周立彥，湯文學(xué)，龐影影，王劍峰，王 波

（中國電子科技集團(tuán)公司第五十八研究所，江蘇無錫 214035）

1 引言

當(dāng)時(shí)鐘頻率低于10 MHz 時(shí)，與數(shù)字信號邊沿對應(yīng)的交變信號在互連中總能暢行無阻，封裝僅是在實(shí)現(xiàn)電連通的基礎(chǔ)上完成對電路的支撐保護(hù)。隨著電子信息技術(shù)的發(fā)展，吉赫茲頻率的高速應(yīng)用和復(fù)雜微系統(tǒng)下的大尺寸電氣互連使信號完整性問題無可回避。

信號的傳輸能量損耗主要來源于輻射、耦合到鄰近導(dǎo)體、阻抗失配引起的反射、導(dǎo)體損耗以及介質(zhì)損耗，傳輸損耗過大會引起信號失真[1-3]。單一信號網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中可以忽略輻射和耦合的損耗，影響信號傳輸質(zhì)量的電氣特性基本可以通過網(wǎng)絡(luò)的阻抗特性和傳輸時(shí)延來描述?；诟道锶~變換，時(shí)域中任何波形可由正弦波組合完全且唯一地描述，由不同頻率的正弦波分量及其幅度/相位值構(gòu)成的頻譜包含時(shí)域的所有信息，傳輸阻抗與反射的概念得以通過頻域構(gòu)造體現(xiàn)。

在傳輸線設(shè)計(jì)時(shí)，理想情況是保持阻抗匹配，以實(shí)現(xiàn)傳輸透明。然而微帶線、帶狀線的阻抗計(jì)算是存在誤差的[1]；平面互連的拐角、分支與回流路徑的不連續(xù)將會引起阻抗不同程度的突變[4-6]；過孔、反焊盤、硅通孔（TSV）等垂直結(jié)構(gòu)甚至受限于工藝規(guī)則，可能無法達(dá)到阻抗設(shè)計(jì)的要求[7-9]。由于常見的工具書并未給出關(guān)于反射的進(jìn)一步數(shù)學(xué)推導(dǎo)，對于傳輸阻抗匹配的設(shè)計(jì)往往依賴于經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)則積累和仿真數(shù)據(jù)歸納。

本文從傳輸線理論基礎(chǔ)出發(fā)，推導(dǎo)了單一低損傳輸網(wǎng)絡(luò)中散射參數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，直觀展現(xiàn)阻抗匹配與傳輸時(shí)延對散射參數(shù)的影響。結(jié)合主流仿真工具，深入闡述了反射分析在頻域和時(shí)域環(huán)境下的一致性和差異性，對阻抗匹配設(shè)計(jì)引起的信號完整性問題提供了優(yōu)化思路。

2 單一傳輸網(wǎng)絡(luò)中散射參數(shù)的推導(dǎo)

在傳輸線理論中，基于傳輸線的集總電路模型可以由基爾霍夫定律求解電壓與電流的關(guān)系[2]：

其中，z、t 分別為電路模型中的位置、時(shí)間變量；V、I 為與位置、時(shí)間相關(guān)的電壓與電流；R 表示傳輸線單位長度的串聯(lián)電阻，由傳輸線的有限電導(dǎo)率和傳輸截面尺寸決定，單位為Ω/m；L 表示傳輸線單位長度的串聯(lián)電感，由導(dǎo)體磁導(dǎo)率和幾何形狀決定，單位為H/m；G 表示傳輸線導(dǎo)體間單位長度的并聯(lián)電導(dǎo)，來源于傳輸線導(dǎo)體間填充材料的介電損耗，單位為S/m；C 表示傳輸線導(dǎo)體間單位長度的并聯(lián)電容，由傳輸線導(dǎo)體的緊貼程度決定，單位為F/m。該模型的近似程度隨著Δz→0而提高，達(dá)到分布式模型的效果，此時(shí)得到傳輸線方程：

得到簡諧穩(wěn)態(tài)通解，僅與位置相關(guān)的電壓V（z）與電流I（z）的表達(dá)式為：

其中，V0+、V0-分別為沿坐標(biāo)軸正向/負(fù)向傳播的電壓，I0+、I0-分別為沿坐標(biāo)軸正向/負(fù)向傳播的電流，復(fù)傳播常數(shù)γ 為：

