馮嚴(yán)冰

江蘇城市職業(yè)學(xué)院，江蘇常州 232001

0 前言

在過(guò)去幾十年里，基于自然和生物學(xué)概念的種群優(yōu)化算法被廣泛地應(yīng)用于科學(xué)領(lǐng)域的搜索和優(yōu)化問(wèn)題。常用的種群優(yōu)化算法有粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization algorithm，PSO）[1]、布谷鳥(niǎo)搜索算法（cuckoo search，CS）[2]、螢火蟲(chóng)群優(yōu)化算法（glowworm swarm optimization，GSO）[3]、引力搜索算法（gravity search algorithm，GSA）[4]和灰狼優(yōu)化算法（gray wolf optimization algorithm，GWO）等[5-7]。其中，GWO算法的靈感主要是基于狼群的結(jié)構(gòu)和內(nèi)部的層次組織，組織使用4個(gè)層次，α代表最高級(jí)別，其次是β和δ，而ω代表種群的最低級(jí)別。PID控制器設(shè)計(jì)所涉及主要問(wèn)題是對(duì)與比例、積分和微分分量相關(guān)的最優(yōu)增益因子的選擇[8]。本文提出了基于GWO算法進(jìn)行比例、積分和微分（PID）控制器的設(shè)計(jì)，并與GSA和PSO算法進(jìn)行了性能比較。

1 灰狼優(yōu)化算法

灰狼優(yōu)化算法于2013年提出，該算法模擬了野生環(huán)境中灰狼的社會(huì)等級(jí)分層和狩獵機(jī)制。GWO算法使用了4個(gè)層次：

（1）α狼作為領(lǐng)導(dǎo)者是占主導(dǎo)地位的狼，是主要的決策者；

（2）β狼在社會(huì)等級(jí)中排名第二，在決策過(guò)程中幫助α狼，并在α狼和較低層次狼之間建立橋梁；

（3）δ狼在社會(huì)等級(jí)中排名第三，被α狼和β狼領(lǐng)導(dǎo)，同時(shí)也領(lǐng)導(dǎo)著最低等級(jí)的ω狼；

（4）ω狼是這個(gè)群體中排名最低的狼，它必須服從于其他3個(gè)等級(jí)的狼。

該算法中，灰狼社會(huì)等級(jí)的數(shù)學(xué)模型及其包圍、狩獵和攻擊獵物的具體策略如下：GWO根據(jù)適應(yīng)度確定了3個(gè)最佳的種群解決方案，第一適者的是α狼，第二適者是β狼，第三適者是δ狼，所有其余的種群成員都被認(rèn)為是ω狼。3個(gè)等級(jí)較高的狼對(duì)獵物的包圍由公式（1）來(lái)模擬[9]：

從式（3）、式（4）中可知，獵物的位置代表了對(duì)α、β和δ狼所獲得的最佳適應(yīng)度函數(shù)。所有狼的位置都使用以下平均公式進(jìn)行更新：

為了便于對(duì)比，GWO算法、GSA[10]算法和PSO算法的流程如表1所示。

2 PID控制器數(shù)學(xué)模型

經(jīng)典的單輸入單輸出反饋PID控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。其中，r表示參考輸入（設(shè)定值），u表示控制器輸出，y表示系統(tǒng)輸出，d表示負(fù)載擾動(dòng)，Gc表示控制器，Gp表示控制系統(tǒng)或進(jìn)程?？刂圃O(shè)計(jì)2個(gè)主要目標(biāo)是設(shè)定值跟蹤SPT和負(fù)載干擾抑制LDR。SPT即找到最佳的PID控制器增益因子，使系統(tǒng)輸出盡可能接近參考輸入信號(hào)的變化，使控制系統(tǒng)的時(shí)間加權(quán)絕對(duì)誤差積分（ITAE）最小。LDR在本研究中沒(méi)有涉及。

本研究中考慮的控制器傳遞函數(shù)表示為：

其中，Kp、Ki和Kd分別表示比例、積分和微分增益；Tf表示濾波器的時(shí)間常數(shù)。

3 算法的實(shí)現(xiàn)

為了便于對(duì)GWO、GSA和PSO三種算法進(jìn)行比較，需要說(shuō)明在一些文獻(xiàn)中被忽視的關(guān)鍵問(wèn)題：

（1）種群初始化通常使用隨機(jī)生成的PID控制器增益因子，這樣會(huì)導(dǎo)致控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定。為了克服這一問(wèn)題，本研究中先從穩(wěn)定性的角度來(lái)檢驗(yàn)解決方案，如果得到的控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的，才允許它們?cè)诔跏挤N群中使用。在本文中，初始化時(shí)，3種算法GWO、GSA和PSO都使用相同的初始群體，每運(yùn)行10次后將使用不同的個(gè)體補(bǔ)充。

