練紅海 肖伸平, 羅毅平 周筆鋒

T-S (Takagi-Sugeno)模糊模型通過(guò)簡(jiǎn)單的IFTHEN 模糊規(guī)則,利用一系列的局部線性子系統(tǒng)結(jié)合模糊隸屬度函數(shù)可精確描述非線性系統(tǒng),廣泛用于非線性系統(tǒng)的建模與控制,受到了國(guó)內(nèi)外控制團(tuán)隊(duì)的極大關(guān)注[1-2].該模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,數(shù)學(xué)描述方便,有利于系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計(jì).因此,T-S 模糊模型系統(tǒng)的各種問(wèn)題得到廣泛研究[2-9],如H∞跟蹤控制問(wèn)題[6]、非脆弱濾波控制問(wèn)題[7]、魯棒耗散控制問(wèn)題[8]、故障檢測(cè)問(wèn)題[9]等.

采樣控制系統(tǒng)具有安裝簡(jiǎn)單、可靠性高、維護(hù)成本低、效率高等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程中.采樣控制系統(tǒng)是一個(gè)包含連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)和離散時(shí)間信號(hào)x(tk)的混雜系統(tǒng),它的控制信號(hào)在任意一個(gè)采樣間隔內(nèi)只刷新一次(只在數(shù)據(jù)采樣時(shí)刻刷新),與連續(xù)控制系統(tǒng)相比,這極大減少了信息的傳輸量,增加了帶寬使用效率且控制更加高效.因此,采樣控制系統(tǒng)得到眾多學(xué)者的廣泛研究,并取得了豐富的成果[10-19].文獻(xiàn)[10-11]和文獻(xiàn)[12]分別利用離散時(shí)間方法和脈沖模型方法研究了采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定和鎮(zhèn)定問(wèn)題.文獻(xiàn)[13] 提出了基于L-K(Lyapunov-Krasovskii)泛函的輸入時(shí)滯方法,該方法是目前分析采樣控制系統(tǒng)綜合問(wèn)題的主要方法之一,其基本思想是將采樣控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng),再利用L-K 泛函和時(shí)滯系統(tǒng)理論分析采樣控制系綜合問(wèn)題.近些年,許多學(xué)者基于輸入時(shí)滯方法提出了一些新的分析方法,如時(shí)間相關(guān)L-K 泛函方法[14]、閉環(huán)L-K 泛函方法[15]、不連續(xù)L-K 泛函方法[16-17]和雙邊閉環(huán)L-K 泛函方法[18-19]等.這些方法也已用于處理其他復(fù)雜系統(tǒng)的控制問(wèn)題,文獻(xiàn)[20]利用時(shí)間相關(guān)L-K 泛函方法研究了基于T-S 模糊模型的混沌采樣控制系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定問(wèn)題.文獻(xiàn)[21]使用基于Wirtinger 不等式的不連續(xù)L-K 泛函和模糊比例采樣控制分析了混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[22]利用基于自由矩陣的不連續(xù)L-K 泛函討論了T-S模糊混沌采樣控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[23]通過(guò)雙邊閉環(huán)函數(shù)討論了時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的采樣同步控制問(wèn)題.