其中，ω 為正弦波角頻率，α 為損耗常數(shù)，β 為傳播常數(shù)，進(jìn)而得到特征阻抗Z0為：

由于R、L、G、C 均為單位長度值，因此信號傳輸感受到的瞬時(shí)阻抗由該處傳輸結(jié)構(gòu)截面的尺寸、材料特性決定，并且無論在時(shí)域或是頻域中，阻抗總是電壓與電流的比值。

在圖1 的均勻傳輸線示例中，假定輸入信號從端口1 進(jìn)入，根據(jù)式（5）（6）簡諧穩(wěn)態(tài)通解，可以標(biāo)定傳輸線（-l≤z＜0）：

圖1 長度為l、阻抗為Z0、傳播常數(shù)為γ0 的傳輸線

其中，γ0為-l≤z＜0 段的傳輸線上復(fù)傳播系數(shù)。在低損情形下[1]，忽略直流電阻，R→0，G→0，R?ωL 時(shí)，傳播常數(shù)，v 為電磁波在傳輸結(jié)構(gòu)中的傳播速度；損耗常數(shù)α 包含導(dǎo)體損耗系數(shù)αcond與介質(zhì)損耗系數(shù)αdie2 部分，其中ρ 為導(dǎo)體電阻率，w 為傳輸結(jié)構(gòu)對應(yīng)的導(dǎo)體寬度，c 為真空中的光速，Dk、Df分別為介質(zhì)的相對介電常數(shù)和介電損耗角正切值，介質(zhì)損耗與頻率f 成正比，在高頻下起主導(dǎo)作用；導(dǎo)體損耗與頻率的平方根成正比，在低頻下起主導(dǎo)作用。

輸出端（z≥0）與阻抗Zp2的負(fù)載等效，無反射波，且在z坐標(biāo)0 點(diǎn)連續(xù)，z=0 處電壓、電流及相互關(guān)系為：

聯(lián)立式（11）～（13）可解得：

這與反射系數(shù)、透射系數(shù)的表達(dá)式一致。

根據(jù)阻抗的定義，在z=-l 處有等效輸入阻抗Zin：

同樣，在輸入端（z＜-l）有：

其中Vin+、Vin-分別為端口1 的輸入波、反射波幅值，輸入端口的等效復(fù)傳播系數(shù)γ1經(jīng)聯(lián)立后可消除，Zp1、Zp2分別為兩端口阻抗。考慮z=-l 處的連續(xù)條件，聯(lián)立式（9）～（10）、（16）～（18）得到：

2.1 回波損耗

端口1 的回波損耗定義為反射波與入射波的電壓比：

該式與z=-l 處反射系數(shù)的定義一致，等效輸入阻抗Zin包含了z＞-l 所有結(jié)構(gòu)的阻抗特性，進(jìn)一步展開為：

當(dāng)Z0＞max（Zp1, Zp2）或Z0＜min（Zp1, Zp2），S11為反射疊加極大值，當(dāng)min（Zp1,Zp2）＜Z0＜max（Zp1,Zp2），S11為反射相消極小值。

考慮2 端阻抗一致（Zp2=Zp1）的無損（α0=0）情形，由式（21）進(jìn)一步展開得：

由式（25）可知，減小阻抗失配程度和減小由傳輸長度l決定的相位值是降低回波損耗的關(guān)鍵。

2.2 插入損耗

輸入/輸出端阻抗一致時(shí)，插入損耗定義為出射端口透射波與入射端口輸入波的電壓比[1]。廣義上，基于能量守恒定律，S21幅值應(yīng)調(diào)整為輸出與輸入能量比值的平方根：

無損情形下可得

2.3 推廣計(jì)算

根據(jù)單段傳輸線的推導(dǎo)結(jié)果，利用等效輸入阻抗的概念，可以將S 參數(shù)的推導(dǎo)推廣到n 段阻抗突變的有損傳輸線（圖2）計(jì)算中，從第n 段傳輸線起點(diǎn)看向輸出端/負(fù)載的等效輸入阻抗Zin（n）為：

