賀方超，陳金玉，汪 慧

（湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 湖北 武漢430068）

隨機(jī)變量獨(dú)立性問(wèn)題是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的重難點(diǎn)內(nèi)容。求解二維離散性隨機(jī)變量的獨(dú)立性問(wèn)題，通常做法是基于獨(dú)立性的定義，利用充要條件，求出其分布函數(shù)或邊緣分布律。這種解題思路有時(shí)計(jì)算比較復(fù)雜，而且思考具有一定的局限性。所以，為培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)放性思維和創(chuàng)新能力，本文主要運(yùn)用聯(lián)合分布矩陣推導(dǎo)了在二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件下較為簡(jiǎn)明直觀的定理，并將它們應(yīng)用到實(shí)例求解中，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，起到了 “四兩撥千斤” 的作用。

1 預(yù)備知識(shí)

性質(zhì)1[1]設(shè)（X,Y）是二維隨機(jī)變量X,Y，隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件是：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y，二元函數(shù)

其中F x,y，為（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，F(xiàn)X x和FY y分別為X和Y的邊緣分布函數(shù)。

性質(zhì)2[1]二維離散型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立的充要條件是：對(duì)任意的i,j=1,2…,，都有pij=Pi.P.j。其中，pij為（X,Y）的聯(lián)合分布律，Pi.和P.j分別為X和Y的邊緣分布律。

性質(zhì)3[1]二維連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立的充要條件是：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y，有

幾乎處處成立。其中，f x,y為（X,Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)，fX x和fY y分別為X和Y的邊緣概率密度函數(shù)。

2 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

在講解《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》第三章第四節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性時(shí)[1]，常常會(huì)給學(xué)生補(bǔ)充如下類似的題目作為隨堂練習(xí)。

課堂例題 已知二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律如表1（p137）所示，其中隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，試求表中常數(shù)a，b，c的值。

表1 課堂例題中的二維離散型隨機(jī)變量分布律

解：先求出X和Y的邊緣分布律，

X x1 x2 Pi. a+1 9+c b+4 9 Y y1 y2 y3 P.j a+1 9 b+1 9 c+1 9

由于X和Y相互獨(dú)立，根據(jù)離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性的性質(zhì)2可列出等式：

觀察與思考：根據(jù)上述求得的數(shù)值，我們不難觀察到一些很有意思的情形：

這些有意思的比式能夠成立是偶然的還是必然的？因而，我們猜想在相互獨(dú)立的情形下，二維離散型隨機(jī)變量是否普遍存在著這樣的規(guī)律？如果有的話，我們是否可以通過(guò)驗(yàn)證和推導(dǎo)獲得更多更好的結(jié)論？這些問(wèn)題值得去探索?；谶@種想法的探討和研究，下面我們引入分析所得的結(jié)論。

3 主要結(jié)果

首先，我們定義矩陣[2]

證明：由于 和 相互獨(dú)立，根據(jù)性質(zhì)2可將中任意兩個(gè)非零行向量整理為

因此，矩陣 中任意非零行向量的各分量之比都相等。同理，可證列向量也具有相同的性質(zhì)。

根據(jù)上述兩個(gè)定理可知，增廣分布律矩陣的任意兩行(或兩列)向量分量之比都對(duì)應(yīng)相等[3]。

下面我們嘗試將二維隨機(jī)變量獨(dú)立性推廣到連續(xù)型的情形，以期得到更好的性質(zhì)定理。

定理3[2]設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為連續(xù)函數(shù)相互獨(dú)立的充要條件為：

4 應(yīng)用舉例

下面就基于前述隨機(jī)變量獨(dú)立性的性質(zhì)定理，對(duì)工科概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)例題設(shè)計(jì)做出一些探討[4]。

例1每個(gè)參加射擊比賽的代表隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，每人一發(fā)子彈，以環(huán)數(shù)總和的多少來(lái)排定名次。某代表隊(duì)由甲乙兩名隊(duì)員組成，根據(jù)歷史比賽成績(jī)，兩人射擊的環(huán)數(shù)能夠穩(wěn)定在8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)。設(shè)X，Y分別表示甲乙兩位運(yùn)動(dòng)員可能環(huán)數(shù)，已知X與Y的分布律如下表（表2,3）所示，且兩人射擊互不影響。求在這次比賽中，該代表隊(duì)最有可能取得多少環(huán)的成績(jī)？概率為多少？

表2 甲的射擊成績(jī)

表3 乙的射擊成績(jī)

解：根據(jù)獨(dú)立的離散型隨機(jī)變量性質(zhì)2，可構(gòu)造X,Y的聯(lián)合分布律如下表：

X y1=8 y2=9 y3=10 x1=8 1 15 1 10 1 30 x3=10 1 15 1 10 1 30 Y x2=9 1 5 3 10 1 10

Z P{Z=k}16 17 18 19 20 1 15 3 10 25 15 1 30

例2豌豆是一種自花傳粉，閉花授粉的植物，因而其具有穩(wěn)定的性狀。據(jù)了解，豌豆的皺粒和圓粒外形是相對(duì)性狀，豌豆的紅、紫和白三種花色也互為相對(duì)性狀，外形和花色兩種性狀相互獨(dú)立。現(xiàn)有若干自然生長(zhǎng)的某種外形和花色性狀均相同的豌豆，這些豌豆雜交出的子一代中出現(xiàn)了紅花皺粒豌豆，紫花皺粒豌豆，白花皺粒豌豆，紅花圓粒豌豆，紫花圓粒豌豆，白花圓粒豌豆六種情形。由于部分豌豆苗出現(xiàn)了枯萎死亡，現(xiàn)在只統(tǒng)計(jì)出子代中皺粒豌豆占總數(shù)的圓粒豌豆占白花圓粒豌豆占紅花圓粒豌豆占請(qǐng)預(yù)測(cè)子代中其他四種性狀的占比。

解：設(shè)變量X與Y相互獨(dú)立，皺粒，圓粒，紅花，紫花，白花，六種表現(xiàn)性狀的分布律如下表：

X y1 y2 pi.x1 Y x2 y3 a b c 2 3 1 18 d 1 9 13

例3二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）聯(lián)合分布律的部分?jǐn)?shù)值如下表所示（表4），假定隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，求表中其余未知的概率值。

表4 二維離散型隨機(jī)變量X和Y聯(lián)合分布律

5 結(jié)語(yǔ)

二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性問(wèn)題是一個(gè)值得研究的重要方向。在遇到有關(guān)獨(dú)立性的問(wèn)題時(shí)，不論問(wèn)題是否簡(jiǎn)單都應(yīng)該認(rèn)真對(duì)待，善于在解決問(wèn)題過(guò)程中進(jìn)行整理和歸納思考，從不同角度嘗試不同的解題思路，探尋更多有用的規(guī)律[5，6]。本文基于已有的二維隨機(jī)變量獨(dú)立性性質(zhì)，從一道日常課堂例題中的有趣發(fā)現(xiàn)出發(fā)，追根溯源，逐步得出了二維隨機(jī)變量獨(dú)立性的三個(gè)重要結(jié)論，為問(wèn)題的求解提供極大的方便。本文最后一部分列舉了一些實(shí)際生活中二維隨機(jī)變量聯(lián)合概率的應(yīng)用例子，掌握本文這些定理可以方便快速地求解，同時(shí)也可以運(yùn)用這些定理去研究日常生活中出現(xiàn)的關(guān)于二維隨機(jī)變量獨(dú)立性的問(wèn)題[7-9]。