崔夢(mèng)曦，郝宏旭，王新星，孟亮飛，毛昱天，萬軻，劉耘臻，張妍

(1.中國(guó)兵器工業(yè)導(dǎo)航與控制技術(shù)研究所，北京 100089；2.中國(guó)航天標(biāo)準(zhǔn)化與產(chǎn)品保證研究院，北京 100191)

0 引言

遠(yuǎn)程火箭武器由于其射程覆蓋范圍大、火力兇猛、使用環(huán)境要求低[1-2]等優(yōu)點(diǎn)，一直受到世界各國(guó)陸軍的高度重視。近年來，各國(guó)陸軍已基本告別早期的無控面壓制型火箭彈，普遍開始裝備第二代慣性衛(wèi)星組合導(dǎo)航式制導(dǎo)火箭彈[3]。以此為基礎(chǔ)，各軍事強(qiáng)國(guó)遠(yuǎn)程火箭武器正向末段制導(dǎo)化和智能化等方向發(fā)展[4]，使得遠(yuǎn)程火箭武器在保留其本身優(yōu)點(diǎn)的前提下，兼具某些戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的作戰(zhàn)使用特點(diǎn)。

遠(yuǎn)程制導(dǎo)火箭彈尋求末段尋的制導(dǎo)，導(dǎo)引頭是需要重點(diǎn)關(guān)注的部組件。導(dǎo)引頭在地地戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈、空地導(dǎo)彈上的應(yīng)用案例頗多，見諸報(bào)章的就有激光半主動(dòng)式導(dǎo)引頭、可見光圖像導(dǎo)引頭、紅外導(dǎo)引頭、雷達(dá)導(dǎo)引頭以及復(fù)合多模導(dǎo)引頭[5-10]。然而，相較于戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈，火箭彈具有大長(zhǎng)徑比、高彈速、鴨舵控制等特點(diǎn)，使得其提供給導(dǎo)引頭的振動(dòng)、過載、沖擊等力學(xué)環(huán)境與導(dǎo)彈區(qū)別較大。導(dǎo)引頭應(yīng)用到制導(dǎo)火箭彈上，適應(yīng)彈上環(huán)境是其需要攻克的難題。

為解決該技術(shù)難點(diǎn)，在項(xiàng)目方案設(shè)計(jì)階段，火箭彈研制單位和導(dǎo)引頭研制單位一般采取聯(lián)合技術(shù)攻關(guān)的研究方式?；鸺龔椦兄瓶傮w單位根據(jù)系列制導(dǎo)火箭彈的典型飛行環(huán)境和目標(biāo)特性分解出導(dǎo)引頭技術(shù)指標(biāo)，將技術(shù)指標(biāo)提供給導(dǎo)引頭研制單位；導(dǎo)引頭研制單位依據(jù)總體下發(fā)的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)導(dǎo)引頭初步技術(shù)方案并據(jù)此建立導(dǎo)引頭數(shù)學(xué)模型；總體單位將導(dǎo)引頭數(shù)學(xué)模型嵌入到火箭彈制導(dǎo)控制數(shù)學(xué)模型中完成聯(lián)合數(shù)學(xué)仿真并將仿真結(jié)果反饋給導(dǎo)引頭研制單位；雙方反復(fù)迭代后生成最終技術(shù)方案。

該研究思路的重點(diǎn)是建立導(dǎo)引頭的數(shù)學(xué)模型，且應(yīng)在模型中強(qiáng)調(diào)導(dǎo)引頭與彈體的耦合聯(lián)系。國(guó)內(nèi)的研究人員在這方面付出了大量的努力。文獻(xiàn)[11-13]從隔離度出發(fā)建立了導(dǎo)引頭的數(shù)學(xué)模型，研究了導(dǎo)引頭隔離度寄生回路對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定性和制導(dǎo)精度的影響。隔離度寄生回路是一個(gè)很好的研究彈體與導(dǎo)引頭耦合作用的切入點(diǎn)。相關(guān)的文獻(xiàn)還有很多，在此不一一列舉。上述文獻(xiàn)對(duì)導(dǎo)引頭數(shù)學(xué)模型的建立具有較強(qiáng)的理論意義。文獻(xiàn)[14-15]則以滾轉(zhuǎn)彈為導(dǎo)引頭應(yīng)用平臺(tái)，推導(dǎo)了框架式導(dǎo)引頭與其載彈的耦合關(guān)系，工程實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值極強(qiáng)。但稍為遺憾的是，文獻(xiàn)[14-15]給出了外偏航-內(nèi)俯仰框架式導(dǎo)引頭的數(shù)學(xué)模型，而沒有給出普適性的、適應(yīng)于各類框架結(jié)構(gòu)條件下的導(dǎo)引頭與彈體耦合數(shù)學(xué)模型。本文將在其基礎(chǔ)上，繼續(xù)完善建立耦合模型。

