魏曉東， 石巖月

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100)

在Hardy空間上，一個(gè)有界線性算子A是Toeplitz算子當(dāng)且僅當(dāng)UAU*=A，其中U和U*為H2上的單側(cè)移位算子。1964年由A. Brown, P. Halmos[1]給出該方程，利用Toeplitz算子滿足該方程的特性,證得了一系列有關(guān)經(jīng)典Hardy空間上Toeplitz算子的重要的代數(shù)性質(zhì)。一般地，將該方程稱為Hardy空間上Toeplitz算子的特征方程。在不同函數(shù)空間上探究各種算子的特征方程是函數(shù)空間上算子理論研究的重要課題之一。2007年D. Sarason[2]首先在模型空間上給出了截?cái)郥oeplitz算子的定義，并給出了此類算子的特征方程。隨后，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)截?cái)郥oeplitz算子進(jìn)行了一系列深入的研究[3-10]。鑒于對(duì)偶截?cái)郥oeplitz算子和截?cái)郥oeplitz算子成對(duì)出現(xiàn)且具有緊密聯(lián)系，丁宣浩和桑元琦[11]最先對(duì)兩個(gè)對(duì)偶截?cái)郥oeplitz算子的乘積展開(kāi)研究，分別給出了乘積為零、乘積為有限秩算子以及乘積為對(duì)偶截?cái)郥oeplitz算子的充要條件。隨后，丁宣浩、桑元琦和秦越石合作對(duì)此類算子生成的C*代數(shù)進(jìn)行了研究[12]；丁宣浩、桑元琦和李永寧合作刻畫(huà)了以函數(shù)φ(z)=z為符號(hào)的對(duì)偶截?cái)郥oeplitz算子的換位及其不變子空間[13]。最近，顧才興[14]給出了對(duì)偶截?cái)郥oeplitz算子的特征方程，結(jié)合此特征方程和復(fù)對(duì)稱性給出對(duì)偶截?cái)郥oeplitz算子的判定方法，并利用該方程部分簡(jiǎn)化了文獻(xiàn)[11-12]中的證明。2020年，丁宣浩、秦越石和桑元琦[15]給出了調(diào)和Hardy空間上的調(diào)和Toeplitz算子的定義，并研究了算子的有界性和緊性問(wèn)題、零積問(wèn)題、乘法封閉性和交換性問(wèn)題。目前對(duì)調(diào)和Hardy空間上調(diào)和Toeplitz算子的研究還相對(duì)較少。本文主要從算子方程的角度進(jìn)行研究，將顧才興[14]給出的對(duì)偶截?cái)郥oeplitz算子的若干性質(zhì)推廣到調(diào)和Toeplitz算子。

1 預(yù)備知識(shí)

記復(fù)平面上的開(kāi)單位圓盤(pán)為

D={z∈C:|z|<1}。

設(shè)L2為單位圓周上關(guān)于弧長(zhǎng)測(cè)度平方可積的可測(cè)函數(shù)全體構(gòu)成的空間，設(shè)H2為L(zhǎng)2中負(fù)項(xiàng)傅里葉系數(shù)為零的函數(shù)全體構(gòu)成的空間，即

在上述結(jié)論的啟發(fā)下，丁宣浩、秦越石和桑元琦[15]給出了調(diào)和Hardy空間的定義。在本文中均設(shè)u,v為Hardy空間的內(nèi)函數(shù),由u,v誘導(dǎo)的調(diào)和Hardy空間定義如下：

Mu(f)=uf；Mv(f)=vf；

設(shè)

事實(shí)上，?g∈L2，

又由于Quv是自伴算子，所以

從而

在本節(jié)的最后，我們回顧一下復(fù)對(duì)稱算子的定義和相關(guān)研究成果。令H為可分的無(wú)窮維復(fù)Hilbert空間，L(H)是H上的有界線性算子全體構(gòu)成的賦范線性空間。令C為Hilbert空間上的算子，且C滿足：