（2）在表1中，GWO算法中的 在迭代過(guò)程中隨著迭代次數(shù)由2線(xiàn)性減小至0；PSO中的ω隨著迭代次數(shù)增加，從0.9線(xiàn)性減少到0.2；通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，GSA算法中最初提出的用來(lái)更新G的[11]表達(dá)式在 這個(gè)設(shè)計(jì)中不起作用，易導(dǎo)致過(guò)早收斂。因此，本研究中用式（8）中所示的線(xiàn)性衰減表達(dá)式來(lái)更新G：

其中，G0表示初始值，考慮到迭代次數(shù)較少，這里G0取0.9。

4 仿真結(jié)果與討論

本研究使用了3種相關(guān)的工廠(chǎng)數(shù)學(xué)模型[11]來(lái)測(cè)試PID控制器，具有時(shí)滯的雙滯后極點(diǎn)系統(tǒng)Gp1、非最小相位系統(tǒng)Gp2和具有多等極點(diǎn)的四階系統(tǒng)Gp3，分別表示為：

在MATLAB/Simulink環(huán)境中進(jìn)行仿真，3種算法的種群大小均取為m=15，步長(zhǎng)間隔為0.1 s，每個(gè)算法運(yùn)行10次，每次運(yùn)行時(shí)迭代150次。PID控制器的增益因子Kp、Ki和Kd在時(shí)間間隔[0.1, 5]中發(fā)生變化。濾波器的時(shí)間常數(shù)Tf取決于系統(tǒng)噪聲、過(guò)程時(shí)間常數(shù)和控制器采樣時(shí)間，但是在實(shí)踐中，它應(yīng)取不會(huì)顯著降低控制性能的最高值。本研究中，濾波器的時(shí)間常數(shù)Tf都設(shè)置為0.1 s。

每個(gè)仿真系統(tǒng)獲得的結(jié)果如表2所示，其中粗體值表示所獲得的最佳值。對(duì)于每個(gè)被測(cè)試算法（GWO、GSA和PSO）均給出了ITAE最優(yōu)結(jié)果對(duì)應(yīng)的PID增益因子。

表2還給出了10次運(yùn)行中最終獲得的ITAE的平均值，以及所有最佳結(jié)果的相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差。仿真結(jié)果表明，3個(gè)算法收斂于相同的控制器增益因子，每個(gè)系統(tǒng)均獲得相同的ITAE值。這些結(jié)果顯示其平均值與所獲得的最佳值相同，所以可知，通過(guò)150次迭代足以使所有算法收斂。同時(shí)，表2的結(jié)果顯示，對(duì)于PID控制器設(shè)計(jì)，雖然3種算法的收斂結(jié)果增益相同，性能相似，但3種算法在收斂速度方面有很大的不同。通過(guò)分析圖2、3和4中所示的仿真結(jié)果可以看出收斂速度的差異。其中，圖（a）表示10次運(yùn)行中最佳值的平均值變化，圖（b）表示10次運(yùn)行中平均值的平均值變化圖。在最佳值方面，這3種算法的仿真結(jié)果非常接近，但就平均值而言，仿真結(jié)果表明，收斂速度最快的算法是GWO，其次是GSA，最慢的是PSO算法。

表2 PID控制器增益因子和ITAE仿真結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了針對(duì)設(shè)定點(diǎn)跟蹤設(shè)計(jì)目標(biāo)的基于GWO算法的PID控制器設(shè)計(jì)方法。將該方法應(yīng)用于一組基準(zhǔn)線(xiàn)性數(shù)學(xué)模型，并與粒子群優(yōu)化和引力搜索算法得到的仿真結(jié)果進(jìn)行了比較。在小種群規(guī)模和低迭代次數(shù)的測(cè)試條件下，這3種算法得到了結(jié)果相近的ITAE。因此，GWO的性能和PSO、GSA算法一樣好。然而，在收斂性方面，3種測(cè)試算法仿真結(jié)果不同，GWO算法的最佳值總體略?xún)?yōu)于GSA和PSO；GWO算法是平均值收斂最快的，其次是GSA，最后是PSO。仿真結(jié)果表明，GWO算法的總體性能最優(yōu)，但在其他PID控制器設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)下，灰狼優(yōu)化算法還需進(jìn)一步探索。