上述研究思路在實(shí)踐應(yīng)用中被證明是行之有效的，但是在某些環(huán)節(jié)處存在需要改進(jìn)之處。例如，總體單位提供給導(dǎo)引頭研制單位的技術(shù)要求往往比較抽象，不能反映彈上飛行環(huán)境的全貌；導(dǎo)引頭研制單位在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)過于“單打獨(dú)斗”，往往過分依賴自身的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，而對(duì)于大量既有基型火箭彈飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)的利用率偏低。這樣做的后果是一直到導(dǎo)引頭原理樣機(jī)試制完成之后，在半實(shí)物仿真過程中才能發(fā)現(xiàn)方案存在的問題并進(jìn)行改進(jìn)，浪費(fèi)了大量的研制時(shí)間，項(xiàng)目進(jìn)度風(fēng)險(xiǎn)顯著增加。

有鑒于此，本文致力于在導(dǎo)引頭方案設(shè)計(jì)階段利用數(shù)學(xué)仿真的手段解決上述問題。具體研究思路是：1)根據(jù)導(dǎo)引頭初步方案建立導(dǎo)引頭數(shù)學(xué)模型，模型重點(diǎn)是導(dǎo)引頭與火箭彈之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)耦合；2)提取基型火箭彈的實(shí)際飛行數(shù)據(jù)，并將實(shí)際飛行數(shù)據(jù)作為導(dǎo)引頭數(shù)學(xué)模型的輸入完成仿真；3)根據(jù)仿真結(jié)果完成導(dǎo)引頭參數(shù)的修正并迭代仿真、完善模型；4)將完善后的導(dǎo)引頭模型嵌入制導(dǎo)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中完成聯(lián)合仿真。其中第1步和第4步是整個(gè)過程的重點(diǎn)。上述導(dǎo)引頭方案設(shè)計(jì)思路已被應(yīng)用到某陸軍在研制導(dǎo)火箭彈的研制過程中，并取得一定的成果。

上述思路中，第4步聯(lián)合仿真導(dǎo)出的制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量是驗(yàn)證導(dǎo)引頭與基型火箭彈匹配性的關(guān)鍵指標(biāo)。然而，對(duì)于導(dǎo)引頭研制單位而言，其一般希望能在聯(lián)合仿真前就獨(dú)立完成初步的脫靶量仿真計(jì)算以減少迭代設(shè)計(jì)周期。但是，由于其手中一般缺乏火箭彈的詳細(xì)模型數(shù)據(jù)，即使建立了導(dǎo)引頭-彈體耦合模型，依然無法獨(dú)立取得火箭彈的脫靶量仿真數(shù)據(jù)，因而不能直接獲取導(dǎo)引頭性能的最直觀表達(dá)。

在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)領(lǐng)域，伴隨法是應(yīng)用較為廣泛的設(shè)計(jì)方法，尤其適用于制導(dǎo)系統(tǒng)內(nèi)某變量或某干擾引起的脫靶量的估算[16-17]。文獻(xiàn)[18]利用伴隨法研究了防空導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量，并與直接法計(jì)算仿真脫靶量進(jìn)行了對(duì)比分析。文獻(xiàn)[19]研究了導(dǎo)彈末制導(dǎo)系統(tǒng)在目標(biāo)機(jī)動(dòng)條件下引起的脫靶量。文獻(xiàn)[20]利用伴隨方法研究了彈目接近速度不斷增加條件下脫靶量的變化情況。上述文獻(xiàn)具備較強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值，但并未研究導(dǎo)引頭跟蹤誤差造成的制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量。本文將以伴隨制導(dǎo)系統(tǒng)和導(dǎo)引頭-彈體耦合模型為基礎(chǔ)，提出一種導(dǎo)引頭跟蹤誤差影響下的脫靶量快速仿真方法，利用該方法，導(dǎo)引頭研制單位可以在缺乏基型火箭彈模型數(shù)據(jù)的條件下，使用導(dǎo)引頭-彈體耦合模型仿真得到導(dǎo)引頭跟蹤誤差的仿真結(jié)果，利用仿真結(jié)果進(jìn)一步即時(shí)、方便地估算基型火箭彈應(yīng)用導(dǎo)引頭后的脫靶量數(shù)據(jù)。

1 速率陀螺穩(wěn)定平臺(tái)式導(dǎo)引頭的基本原理

以某型制導(dǎo)火箭彈導(dǎo)引頭(以下簡(jiǎn)稱導(dǎo)引頭)為對(duì)象，敘述速率陀螺穩(wěn)定平臺(tái)式導(dǎo)引頭基本原理。