耗散性理論是Kalman-Yakubovich 引理,無(wú)源性理論以及圓判據(jù)的推廣,它通過(guò)能量相關(guān)的輸入輸出描述方式給出了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析的新框架,已成為非線性系統(tǒng),魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要工具.耗散性將無(wú)源性能和H∞性能進(jìn)行了統(tǒng)一,為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供了一種更靈活,保守性更小的方法.另外,在耗散性能的基礎(chǔ)上,還可引入擴(kuò)展耗散性能[24],這個(gè)性能可將H∞性能、L2～L∞性能和無(wú)源性能納入一個(gè)統(tǒng)一的框架.因此,研究各類動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的耗散控制問(wèn)題具有重要意義.文獻(xiàn)[25]針對(duì)具有隨機(jī)擾動(dòng)的模糊切換系統(tǒng),討論了其魯棒耗散濾波控制問(wèn)題并給出了濾波控制器的設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)[26]研究了時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的耗散性問(wèn)題,建立了確保系統(tǒng)嚴(yán)格耗散的充分條件.文獻(xiàn)[27]分析了一類具有執(zhí)行器故障的奇異Markovian 跳變系統(tǒng)的有限時(shí)間耗散控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[28]研究了TS 模糊Markovian 跳變系統(tǒng)的可靠耗散控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[29]研究具有執(zhí)行器故障的T-S 模糊采樣控制系統(tǒng)的可靠耗散控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[30]針對(duì)一類TS 模糊采樣控制系統(tǒng),利用時(shí)間相關(guān)L-K 泛函方法研究了系統(tǒng)的魯棒耗散控制問(wèn)題,獲得了系統(tǒng)嚴(yán)格耗散的充分條件并給出了模糊采樣控制器的設(shè)計(jì)方案.由于它只考慮了采樣間隔 [tk,t)的系統(tǒng)特征信息,忽視了采樣間隔 [t,tk+1)的系統(tǒng)特征信息.因此,這種設(shè)計(jì)方法的保守性較大.考慮這種情況,文獻(xiàn)[31]利用整個(gè)采樣間隔 [tk,tk+1]的系統(tǒng)特征信息,提出一個(gè)雙邊閉環(huán)L-K 泛函,進(jìn)一步研究了T-S模糊采樣控制系統(tǒng)的耗散控制問(wèn)題.雖然文獻(xiàn)[31]的設(shè)計(jì)方案比文獻(xiàn)[30]的設(shè)計(jì)方案保守性更小,但文獻(xiàn)[31]沒(méi)有考慮模糊前提變量,只是設(shè)計(jì)了一個(gè)線性的采樣控制器,同時(shí),它構(gòu)造的雙邊閉環(huán)函數(shù)還忽視了一些有效的特征信息.因此還有很大的改進(jìn)空間.

針對(duì)文獻(xiàn)[30]和文獻(xiàn)[31]存在的問(wèn)題,本文進(jìn)一步研究T-S 模糊采樣控制系統(tǒng)的魯棒耗散控制問(wèn)題.主要貢獻(xiàn)有以下幾點(diǎn):1)基于2 階的B-L 不等式,提出基于B-L 不等式的雙邊時(shí)間相關(guān)不連續(xù)L-K 泛函,該泛函充分考慮了整個(gè)采樣間隔[tk,tk+1)的特征信息和系統(tǒng)的不連續(xù)特性,相對(duì)現(xiàn)有的L-K泛函方法來(lái)說(shuō),可更加有效地捕獲采樣控制系統(tǒng)的鋸齒結(jié)構(gòu)特征;2)提出了一個(gè)改進(jìn)的自由矩陣不等式,對(duì)L-K 泛函導(dǎo)數(shù)的估計(jì)更為精確;3)利用提出的L-K 泛函和自由矩陣不等式,建立了一個(gè)低保守性的魯棒耗散性條件,基于這個(gè)條件,提出了T-S模糊采樣控制器的設(shè)計(jì)方案.通過(guò)一個(gè)卡車拖車系統(tǒng)來(lái)驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的有效性和優(yōu)越性.

本文采用如下記號(hào):Rn,Rn×m分別表示實(shí)數(shù)域的n維向量空間和n×m矩陣空間; N 表示自然數(shù)集; 0 和I分別代表合適維數(shù)的零矩陣和單位矩陣;R ＞0 表示矩陣R是正定矩陣;Sym{M}=M+MT代表矩陣M與矩陣M轉(zhuǎn)置之和; d iag{·}表示塊對(duì)角矩陣;“*”表示對(duì)稱矩陣的對(duì)稱項(xiàng);L2[0,+∞)表示平方可積無(wú)窮序列.

1 系統(tǒng)描述

針對(duì)一類連續(xù)非線性采樣控制系統(tǒng),考慮以下IF-THEN 模糊規(guī)則描述的T-S 模糊模型.

控制信號(hào)由零階保持器(Zero-order holder,ZOH)輸出產(chǎn)生.基于并行分布補(bǔ)償控制 (Parallel distributed control,PDC)的思想,針對(duì)系統(tǒng)(1),給出下面的T-S 模糊采樣狀態(tài)反饋控制器.