圖2 包含多段阻抗突變的傳輸線計(jì)算用模型

其中，Zn為第n 段傳輸線特征阻抗，γn為該段傳輸線復(fù)傳播常數(shù)，ln為對應(yīng)長度，初始段輸入阻抗：

得到端口1 處的回波損耗為：

同理，插入損耗推廣為：

通過計(jì)算工具仍可證明單一無損傳輸結(jié)構(gòu)中的能量守恒|S11|2+|S21|2=1。為進(jìn)一步驗(yàn)證該計(jì)算的適用性，采用Ansys 的高頻電磁場仿真工具HFSS 對典型傳輸結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模仿真，并與本文的推廣公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比?？紤]目標(biāo)特征阻抗50 Ω 的帶狀線結(jié)構(gòu)，其中，線長為20 mm，線寬為100 μm，金屬銅厚度為15 μm，上下層介質(zhì)厚度為300 μm，介質(zhì)參照某型號低溫共燒陶瓷材料（相對介電常數(shù)Dk=5.8，介電損耗角正切值Df=0.002），根據(jù)仿真分析，該模型阻抗分布接近于過孔（57 Ω）-走線（49 Ω）-過孔（57 Ω）的3 段結(jié)構(gòu)，S 參數(shù)仿真結(jié)果與計(jì)算值對比如圖3 所示。本文中的損耗計(jì)算適用于以銅等高導(dǎo)電材料為導(dǎo)體的低損情形，插入損耗的差異主要來源于窄線寬情形下側(cè)邊趨膚效應(yīng)修正導(dǎo)體損耗系數(shù)。進(jìn)一步的擬合還需結(jié)合低頻串聯(lián)電阻及高頻慢波特性影響下的回路電阻，暫不做展開。

圖3 帶狀線HFSS 仿真結(jié)果與計(jì)算值對比

3 基于散射參數(shù)的時(shí)域計(jì)算

時(shí)域周期波形可由正弦波組合完全且唯一地描述，時(shí)域波形U(t)經(jīng)傅里葉指數(shù)展開表達(dá)為：

其中ω0為周期波形的角頻率，傅里葉系數(shù)F（nω0）的計(jì)算為：

其中，T 為U（t）的信號周期，由此，時(shí)域周期波形可拆分為倍頻幅值為對應(yīng)傅里葉系數(shù)的弦波，根據(jù)頻域插入損耗的定義，很容易得出結(jié)論，經(jīng)過一段傳輸結(jié)構(gòu)后，輸出波形為衰減后倍頻弦波分量的疊加：

其中，SN1（f）為對應(yīng)頻率下端口N 的散射參數(shù)。

值得注意的是，時(shí)域中對實(shí)信號的處理只保留實(shí)部而省略虛部信息。對于頻域計(jì)算來說，動量與能量的本征函數(shù)應(yīng)是同時(shí)包含實(shí)部與虛部的復(fù)信號形式，脫離復(fù)信號的計(jì)算無法考慮弦波的相位信息，往往是違背能量守恒定律的。時(shí)域信號可由倍頻分量通過頻域計(jì)算轉(zhuǎn)換，因此，透射系數(shù)/反射系數(shù)在時(shí)域/頻域的定義一致。多數(shù)工具書中推薦采用反彈圖計(jì)算信號在阻抗不連續(xù)路徑中多次反射后的波形，推導(dǎo)可證形成收斂級數(shù)疊加，并與基于散射參數(shù)的轉(zhuǎn)換計(jì)算結(jié)果一致，此處不做展開。

4 分析與討論

4.1 回波損耗高頻惡化因素

在工程分析中，回波損耗似乎總是隨著頻率升高而惡化。這種結(jié)論需要分2 種情形來討論：一是分析頻段較短的情形，二是在較長頻段范圍內(nèi)不可忽略短突變影響的情形。

短頻段內(nèi)：默認(rèn)測試/仿真條件下2 端阻抗一致，由式（25）得到均一傳輸結(jié)構(gòu)的回波損耗在對應(yīng)1/4 波長頻點(diǎn)處為極大值，即在范圍內(nèi)回波損耗單調(diào)增大，以長度15 mm 的走線為例，在Dk=4 的介質(zhì)中回波損耗單調(diào)上升的范圍為0～2.5 GHz。

長頻段內(nèi)：該單一均勻傳輸結(jié)構(gòu)回波損耗在2.5 GHz后呈周期性特征，其無損情形如圖4（a）所示，其中，設(shè)置傳輸線特征阻抗為70 Ω 以突出變化，在波長對應(yīng)的2.5 GHz、7.5 GHz 等頻點(diǎn)回波損耗有極大值，約為-9.8 dB；在考慮損耗時(shí)，回波損耗曲線呈阻尼衰減，曲線如圖4（b）所示。