導(dǎo)引頭主要由位標(biāo)器、電子艙和本體結(jié)構(gòu)組成，其中位標(biāo)器用于隔離彈體擾動(dòng)和穩(wěn)定跟蹤目標(biāo)，是運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)建模的對(duì)象。導(dǎo)引頭位標(biāo)器采用速率陀螺穩(wěn)定平臺(tái)體制、俯仰-偏航雙框架結(jié)構(gòu)，滾轉(zhuǎn)方向與彈體捷聯(lián)。雙框架中，以俯仰方向框架為外框架，外與彈體連接，同時(shí)承載內(nèi)框架結(jié)構(gòu)；以偏航方向框架為內(nèi)框架，外與外框架連接，同時(shí)承載光電探測(cè)器。彈體運(yùn)動(dòng)時(shí)，雙框架以速率陀螺感受火箭彈俯仰和偏航姿態(tài)角速度的變化，伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)框架向反方向旋轉(zhuǎn)，以保持光電探測(cè)器在慣性空間內(nèi)的穩(wěn)定、隔離彈體擾動(dòng)，此即導(dǎo)引頭位標(biāo)器穩(wěn)定回路的工作原理；彈目相對(duì)位置發(fā)生變化時(shí)，光電探測(cè)器跟蹤到相應(yīng)的彈目視線角速度，將光信號(hào)轉(zhuǎn)化為電信號(hào)后作為伺服電機(jī)的運(yùn)動(dòng)指令驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī)完成對(duì)目標(biāo)的跟蹤，同時(shí)將視線角速度信號(hào)輸出到彈上制導(dǎo)系統(tǒng)，此即導(dǎo)引頭位標(biāo)器跟蹤回路的工作原理。不失一般性地簡(jiǎn)化到一維平面上，上述原理可用圖1描述。圖1中，q和q′表示彈目相對(duì)位置變化前后的彈目視線角，?和?′表示彈體姿態(tài)變化前后的彈體姿態(tài)角，α和α′表示電機(jī)運(yùn)動(dòng)前后的框架角。

一般情況下，制導(dǎo)火箭彈用導(dǎo)引頭的失調(diào)角都在1°以內(nèi)。因此，忽略失調(diào)角的情況下，導(dǎo)引頭光軸的指向就是圖1中視線軸的指向。圖1(a)中視線軸、彈體軸的指向分別代表了初始視線角或?qū)б^光軸的初始指向角和火箭彈的初始姿態(tài)。而導(dǎo)引頭位標(biāo)器的框架角可以由位標(biāo)器框架伺服電機(jī)控制。

根據(jù)上述導(dǎo)引頭基本原理，可建立描述導(dǎo)引頭運(yùn)動(dòng)的基本坐標(biāo)系，主要包含：描述彈體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系、描述導(dǎo)引頭外框架旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系以及描述導(dǎo)引頭內(nèi)框架旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，分別稱之為彈體坐標(biāo)系ObXbYbZb、外框架坐標(biāo)系OoXoYoZo以及內(nèi)框架坐標(biāo)系OiXiYiZi。坐標(biāo)系定義如下：

1)彈體坐標(biāo)系ObXbYbZb，與彈體固連；原點(diǎn)Ob取在火箭彈質(zhì)心上，ObXb軸沿火箭彈縱軸方向，指向火箭彈頭部為正方向，ObYb軸在火箭彈縱對(duì)稱平面內(nèi)，垂直于ObXb軸，向上為正方向，ObZb軸由右手法則確定。

2)外框架坐標(biāo)系OoXoYoZo，與導(dǎo)引頭外框架(俯仰框架)固連；原點(diǎn)Oo取在導(dǎo)引頭兩框架回轉(zhuǎn)中心上，OoXo軸沿導(dǎo)引頭外框架對(duì)稱軸方向，朝向目標(biāo)為正方向，OoYo軸在導(dǎo)引頭外框架縱對(duì)稱平面內(nèi)，垂直于OoXo軸，向上為正方向，OoZo軸由右手法則確定，外框架伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)外框架繞該軸運(yùn)動(dòng)。

3)內(nèi)框架坐標(biāo)系OiXiYiZi，也稱導(dǎo)引頭光軸坐標(biāo)系，與導(dǎo)引頭內(nèi)框架(偏航框架)及光電探測(cè)器固連；原點(diǎn)Oi取在導(dǎo)引頭兩框架回轉(zhuǎn)中心上，OiXi軸沿導(dǎo)引頭內(nèi)框架對(duì)稱軸方向，指向目標(biāo)為正方向，OiYi軸在導(dǎo)引頭內(nèi)框架縱對(duì)稱平面內(nèi)，垂直于OiXi軸，向上為正方向，內(nèi)框架伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)內(nèi)框架繞該軸運(yùn)動(dòng)，OiZi軸由右手法則確定。

2 導(dǎo)引頭-彈體耦合模型

2.1 導(dǎo)引頭-彈體運(yùn)動(dòng)學(xué)耦合模型

對(duì)于彈體和導(dǎo)引頭框架，存在由以下物理量描述的運(yùn)動(dòng)：

1)彈體繞其ObXb、ObYb、ObZb3個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)角速度分別為ωb=[ωXbωYbωZb]T；

(1)

式中：Eob(α)為導(dǎo)引頭外框架繞其OoZo軸運(yùn)動(dòng)的歐拉旋轉(zhuǎn)變換；通過伺服電機(jī)系統(tǒng)，導(dǎo)引頭可以對(duì)其外框架繞OoZo軸的角速度ωZo進(jìn)行直接控制。