采樣周期為兩個(gè)相鄰連續(xù)采樣時(shí)刻之間的間隔時(shí)間,假設(shè)滿足

其中,h1和h2(h2≥h1≥0)分別表示采樣周期(采樣間隔)的最小值和最大值.

將式(4)代入式(2),可得下面的閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)

為了分析系統(tǒng)(6)的耗散性能,定義下面的能量供給率函數(shù)

則稱系統(tǒng)(6)是嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散的.

本文目的是為系統(tǒng)(6)設(shè)計(jì)一個(gè)T-S 模糊采樣控制器(4),且滿足指定的耗散性能(8).

為了推導(dǎo)主要結(jié)論,給出下面兩個(gè)引理.

引理 1 (2 階B-L 不等式)[33-34].對(duì)給定矩陣R∈Rn×n,對(duì)所有在 [a,b]→Rn上連續(xù)可微的函數(shù)xxx,滿足

引理 2 (改進(jìn)的自由矩陣不等式).對(duì)給定矩陣R∈Rn×n,任意向量ξ0和自由權(quán)矩陣N,對(duì)所有在[a,b]→Rn上連續(xù)可微的函數(shù)x,滿足

2 主要結(jié)果及證明

為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)以及推導(dǎo)過(guò)程,定義如下標(biāo)記符:

首先,對(duì)模糊采樣控制器增益矩陣已知的情況,給出閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)(6)滿足耗散性能(8)的充分條件如下.

其中,Σi,Ωi,i=1,2的定義見(jiàn)式(10)～(13).那么,系統(tǒng) (6)是嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散的.

證明.構(gòu)造基于B-L 不等式的雙邊時(shí)間相關(guān)不連續(xù)L-K 泛函為

基于定理1,對(duì)控制器增益未知的情況,定理2給出了系統(tǒng)(6)魯棒耗散控制的充分條件以及T-S模糊控制器的求解方法.

作為L(zhǎng)-K 泛函,利用類似于定理2的證明過(guò)程,可得下面的推論

3 實(shí)例分析

本節(jié)提供一個(gè)實(shí)例來(lái)展示提出方法的可行性和有效性.考慮下面的卡車拖車模型[30,36],其卡車拖車模型示意圖如圖1 所示.

圖1 卡車拖車模型及其坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.1 Truck trailer model and its coordinate system

其動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程可描述如下[30,36]

首先,針對(duì)變周期采樣的情況(h12),選擇ε1=0.7,ε1=0.5 和h1=0,對(duì)不同采樣周期上界h2,使用定理2 和推論1 以及文獻(xiàn)[30]所得的最優(yōu)耗散性能指標(biāo)γmax如表1 所示.由表1 可知,與文獻(xiàn)[30]相比,定理2 和推論1 能提供一個(gè)更大的耗散性能指標(biāo)γ.特別地,當(dāng)h2=0.35 時(shí),文獻(xiàn)[30]無(wú)可行解,說(shuō)明本文提出的方法更加有效.另外,從表1 還可看出,定理2 比推論1 提供的耗散性能指標(biāo)γ更大,這是由于定理2 引入了VBL(t)和V4(t).

表1 對(duì)不同 h2的γmaxTable 1 γmax for differenth2

為了展示變采樣周期下界h1與耗散性能指標(biāo)的關(guān)系,選擇h2=0.35,對(duì)不同h1,使用定理2 計(jì)算所得的最大耗散性能指標(biāo)γmax如表2 所示,從表2可以看出,當(dāng)變采樣周期下界h1逐漸增大時(shí),耗散性能指標(biāo)γ也逐漸增加.

表2 對(duì)不同 h1的γmaxTable 2 γmax for differenth1

另外,選擇耗散性能指標(biāo)γ=0.9311 和變采樣周期下界h1=0,使用定理2 計(jì)算所得變采樣周期的最大上界h2為 0.26,與文獻(xiàn)[30]所得結(jié)果 0.15 相比,結(jié)果改善了73.33%.此時(shí),根據(jù)式(34)得到相應(yīng)的T-S 模糊采樣狀態(tài)反饋控制器增益為