圖4 均一傳輸結(jié)構(gòu)在無損和有損情形下回波損耗的區(qū)別

考慮存在多段阻抗不連續(xù)的情形，在長度為15mm、阻抗為70 Ω 的傳輸線后增加一段長度為3 mm、阻抗為100 Ω 的傳輸線，其無損情形下回波損耗如圖5（a）所示。圖5（b）為長度為3 mm、阻抗為100 Ω 的傳輸線回波損耗，其1/4 波長頻點(diǎn)12.5 GHz 處對應(yīng)回波損耗極大值為-4.4 dB?？砂l(fā)現(xiàn)，圖5（a）中回波損耗曲線呈現(xiàn)2 段傳輸線各自回波損耗的“疊加”狀態(tài)，由于3 mm傳輸線阻抗失配程度更大，在0～25 GHz 范圍的大周期和回波損耗極值由這段較短傳輸線決定，阻抗失配程度較小的傳輸線在回波損耗曲線局部仍保留部分的周期性特征?？深A(yù)見的是，在有損情形下，隨著頻率提高、損耗增大，阻抗失配程度較小的傳輸結(jié)構(gòu)引起的局部周期性特征將會進(jìn)一步被消除，從而在由阻抗失配最惡劣段決定的半周期中呈現(xiàn)上升趨勢。實(shí)際情形中，這些難以控制的阻抗突變端往往由一些轉(zhuǎn)換用的垂直結(jié)構(gòu)造成，例如過孔、焊盤、焊球等。

圖5 有無3 mm/100 Ω 傳輸線對回波損耗的影響

4.2 傳輸結(jié)構(gòu)對稱性對回波損耗的影響

借助計(jì)算工具可以驗(yàn)證，對于多段阻抗突變傳輸結(jié)構(gòu)的插入損耗，S11=S22總是成立，這是由無源網(wǎng)絡(luò)的互易性決定的。值得注意的是，非對稱的傳輸結(jié)構(gòu)下，往往導(dǎo)致S11≠S22。進(jìn)一步地，在無損情形下，傳輸結(jié)構(gòu)在阻抗、長度上的分布不對稱，并不會導(dǎo)致2 端回波損耗曲線的差異，2 者的差異如圖6 所示。

圖6 3 段阻抗分布為3 mm/60 Ω、15 mm/70 Ω、5 mm/80 Ω的傳輸結(jié)構(gòu)在2 端口50 Ω 下回波損耗S11、S22 的計(jì)算差異

為探究阻抗失配分布位置對S 參數(shù)的影響，考慮將1 段1.5 mm/75 Ω 的突變接入特征阻抗55 Ω 的傳輸結(jié)構(gòu)中，總長度為20 mm，Dk=4。根據(jù)推算，1.5 mm對應(yīng)的回波損耗周期為50 GHz。圖7 中，當(dāng)該段突變處于傳輸線的不同位置時(shí)，在較寬頻段范圍內(nèi)其回波損耗曲線趨勢與1.5 mm 對應(yīng)回波損耗貼合。盡管不同的突變位置會導(dǎo)致不同階段反射波的相位差異，但該差異性在考慮損耗的情形下進(jìn)一步被縮小。阻抗的分布定位可以通過時(shí)域反射計(jì)（TDR）做進(jìn)一步測算，但阻抗失配程度與對應(yīng)的時(shí)延才是決定S 參數(shù)質(zhì)量的關(guān)鍵。

圖7 1.5 mm/75 Ω 的1 段突變距離端口1 分別為0 mm、3 mm、9 mm 時(shí)對回波損耗的影響

4.3 阻抗匹配設(shè)計(jì)結(jié)果預(yù)測

實(shí)際封裝/PCB 的工程設(shè)計(jì)中，往往只能保證均勻走線部分實(shí)現(xiàn)與端口的阻抗匹配，走線的拐角、跨平面，甚至難以控制阻抗的過孔、焊盤、焊球等結(jié)構(gòu)，無可避免地會引入不同程度的阻抗失配，當(dāng)回波損耗惡化到一定程度，會對插入損耗造成明顯影響，從而導(dǎo)致傳輸結(jié)構(gòu)的“透明度”下降。為應(yīng)對存在特殊走線或工藝容差的情形，設(shè)計(jì)人員應(yīng)對S 參數(shù)的浮動有所掌握。圖8 為在無損情形下，基于式（25）所得回波損耗與傳輸結(jié)構(gòu)阻抗失配百分比及相位β0l/2π 的數(shù)值分布關(guān)系，在低速情形/較短傳輸長度/低阻抗失配時(shí)，可以忽略因反射造成的損耗。