同樣可以計(jì)算導(dǎo)引頭內(nèi)框架的角速度

ωi=[ωXiωYiωZi]T

ωi=Eio(β)ωo+ωio=

(2)

式中：Eio(β)為導(dǎo)引頭內(nèi)框架繞其OiYi軸的歐拉旋轉(zhuǎn)變換；通過伺服電機(jī)系統(tǒng)，導(dǎo)引頭可以對(duì)其內(nèi)框架繞OiYi軸的角速度ωYi進(jìn)行直接控制。

導(dǎo)引頭光電探測(cè)器位于位標(biāo)器內(nèi)框架負(fù)載位置中心處。因此，穩(wěn)定導(dǎo)引頭光電探測(cè)器實(shí)質(zhì)上就是使位標(biāo)器內(nèi)框架繞其OiYi軸和OiZi軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωYi和ωZi為0 rad/s。另一方面，導(dǎo)引頭位標(biāo)器速率陀螺也被安裝在位標(biāo)器內(nèi)框架負(fù)載位置中心，因此速率陀螺所測(cè)得的角速度與內(nèi)框架轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωYi、ωZi一致。然而，作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的伺服電機(jī)，只能直接控制內(nèi)框架繞OiYi軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；而不能直接控制內(nèi)框架繞OiZi軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，這個(gè)方向上的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)需要結(jié)合外框架轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωZo的控制來完成。意即導(dǎo)引頭位標(biāo)器俯仰外框架上的控制量與測(cè)量量之間無法直接反饋，存在來自本框架外的運(yùn)動(dòng)學(xué)耦合影響。

根據(jù)(1)式、(2)式，可以得到導(dǎo)引頭位標(biāo)器在偏航內(nèi)框架和俯仰外框架上的控制原理框圖，如圖2和圖3所示。

通過分析導(dǎo)引頭位標(biāo)器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，可以得到導(dǎo)引頭與彈體第1個(gè)耦合點(diǎn)，即俯仰外框架穩(wěn)定回路中速率陀螺之前引入的彈體姿態(tài)干擾項(xiàng)：cosαsinβωXb+sinαsinβωYb。同時(shí)可以注意到，在俯仰回路控制量ωZo和陀螺測(cè)量量ωZi之間，還存在一項(xiàng)偏航框架角的余弦項(xiàng)cosβ，它表示了導(dǎo)引頭位標(biāo)器內(nèi)外框架之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)耦合關(guān)系。在常見的導(dǎo)引頭模型中，由框架角引入的內(nèi)外框之間的耦合關(guān)系容易被忽略。在框架角運(yùn)動(dòng)范圍較大(>10°)的情形下，這樣的忽略往往會(huì)對(duì)最終的仿真結(jié)果帶來較大的影響，設(shè)計(jì)師應(yīng)給予充分的注意。

2.2 導(dǎo)引頭-彈體動(dòng)力學(xué)耦合模型

導(dǎo)引頭位標(biāo)器俯仰外框架和彈體、偏航內(nèi)框架和俯仰外框架之間除了有運(yùn)動(dòng)學(xué)的耦合關(guān)系外，還存在動(dòng)力學(xué)的耦合關(guān)系，即三者之間存在耦合力矩。在伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)框架運(yùn)動(dòng)完成彈體擾動(dòng)隔離和目標(biāo)跟蹤的情形下，這樣的耦合力矩?zé)o法忽略。下面建立位標(biāo)器兩框架的動(dòng)力學(xué)模型。

眾所周知，旋轉(zhuǎn)剛體動(dòng)力學(xué)建模的基礎(chǔ)是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉方程。根據(jù)歐拉方程，偏航內(nèi)框架的外力矩及其旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系由(3)式表示：

(3)

式中：MXi、MYi、MZi為偏航內(nèi)框架在OiXi、OiYi、OiZi3個(gè)軸向上受到的外力矩；JXi、JYi、JZi為偏航內(nèi)框架(含負(fù)載)在OiXi、OiYi、OiZi3個(gè)坐標(biāo)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(3)式中之所以可以由坐標(biāo)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量代替慣性張量，是由于內(nèi)框架OiXi、OiYi、OiZi3個(gè)坐標(biāo)軸均選為慣性主軸，慣性積為零。

(3)式中，框架上受到的外力矩除電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩外，還應(yīng)包括摩擦力矩、干擾力矩和質(zhì)量不平衡力矩等干擾力矩。導(dǎo)引頭研制時(shí)，可通過對(duì)工藝的優(yōu)化盡量降低它們的影響程度，而導(dǎo)引頭兩框架之間、框架與彈體之間的耦合作用則是框架動(dòng)力學(xué)所固有的，其影響無法通過工藝的優(yōu)化設(shè)計(jì)減弱。由于本文面向?qū)б^的初期設(shè)計(jì)，將上述干擾力矩忽略，只考慮耦合作用影響，以取得導(dǎo)引頭初期的設(shè)計(jì)方向。在后期的設(shè)計(jì)和迭代中，再引入干擾力矩的影響，以完成詳細(xì)和完整的設(shè)計(jì)。

