王鶴霖

（昆明船舶設備研究試驗中心 昆明 650000）

1 引言

聲吶波形設計技術一直是聲吶研究中的焦點［1～4］。與傳統(tǒng)調(diào)頻信號相比，相位編碼信號具有平均發(fā)射功率大、靈活多變等優(yōu)點，這使得相位編碼信號尤其受到重視［5～6］。由于水下航行器在工作時的運動速度較快，聲吶系統(tǒng)接收到的目標回波的多普勒較高［7］，為了提高聲吶系統(tǒng)在高多普勒時對弱目標的時延分辨力就需要設計一種在高多普勒條件下具有較高時延分辨力的發(fā)射波形。

提升發(fā)射波形時延分辨力的波形設計方法可分為零多普勒條件下提升發(fā)射波形時延分辨力的波形設計算法和高多普勒條件下提升發(fā)射波形時延分辨力的波形設計算法兩類。第一類算法中比較經(jīng)典的有CAN算法［8］、MISL算法［9］和MWISL算法［10］，這三種算法主要考慮的是通過最小化加權累積旁瓣水平WISL（Weighted Integrated Sidelobe Level）來壓制自相關旁瓣水平，從而達到提高對弱目標的時延分辨力的目的。CAN算法主要是基于循環(huán)最優(yōu)化方法CA（Cyclic Approach）推導的，而MISL算法和MWISL算法則是基于優(yōu)化最小化方法 MM（Majorization Minimization）［11］推導的。目前對第二類算法的研究較少，比較經(jīng)典的有AFSIM算法［12］，但該算法的實時性較差。本文主要研究的是第二類波形設計算法，通過將CA方法與MM方法結(jié)合提出了一種新的波形設計算法。經(jīng)仿真驗證，本文提出算法與AFSIM算法相比效果更好、實時性更強。

2 問題建模

將長度為N的相位編碼發(fā)射序列表示為s=[s1,…,sN]T，則將發(fā)射序列與多普勒頻移為 f的回波做互相關的輸出為

為了使生成序列與產(chǎn)生多普勒頻移后的接收信號的互相關更接近期望互相關，就提出了如式（3）所示最小二乘代價函數(shù)：

其中 χ(k)為期望互相關，w(k)為權重。對于需要提升弱目標分辨能力的時延區(qū)間，可將其對應的χ(k)和w(k)分別設為0和1。由于該目標函數(shù)為變量s的八次函數(shù)，難以解決，所以就利用下面的與該目標函數(shù)“近似相等”的四次函數(shù)來作為目標函數(shù)。

由于式（4）中的取模運算難以處理，就引入了一組輔助變量 θ=[θ1-N,θ2-N,…,θN-1]來將原問題中的取模運算簡化。簡化后的問題為

接下來就是解決式（5）所示的優(yōu)化問題的具體推導過程。

3 循環(huán)最優(yōu)化算法

依據(jù)CA方法的基本原理，在優(yōu)化過程中要交替對兩個優(yōu)化變量θ和s進行優(yōu)化。

3.1 變量θ的優(yōu)化

由式的形式可得，當s為定值時，使其目標函數(shù)取得最小值的θ為

3.2 變量s的優(yōu)化

當θ為定值時，將?(s)完全展開并忽略常數(shù)項后可得如下的優(yōu)化問題：

由于式（9）所示的?1(s)是一個四次函數(shù)，難以通過直接優(yōu)化來尋找其最小值，所以在優(yōu)化過程中就需要先利用MM方法降低其冪次，再解決其優(yōu)化問題。

其中 S(t)=s(t)(s(t))H，D的最大特征值 λmax=maxk為 N×N 維的單位矩陣。

由于發(fā)射序列s具有恒模的特點，則可得λmaxvec(S)Hvec(S)的值為 λmaxN2。除此之外，u1(S,S(t))的第三項中不包含變量S，是一個與變量S無關的量。忽略式中的與S無關的量后，其可轉(zhuǎn)化為下面的二次問題。

其中λL為H-λmaxs(t)(s(t))H的最大特征值的上界。

由于發(fā)射序列s具有恒模的特點，則可得λLsHs的值為λLN。除此之外，u2(s,s(t))的第三項不包含變量s，是一個與變量s無關的量。忽略式中的與s無關的量后，其可轉(zhuǎn)化為下面的一次問題

下面的工作就是估計矩陣H-λmaxs(t)(s(t))H的最大特征值的上界λL。

3.3 算法流程總結(jié)

將本文提出的算法命名為AC算法，則AC算法的步驟可以總結(jié)為

1）給定初始化序列、需要提高時延分辨力的多普勒頻率和時延區(qū)間；

2）用式（7）計算θ；

3）用式（26）計算 y；

4）用式（28）計算 s；

5）重復步驟2）、3）、4），直到算法收斂。算法收斂的條件一般設置為兩次迭代中序列變化量的二范數(shù)小于設定的門限。

4 仿真實驗

為了驗證本文推導的針對動目標的波形設計算法的效果，下面進行了計算機仿真，主要對比了AC算法與AFSIM算法的時延分辨力與運行速度。

仿真條件為：編碼序列長度為N=50，需要提高時延分辨力的多普勒頻率和時延區(qū)間分別為和[15,20]∪[25,27]，收斂條件為兩次迭代中序列變化量的二范數(shù)小于10-3。圖1為兩種算法生成序列的考慮多普勒的自相關的對比。從圖1中可以看出，AC算法生成序列在多普勒頻率為、時延為[15,20]∪[25,27]的區(qū)間內(nèi)的相關明顯低于AFSIM算法，這證明AC算法生成的序列具有更高的時延分辨力。除此之外，AC算法僅用2.16s就達到了收斂條件，而AFSIM算法達到收斂條件則用了242.30s，這也展現(xiàn)出了AC算法的實時性強的特點。圖2為AC算法的目標函數(shù)隨迭代時間的變化。從圖2中可以看出，AC算法具有單調(diào)特性，且在收斂時的目標函數(shù)值可以達到-37dB以下。

圖1 AC算法與AFSIM算法效果對比

圖2 AC算法的目標函數(shù)隨迭代時間的變化

5 結(jié)語

本文提出了一種可在高多普勒條件下提升發(fā)射波形時延分辨力的AC算法。首先以最小化考慮多普勒的自相關函數(shù)與期望自相關函數(shù)的誤差為目標提出了優(yōu)化問題。然后基于CA方法和MM方法推導出了AC算法。最后證明了與AFSIM算法相比，本文提出的AC算法具有更好的時延分辨力和更強的實時性。