注 8.值得指出的是,目前大部分文獻(xiàn)[20-22,29]獲得的T-S 模糊控制器的各個(gè)局部子控制器增益是相等的(即K1=K2=···=Kr=K,r為模糊規(guī)則條數(shù)),根據(jù),若各子控制器相等,則有uuu(t)=由此可知,全局控制器(uuu(t)=Kxxx(tk))與模糊隸屬度函數(shù)無(wú)關(guān).也就是說(shuō),當(dāng)各局部子控制器相等時(shí),得到的全局控制器(uuu(t)=Kxxx(tk))其實(shí)等價(jià)于一個(gè)線性控制器.關(guān)于局部子控制器出現(xiàn)都相等的情況,這可能與選擇的隸屬度函數(shù),構(gòu)造的L-K 泛函等多方面因素有關(guān).對(duì)于這種情況目前尚沒(méi)有統(tǒng)一的解決方法或合理的解釋,是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的課題,尚需進(jìn)一步深入研究.

選擇初始條件x(0)=[-0.5π,-0.75π,-10]T,外部擾動(dòng)輸入w(t)=[sin(0.1t)exp(-0.1t),sin(0.1t)×exp(-0.1t)]T.在γ=0.9311,變采樣周期hk∈(0,0.26]情況下,基于獲得的控制器,得到系統(tǒng)相應(yīng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線和控制輸入曲線如圖2 和圖3 所示,從圖2 和圖3 可以看出,設(shè)計(jì)的T-S 模糊采樣控制器保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,且能有效抑制外部擾動(dòng)信號(hào)w(t),具有良好的魯棒性.

圖2 變周期采樣 h k∈(0, 0.26]的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)Fig.2 State response of system in the case of variable sampling withhk∈(0, 0.26]

圖3 變周期采樣 h k∈(0, 0.26]的系統(tǒng)控制輸入Fig.3 Control input of system (38)in the case of variable sampling withhk∈(0, 0.26]

接下來(lái),進(jìn)一步討論定周期采樣的情況(h1=h2=h).對(duì)不同的采樣周期上界h2,使用定理2 計(jì)算所得的最大耗散性能指標(biāo)γmax見(jiàn)表3.由表1 和表3 可以看出,對(duì)相同的采樣周期上界h2,定周期采樣(h1=h2)的情況相比于變周期采樣(h1h2)的情況來(lái)說(shuō),能獲得更大的耗散性能指標(biāo).同時(shí),從這兩個(gè)表中,還可得出這樣的結(jié)論:耗散性能指標(biāo)越大對(duì)應(yīng)的采樣周期上界越小.換句話講,可以通過(guò)增加采樣頻率來(lái)改善系統(tǒng)的耗散性能指標(biāo).

表3 對(duì)不同 h1=h2的γmaxTable 3 γmax for differenth1=h2

另外,選擇耗散性能指標(biāo)γ=0.9311,使用定理2 (h1=h2)計(jì)算得最大采樣周期上界為 0.32,以及相應(yīng)的T-S 模糊采樣狀態(tài)反饋控制器為

基于獲得的控制器,可得系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和控制輸入如圖4 和圖5 所示.由圖4 可以看出,設(shè)計(jì)的控制器能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性,展示了提出方法的可行性和有效性.

圖4 定周期采樣 h2=0.32的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)Fig.4 State response of system in the case of constant sampling withh2=0.32

圖5 定周期采樣 h2=0.32的系統(tǒng)控制輸入Fig.5 Control input of system in the case of constant sampling withh2=0.32

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)基于T-S 模糊模型的采樣控制系統(tǒng)魯棒耗散控制問(wèn)題.提出了一個(gè)基于B-L 不等式的雙邊時(shí)間相關(guān)不連續(xù)L-K 泛函.建立了一個(gè)確保系統(tǒng)嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散的充分條件.基于這個(gè)條件,提出了T-S 模糊采樣控制器的設(shè)計(jì)方案.最后,使用一個(gè)卡車拖車系統(tǒng)說(shuō)明提出方法的可行性和優(yōu)越性,仿真結(jié)果表明所提出的設(shè)計(jì)方案能夠?qū)崿F(xiàn)良好的控制效果.

本文提出的方法也很容易擴(kuò)展到其他復(fù)雜系統(tǒng)的分析與綜合,如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)[5,37-38]、混沌系統(tǒng)[21-22]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[23]等,這將是我們進(jìn)一步研究的方向.