根據(jù)(2)式，將ωYi微分后與ωXi、ωZi共同代入(3)式，并且只考慮內(nèi)框架繞其OiYi軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，有

(4)

式中：Toi、Tbi表示兩種不同的耦合作用力矩。Toi只與導(dǎo)引頭位標(biāo)器的框架角α和β有關(guān)，因此其實(shí)質(zhì)是導(dǎo)引頭位標(biāo)器外框架對(duì)內(nèi)框架產(chǎn)生的耦合作用，表達(dá)式為

(5)

而Tbi除與導(dǎo)引頭位標(biāo)器的框架角α和β有關(guān)外，還與彈體姿態(tài)角速度ωXb、ωYb、ωZb有關(guān)，因此其實(shí)質(zhì)是以導(dǎo)引頭框架角為橋梁，彈體對(duì)導(dǎo)引頭內(nèi)框架的耦合作用，表達(dá)式為

(JXi-JZi)[cos(2β)ωZb(cosαωXb+sinαωYb)]

(6)

綜合(4)式、(5)式、(6)式，可以發(fā)現(xiàn)伺服電機(jī)輸出力矩除了使框架產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)加速度外，還克服了外框架對(duì)內(nèi)框架產(chǎn)生的耦合作用和彈體對(duì)導(dǎo)引頭內(nèi)框架的耦合作用。

在導(dǎo)引頭研制時(shí)，要求采用機(jī)械配重等措施使框架三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量近似相等，有JXi=JZi，即(5)式和(6)式中后3項(xiàng)均簡(jiǎn)化為0，則(4)式可化為

由(2)式注意到：

則(4)式可進(jìn)一步化為

(7)

下面分析外框架的受力情況。與內(nèi)框架不同的是，外框架除了受到自身伺服電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力矩，還在內(nèi)外框架結(jié)構(gòu)連接處受到內(nèi)框架轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的反作用力矩。根據(jù)剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉方程以及力矩的線性變換關(guān)系，同樣只考慮導(dǎo)引頭位標(biāo)器俯仰外框架繞OoZo軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，有

sinβMXi+cosβMYi

(8)

式中：MZo為位標(biāo)器外框架在其OoZo軸方向上受到的外力矩。將(1)式、(3)式代入(8)式，經(jīng)化簡(jiǎn)，有

(9)

化簡(jiǎn)過程較為繁瑣，本文不再贅述。

通過考察(7)式、(9)式以及兩式的推導(dǎo)過程可知，雖然兩框架所受外力矩MYi和MZo均包含復(fù)雜的耦合力矩，但若將被考察的運(yùn)動(dòng)描述量設(shè)定為兩框架旋轉(zhuǎn)角速度ωYi和ωZo，則描述兩框架動(dòng)力學(xué)的方程均能簡(jiǎn)化到相當(dāng)理想的程度，且與圖2、圖3控制方框圖的被控量一致，便于將兩框架動(dòng)力學(xué)引入到控制回路中。

因此，在圖2、圖3兩框架控制方框圖的基礎(chǔ)上，分別引入伺服電機(jī)模型、負(fù)載模型以及俯仰框架上的耦合干擾力矩模型，就得到含有動(dòng)力學(xué)耦合影響的控制方框圖，引入點(diǎn)在兩框架伺服電機(jī)力矩系數(shù)之后，如圖4、圖5所示。

圖4中，Gi(s)為偏航穩(wěn)定回路控制器；1/(Lis+Ri)為偏航穩(wěn)定回路伺服電機(jī)電樞的復(fù)域描述，Li為電樞電感，Ri為回路電阻；Kit為電機(jī)力矩系數(shù)；1/(JYis)為偏航框架負(fù)載的復(fù)域描述，JYi為偏航框架繞OiYi軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；速率陀螺采用理想采集模型1。偏航框架繞OiYi軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωYi是被控量，也是陀螺測(cè)量量。

圖5中，Go(s)為俯仰穩(wěn)定回路控制器；1/(Los+Ro)為俯仰穩(wěn)定回路伺服電機(jī)電樞的復(fù)域描述，Lo為電樞電感，Ro為回路電阻；Kot為電機(jī)力矩系數(shù)；1/(J′Zos)為俯仰框架整體負(fù)載的復(fù)域描述，J′Zo=JZo+JYi為等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；速率陀螺采用理想采集模型1。俯仰框架繞OoZo軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωZo是被控量，偏航框架繞OiZi軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωZi是陀螺測(cè)量量。

2.3 導(dǎo)引頭-彈體反電動(dòng)勢(shì)耦合模型

伺服電機(jī)系統(tǒng)中還存在反電動(dòng)勢(shì)回路。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與旋轉(zhuǎn)框架和其參考基座的相對(duì)角速度相關(guān)，即

(10)

ei=Kei(ωYi+sinαωXb-cosαωYb)

eo=Keo(ωZo-ωZb)

(11)

