖定等問題,并且邊緣處的非線性漂移、線性與非線性雜質(zhì)漂移模型之間的轉(zhuǎn)換、可拓展等功能也得以實(shí)現(xiàn)。其次新的窗函數(shù)是一個(gè)一般化的函數(shù),可以對(duì)幾個(gè)窗函數(shù)的功能進(jìn)行統(tǒng)一。更為重要的是,α和β這兩個(gè)控制參數(shù)的引進(jìn),使得模型的靈活性大大提高。相較于文獻(xiàn)[10-13]中的窗函數(shù)只能提供一種單一的速率曲線,本文提出的窗函數(shù)可以得到兩種不同變化趨勢(shì)的速率曲線,面對(duì)多樣化的實(shí)物憶阻器特性曲線,這一顯著的改進(jìn)可以提高對(duì)憶阻器件的擬合精度,這也為之后將憶阻器應(yīng)用于實(shí)際電路及更廣泛的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)提供了理論基礎(chǔ)。