圖8 無損情形下，回波損耗、β0l/2π、阻抗失配百分比的關(guān)系

射頻、高速數(shù)字類互連設(shè)計(jì)中，為達(dá)到透明傳輸，通常要求回波損耗在工作頻段內(nèi)低于-15 dB 甚至-20 dB。根據(jù)計(jì)算，當(dāng)傳輸線阻抗偏差在-9.5%～+10.5%時(shí)，回波損耗峰值總在-20 dB 以下。過孔等難控的阻抗不連續(xù)會造成整體傳輸進(jìn)一步惡化，以-20 dB 為衡量標(biāo)準(zhǔn)，表1 為在對應(yīng)工作頻率下可允許的阻抗失配長度。

表1 不同阻抗匹配情形、特定工作頻率下，滿足傳輸回波損耗小于-20 dB 的最大走線長度單位：mm

當(dāng)阻抗匹配時(shí)，由反射造成的能量損耗忽略不計(jì)，此時(shí)傳輸結(jié)構(gòu)的插入損耗可由互連長度及工作頻率進(jìn)行估算。圖9 為在PCB 板材（Dk=4.4，Df=0.02）中，傳輸結(jié)構(gòu)插入損耗與傳輸長度及頻率的數(shù)值分布關(guān)系圖。

圖9 無反射情形下，插入損耗、傳輸長度、頻率的關(guān)系

某些設(shè)計(jì)的引出端尺寸節(jié)距往往囿于下一級封裝，導(dǎo)致阻抗不連續(xù)。通常反焊盤設(shè)計(jì)可以有效抵消焊盤處容性效應(yīng)導(dǎo)致的阻抗驟降，但無法同時(shí)兼顧對過孔阻抗的影響，因此整體的阻抗匹配設(shè)計(jì)不可一概而論。某些情形下反常規(guī)的阻抗調(diào)控卻可以得到更優(yōu)的傳輸結(jié)果，這種現(xiàn)象可以通過阻抗分布計(jì)算理解。在模擬3 段阻抗分布為平面走線（10 mm/90 Ω）-垂直過孔（0.8 mm/80 Ω）-焊盤焊球（0.8 mm/50 Ω）的傳輸結(jié)構(gòu)中，過孔的阻抗調(diào)節(jié)更為靈活，區(qū)別于匹配100 Ω的常規(guī)思路，當(dāng)過孔段阻抗進(jìn)一步提高到130 Ω 時(shí)，0～10 GHz 范圍內(nèi)的S11得到進(jìn)一步優(yōu)化，如圖10 所示。

圖10 3 段阻抗的傳輸結(jié)構(gòu)中，反常規(guī)調(diào)整中間段對S11 的影響

5 結(jié)束語

本文基于傳輸線理論，對單一網(wǎng)絡(luò)中的阻抗匹配原理進(jìn)行了推導(dǎo)計(jì)算，得到了散射參數(shù)關(guān)于阻抗失配程度和分布長度的直觀數(shù)學(xué)表達(dá)式。借助等效阻抗的概念可以將散射參數(shù)的計(jì)算由單一均勻網(wǎng)絡(luò)推廣到多段阻抗分布的傳輸線結(jié)構(gòu)中，并進(jìn)一步探討了反射在頻域和時(shí)域中計(jì)算的一致性和差異性。本文的計(jì)算符合能量守恒定律，與主流仿真工具的結(jié)果對比也取得了較好的驗(yàn)證結(jié)果。文章同時(shí)提供了幾種頻域分析中常見現(xiàn)象的解釋。本文的結(jié)論可以幫助初涉信號完整性領(lǐng)域的人員深入淺出地理解阻抗匹配設(shè)計(jì)的重要性，為高速、高頻設(shè)計(jì)中的問題排查和快速優(yōu)化提供思路。