由于伺服電機(jī)電樞回路的電壓為輸入電壓減去感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，圖4、圖5可進(jìn)一步完善為圖6、圖7的方框圖形式。

至此，在考慮彈體對(duì)導(dǎo)引頭位標(biāo)器的俯仰、偏航兩框架的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)耦合干擾以及伺服電機(jī)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的情況下，對(duì)兩框架穩(wěn)定回路進(jìn)行了完備的建模。利用兩框架穩(wěn)定回路，位標(biāo)器可以隔離來自彈體的姿態(tài)擾動(dòng)；同時(shí)可以接受來自跟蹤外回路的控制指令，與外回路配合完成對(duì)目標(biāo)的跟蹤。

2.4 位標(biāo)器兩框架目標(biāo)跟蹤完整模型

在2.1～2.3節(jié)描述穩(wěn)定回路建模的基礎(chǔ)上，引入導(dǎo)引頭的跟蹤外回路，就得到完整的導(dǎo)引頭位標(biāo)器兩框架目標(biāo)跟蹤的數(shù)學(xué)模型，如圖8和圖9所示。圖8、圖9中，Ki和Ko為偏航框架和俯仰框架跟蹤外回路增益(即跟蹤品質(zhì)因數(shù))；此外，可以看到3個(gè)彈體姿態(tài)的耦合引入點(diǎn)(圖中標(biāo)灰處)，在這些耦合引入點(diǎn)，可以很方便地引入實(shí)際的基型火箭彈飛行試驗(yàn)彈體姿態(tài)數(shù)據(jù)，以確定導(dǎo)引頭模型的性能是否滿足設(shè)計(jì)需要。

需要指出的是，本文的研究背景項(xiàng)目“某在研制導(dǎo)火箭彈”的典型目標(biāo)為固定目標(biāo)，因此本文未考慮目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性對(duì)導(dǎo)引頭跟蹤精度帶來的影響；同時(shí)，受篇幅所限，為聚焦研究對(duì)象，本文也未考慮各類噪聲對(duì)導(dǎo)引頭精度產(chǎn)生的影響。

2.5 模型輸出結(jié)果

利用2.1～2.4節(jié)數(shù)學(xué)模型，以某型制導(dǎo)火箭彈某次實(shí)際飛行試驗(yàn)采集數(shù)據(jù)作為仿真輸入及耦合干擾：

1)由彈載定位系統(tǒng)采集得到飛行試驗(yàn)火箭彈實(shí)際定位數(shù)據(jù)，經(jīng)處理后獲得彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的視線角，作為模型的參考輸入；

2)飛行試驗(yàn)遙測(cè)的火箭彈姿態(tài)角速度信息作為耦合干擾，含彈體俯仰角速度、偏航角速度和滾轉(zhuǎn)角速度。

經(jīng)過計(jì)算，得到的模型輸出結(jié)果如圖10所示。

由圖10可以看出，相較于參考輸入視線角速度曲線，模型輸出曲線在某些點(diǎn)處存在較大的誤差，而這些誤差就是彈體對(duì)導(dǎo)引頭的耦合干擾所致。將這些誤差點(diǎn)提取出來，就可以初步估算制導(dǎo)系統(tǒng)的脫靶量、改進(jìn)導(dǎo)引頭設(shè)計(jì)方案。

3 基于伴隨制導(dǎo)系統(tǒng)的脫靶量快速估計(jì)方法

在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)領(lǐng)域，伴隨法是應(yīng)用較為廣泛的設(shè)計(jì)方法，該方法尤其適用于制導(dǎo)系統(tǒng)內(nèi)某變量或某干擾引起的脫靶量的估算。從原理而言，伴隨法基于線性時(shí)變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，可以得到任意時(shí)刻的干擾或參數(shù)變化對(duì)最終脫靶量預(yù)測(cè)。由于導(dǎo)引頭研制單位不需完成完備的火箭彈制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)工作，只需要對(duì)導(dǎo)引頭輸出的視線角速度誤差所引起的火箭彈脫靶量有大概的估算結(jié)果即可，因此考慮建立如圖11所示的火箭彈制導(dǎo)系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型。

為方便構(gòu)建伴隨系統(tǒng)，將導(dǎo)引頭誤差干擾激勵(lì)移動(dòng)到過載輸入處，并將1/s2環(huán)節(jié)移動(dòng)代換，得到的等效制導(dǎo)系統(tǒng)方框圖如圖12所示。

依據(jù)等效制導(dǎo)系統(tǒng)方框圖，建立其伴隨系統(tǒng)。方法[12-13]是：將系統(tǒng)內(nèi)所有的綜合點(diǎn)變?yōu)橐鳇c(diǎn)、引出點(diǎn)變?yōu)榫C合點(diǎn)，信號(hào)流反向；以變量τ取代tgo；輸入變?yōu)檩敵?，輸出變?yōu)檩斎?；圖12中脫靶量輸入的位置以脈沖激勵(lì)函數(shù)代替、圖12中脈沖激勵(lì)函數(shù)輸入的位置就是伴隨系統(tǒng)中導(dǎo)引頭視線角速度誤差所引起的脫靶量輸出，如圖13所示。圖13中，為表示方便，以W取代N/(1+sT)；H(τ)就是所關(guān)注的伴隨系統(tǒng)響應(yīng)。根據(jù)伴隨系統(tǒng)理論，圖13脫靶量輸出位置表示的就是在系統(tǒng)受到視線角速度誤差脈沖激勵(lì)后，制導(dǎo)系統(tǒng)的脫靶量輸出情況。