(Ⅱ)〈Cx,Cy〉=〈y,x〉，?x,y∈H；

(Ⅲ)C2=I，其中I為單位算子。

由性質(zhì)(Ⅱ)知C為H上的等距算子。一般地，稱滿足上述三個(gè)條件的算子C為H上的對(duì)合的共軛線性等距算子。

設(shè)T∈L(H)，若存在對(duì)合的共軛線性等距算子C:H→H使得

T=CT*C,

則稱T為關(guān)于算子C的復(fù)對(duì)稱算子。

復(fù)對(duì)稱算子最早是由S. Garcia和M. Putinar[17]從復(fù)對(duì)稱矩陣推廣到Hilbert空間的。郭坤宇和朱森[18]最先提出了Hardy空間上Toeplitz算子的復(fù)對(duì)稱性問(wèn)題。由于對(duì)合的共軛線性等距算子C選取的多樣性，要完全回答該問(wèn)題是非常困難的。目前關(guān)于該問(wèn)題的研究主要有兩個(gè)思路：一個(gè)是先構(gòu)造特定的對(duì)合共軛線性等距算子C，然后研究Toeplitz算子對(duì)指定算子C的復(fù)對(duì)稱性[19-20]；另一個(gè)是適當(dāng)限制Toeplitz算子的符號(hào)函數(shù)，根據(jù)復(fù)對(duì)稱算子的性質(zhì)尋找符號(hào)函數(shù)必須滿足的條件[21]。關(guān)于Bergman空間和Dirichlet空間上的Toeplitz算子的復(fù)對(duì)稱性問(wèn)題的研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[22-24]及其參考文獻(xiàn)。

2 主要結(jié)果及其證明

在本節(jié)中，我們將建立調(diào)和Toeplitz算子滿足的一些算子等式；然后構(gòu)造適當(dāng)?shù)膶?duì)合的共軛線性等距算子C，證明調(diào)和Toeplitz算子關(guān)于C均是復(fù)對(duì)稱的。

其中u0=u(0)，v0=v(0)。

(1)

其中，第三個(gè)等號(hào)是因?yàn)?/p>

注意到

將此式代入等式(1)中，

其中，第三個(gè)等號(hào)是因?yàn)?/p>

注意到

〈h,u〉=〈uf,u〉=f0。

從而

故結(jié)論得證。

其中u0=u(0),v0=v(0)。

證明 由于等式(Ⅰ)和等式(Ⅱ)的證明類似，我們只給出(Ⅰ)的詳細(xì)證明過(guò)程。首先利用引理3中(Ⅰ)可得

(2)

從而

(3)

利用引理3(Ⅱ)可得

所以

(4)

(5)

(a) 驗(yàn)證當(dāng)h=uzn時(shí)，等式(Ⅱ)成立。

當(dāng)n=0時(shí)，

當(dāng)n≥1時(shí)，

另一方面，

利用等式(4)和等式(5)可得

通過(guò)1秩算子u?u的定義可得

所以

即結(jié)論(Ⅰ)成立。

定理5對(duì)任意φ∈L∞,設(shè)

下面等式成立

(6)

容易驗(yàn)證

(7)

(8)

將上述等式分別代入等式(6)可得

再根據(jù)引理3(Ⅱ)，

注意到

由此

其中γ如條件中所設(shè)。進(jìn)而

由于Quvh=h，可以證明

因此

(9)

利用等式(9)可得

結(jié)論得證。

上述定理表明，對(duì)任意整數(shù)n≥0,m≥1，下列等式成立，

也就是說(shuō)，

具有分塊矩陣表示為

上式中：A和D為無(wú)窮維Toeplitz矩陣，B和C為無(wú)窮維Hankel矩陣。設(shè)T=(ti,j)i,j≥1。若ti,j=ti+1,j+1,則稱T為一個(gè)Toeplitz矩陣；若ti,j+1=ti+1,j,則稱T為一個(gè)Hankel矩陣。

設(shè)n為非負(fù)整數(shù)，b為復(fù)數(shù)，則

于是

記

則

證明 利用h的展開(kāi)式可得

進(jìn)一步計(jì)算可得

從而

定理7設(shè)φ∈L∞,則

(10)

(11)

(12)

于是

結(jié)合等式(10),等式(11)和等式(12)可得：

另一方面，再次利用引理3(Ⅰ)可得

由于

利用引理6，可以驗(yàn)證

于是

另一方面，通過(guò)計(jì)算可得

其中

結(jié)合等式(7)和(8)可以驗(yàn)證

接下來(lái)，驗(yàn)證

Cuv(aφ)=αu，

等價(jià)于對(duì)任意n≥1，均有

從而結(jié)論得證。

由此得出

另一方面，

3 結(jié)語(yǔ)