對(duì)于該伴隨系統(tǒng)，系統(tǒng)響應(yīng)H(τ)在時(shí)域的表達(dá)式是系統(tǒng)輸入和反饋的差值與系統(tǒng)模型的卷積，即

(12)

對(duì)(12)式進(jìn)行拉普拉斯變換，有

求解上式，可得1-H(s)在復(fù)域內(nèi)的解為

求解過程中，由初始條件計(jì)算，積分常數(shù)為1。

下面給出常用的導(dǎo)航比N=3和N=4時(shí)的導(dǎo)引頭視線角速度脈沖誤差引起的脫靶量解：

1)導(dǎo)航比N=3。由圖13可知，制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量ErrN=3的解為

(13)

式中：l-1為拉普拉斯反變換。化簡(jiǎn)(13)式，可得

(14)

2)導(dǎo)航比N=4。由圖13可知，制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量ErrN=4的解為

(15)

化簡(jiǎn)(15)式，可得

(16)

4 仿真結(jié)果及分析

為驗(yàn)證本文研究方法的有效性，結(jié)合某制導(dǎo)火箭彈型號(hào)導(dǎo)引頭的研制過程，給出部分仿真結(jié)果。

4.1 導(dǎo)引頭-彈體耦合模型校核仿真結(jié)果

為驗(yàn)證本論文給出的導(dǎo)引頭-彈體耦合模型的正確性，使用某次飛行試驗(yàn)的數(shù)據(jù)完成導(dǎo)引頭模型的驗(yàn)證校核。飛行試驗(yàn)的基本情況如下：某型末制導(dǎo)火箭彈在尋的制導(dǎo)階段采用某速率陀螺穩(wěn)定平臺(tái)式導(dǎo)引頭作為制導(dǎo)信息源，飛行過程中利用彈載遙測(cè)裝置同時(shí)獲取了導(dǎo)引頭輸出的實(shí)際彈目視線角速度和火箭彈實(shí)時(shí)位置計(jì)算的彈目視線角速度。

由于按實(shí)時(shí)位置計(jì)算的彈目視線角速度噪聲較小，可以作為模型的參考輸入，在此基礎(chǔ)上使用導(dǎo)引頭-彈體耦合模型疊加彈體姿態(tài)角速度的耦合影響，計(jì)算得到模型的視線角速度輸出。通過比較模型輸出和真實(shí)的導(dǎo)引頭視線角速度輸出，就可以校核導(dǎo)引頭模型的正確性。由于參數(shù)信息的敏感性，在此對(duì)火箭彈和導(dǎo)引頭參數(shù)不予列表顯示。以偏航方向?yàn)槔?，模型校核結(jié)果如圖14所示。

導(dǎo)引頭的實(shí)際輸出結(jié)果除了受到本文提出的彈體耦合影響外，還受到導(dǎo)引頭噪聲、導(dǎo)引頭采樣時(shí)間等其他因素的影響。但是，一般而言彈體耦合造成影響的頻率較低。因此，采用一種工程上應(yīng)用較為方便的波峰/波谷校核法對(duì)模型正確性作出校核：

1)記錄正常跟蹤后(本次飛行試驗(yàn)中導(dǎo)引頭在40 s后完成歸零過程并輸出正常跟蹤標(biāo)志位)，導(dǎo)引頭模型計(jì)算輸出視線角速度波峰/波谷處的視線角速度，同時(shí)記錄波峰/波谷時(shí)刻。波峰/波谷時(shí)刻見圖14中的箭頭1～箭頭7處；

2)對(duì)波峰/波谷時(shí)刻附近的導(dǎo)引頭實(shí)際輸出視線角速度求算數(shù)平均值，計(jì)算范圍按導(dǎo)引頭相應(yīng)框架的時(shí)間常數(shù)選取(本次校核取0.3 s)；

3)計(jì)算波峰/波谷處模型計(jì)算輸出值和導(dǎo)引頭實(shí)際輸出值之差的絕對(duì)值，若該絕對(duì)值小于X，則認(rèn)為該波峰/波谷處模型有效(本文X取0.1°/s；該值的大小與干擾力矩、導(dǎo)引頭零位等因素對(duì)導(dǎo)引頭輸出造成的影響相關(guān)，具體數(shù)值可通過設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)臺(tái)試驗(yàn)得到)；

4)若80%以上的波峰/波峰點(diǎn)校核有效，則認(rèn)為模型有效。

利用某次飛行試驗(yàn)采集數(shù)據(jù)完成的波峰/波谷點(diǎn)校核結(jié)果如表1所示。在7個(gè)波峰/波谷點(diǎn)中，存在6個(gè)點(diǎn)校核后有效，有效率為85.7%，因此認(rèn)為模型有效。

表1 波峰與波谷點(diǎn)校核結(jié)果

4.2 利用伴隨制導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)脫靶量快速估計(jì)仿真結(jié)果

通過對(duì)比模型參考輸出視線角速度和參考視線角速度之間的偏差量，可以提取視線角速度誤差，再通過(14)式、(16)式計(jì)算制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量。由兩式可知，火箭彈影響制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)是導(dǎo)引頭誤差量以及制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)。為追求仿真的完備性，表2給出了這兩個(gè)參數(shù)變化時(shí)火箭彈的最大脫靶量情況。最大脫靶量的計(jì)算方法是，假設(shè)最大待飛時(shí)間為10 s，在這10 s內(nèi)任意時(shí)刻添加導(dǎo)引頭誤差激勵(lì)，尋找所造成的制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量的最大值。計(jì)算時(shí)取導(dǎo)航比N=3，飛行速度vcl=800 m/s。

表2 導(dǎo)引頭誤差和制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)變化時(shí)制導(dǎo)系統(tǒng)最大脫靶量仿真計(jì)算結(jié)果

由表2可知，隨著導(dǎo)引頭誤差和彈體時(shí)間常數(shù)的增加，制導(dǎo)系統(tǒng)的最大脫靶量顯著增加。

此外，制導(dǎo)系統(tǒng)的脫靶量還與火箭彈的飛行速度有關(guān)。表3給出了火箭彈飛行速度和制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)變化時(shí)，制導(dǎo)系統(tǒng)的最大脫靶量。計(jì)算時(shí)取導(dǎo)航比N=3，導(dǎo)引頭誤差0.4°/s。

表3 飛行速度和制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)變化時(shí)制導(dǎo)系統(tǒng)最大脫靶量仿真計(jì)算結(jié)果

由表3可知，隨著火箭彈飛行速度的增加，制導(dǎo)系統(tǒng)的最大脫靶量呈增加趨勢(shì)。

此外，為考察火箭彈制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量與導(dǎo)航比和誤差激勵(lì)時(shí)刻之間的關(guān)系，完成相應(yīng)數(shù)學(xué)仿真。其他仿真條件取飛行速度800 m/s，導(dǎo)引頭誤差0.4°/s。仿真結(jié)果如圖15所示。

由圖15可知，若導(dǎo)引頭誤差激勵(lì)時(shí)刻距飛行結(jié)束時(shí)間在0～3 s以內(nèi)，則相對(duì)而言，采取導(dǎo)航比N=4對(duì)控制脫靶量較為有利；若導(dǎo)引頭誤差激勵(lì)時(shí)刻距飛行結(jié)束時(shí)間在3～4 s以內(nèi)，則相對(duì)而言，采取導(dǎo)航比N=3對(duì)控制脫靶量較為有利。若誤差出現(xiàn)在距飛行結(jié)束時(shí)間在4 s以上，則在給定的仿真條件下，導(dǎo)引頭視線角速度誤差對(duì)脫靶量不會(huì)產(chǎn)生顯著的影響。

綜上，制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量仿真的意義在于：對(duì)于導(dǎo)引頭研制單位而言，其獲得了一種在當(dāng)前導(dǎo)引頭設(shè)計(jì)參數(shù)下，利用基型火箭彈真實(shí)飛行數(shù)據(jù)快速得到整彈制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量的仿真方法，便于據(jù)此快速迭代設(shè)計(jì)導(dǎo)引頭設(shè)計(jì)參數(shù)和設(shè)計(jì)方案。對(duì)于火箭彈總體單位而言，在擁有基型火箭彈模型、飛行數(shù)據(jù)的條件下，其可以快速評(píng)判新研導(dǎo)引頭與基型彈的匹配程度，減少互相迭代的研制過程。

5 結(jié)論

本文利用剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基本原理建立了速率陀螺穩(wěn)定平臺(tái)式導(dǎo)引頭的耦合模型，模型重點(diǎn)考慮了彈體與導(dǎo)引頭位標(biāo)器框架的耦合情況。得出主要結(jié)論如下：

1)導(dǎo)引頭耦合模型輸出與真實(shí)飛行試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，模型正確性獲得驗(yàn)證。

2)本文基于伴隨制導(dǎo)系統(tǒng)理論提出一種脫靶量快速估計(jì)方法，該方法利用導(dǎo)引頭耦合模型、真實(shí)的基型火箭彈飛行數(shù)據(jù)以及簡(jiǎn)單的火箭彈制導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)，可快速評(píng)估應(yīng)用導(dǎo)引頭后的制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量情況，為導(dǎo)引頭初步方案以及火箭彈與導(dǎo)引頭匹配方案的設(shè)計(jì)提供依據(jù)，有助于減少研制迭代周期，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。