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        以“問”驅(qū)研,拓展思維空間
        ——以蘇科版數(shù)學(xué)七(下)“證明”習(xí)題課教學(xué)為例

        2022-11-30 05:18:28洪靜
        初中生世界 2022年44期
        關(guān)鍵詞:思維數(shù)學(xué)模型

        ■洪靜

        數(shù)學(xué)課堂以“問題鏈”的形式教學(xué),簡(jiǎn)單地說,就是實(shí)施“一題多變、一題多解、多題一解”的教學(xué)模式,把固化的問題多點(diǎn)化、靈活化,正向思維變?yōu)槟嫦蛩季S等。本文以蘇科版數(shù)學(xué)七(下)“證明”習(xí)題課為例,談一談?lì)}目變式對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的作用。

        一、播下思維的“種”——模型呈現(xiàn)

        思維的“種子”是指數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)、基本思想方法與基本技能。教師用思維的“種子”解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基本問題,為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),在數(shù)學(xué)基本模型、基本數(shù)學(xué)方法上實(shí)行分類思想,進(jìn)行方法教學(xué)、模型教學(xué)。比如,江蘇省徐州市銅山區(qū)2019年七(下)數(shù)學(xué)期末試題第26題(如例題)就很好地詮釋了這一點(diǎn)。

        例如圖1,在△ABC中,BE、CD分 別為∠ABC、∠ACB的角平分線,交點(diǎn)為O。(1)若∠ABC=70°,∠ACB=50°,求∠BOC的度數(shù);(2)若∠A=40°,求∠BOC的度數(shù);(3)若∠BOC=110°,求∠A的度數(shù);(4)若∠A=n°,求∠BOC的度數(shù)。

        圖1

        本題屬于問題遞進(jìn)式題目,每一問都層層深入。第(1)問可利用角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理解決;第(2)問在第(1)問的基礎(chǔ)上進(jìn)行了變式,利用三角形內(nèi)角和過渡,進(jìn)而解決該問題;第(3)問是第(2)問的逆向思考,條件結(jié)論互換位置,步驟相反,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力;第(4)問在第(2)問的基礎(chǔ)上,由特殊到一般,只需用n°替代40°就能順利解決。例題通過這樣的設(shè)置幫助學(xué)生回顧基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn),找到思維的“種子”,為后面問題變換的探索做好鋪墊,從而更好地實(shí)現(xiàn)∠A與∠BOC之間關(guān)系的探索。

        設(shè)計(jì)意圖:例題中的“問題串”將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)融合,幫助學(xué)生理解抽象的知識(shí)點(diǎn),并能引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度去解決問題。在此過程中,學(xué)生能夠?qū)W會(huì)思考、分析,并有意識(shí)地發(fā)展自己的發(fā)散思維能力,遵循“逐步推進(jìn)、螺旋上升、不斷深化”的認(rèn)識(shí)規(guī)律,使探究更具有操作性,能站在更高層次重新領(lǐng)悟所學(xué)知識(shí),讓學(xué)習(xí)變得更加主動(dòng)、有效和持久。

        二、發(fā)出思維的“芽”——條件改變

        思維的“芽”是指在數(shù)學(xué)基本題型已經(jīng)解決的基礎(chǔ)上進(jìn)行轉(zhuǎn)化拓展,通過變換題目條件或結(jié)論,提出有梯度的問題,但梯度不大,讓學(xué)生能運(yùn)用原題型的思想方法,進(jìn)行簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化,充分發(fā)揮學(xué)生的自主探究能力,激發(fā)學(xué)生解決此類數(shù)學(xué)題型的欲望,培養(yǎng)發(fā)散性思維能力。

        變式1如圖2,在△ABC中,(1)若∠ACB=70°,∠ACD=∠EBC,求∠BOC的度數(shù);(2)若∠A=40°,∠ABC=∠ACB,∠ACD=∠EBC,求∠BOC的度數(shù)。

        圖2

        變式1中的問題(1)是在例題的第(1)(2)兩問的基礎(chǔ)上進(jìn)行了主干條件的變化,在思維“種子”的啟發(fā)下,利用轉(zhuǎn)化與整體的思想方法催生思維的“芽”,促進(jìn)問題解決;而問題(2)是在問題(1)基礎(chǔ)上逆向轉(zhuǎn)化成問題(1)的條件,再用整體思想去解決。本題通過變換題目的條件,由局部走向整體,將知識(shí)形成系統(tǒng),提升學(xué)生思維的靈活性。

        設(shè)計(jì)意圖:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以思維活動(dòng)為核心的學(xué)習(xí)。教師的“教”應(yīng)建立在促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生能夠運(yùn)用基本知識(shí)、基本技能解決數(shù)學(xué)問題。恰當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練不僅能幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí),及時(shí)反饋教學(xué)信息,還能激勵(lì)學(xué)生積極參與,激發(fā)學(xué)生深入思考,使之創(chuàng)造力發(fā)揮出來,啟迪學(xué)生智慧。

        三、抽出思維的“枝”——圖形變換

        思維的“枝”是指枝干問題與主干問題相連,是從主干問題向外延伸的重要途徑。主干與枝干相互聯(lián)系、相互依托,形成一種內(nèi)在思維的脈絡(luò),在圖形變換中,可使學(xué)生思維向不同方向延伸、拓展。

        變式2如圖3,∠A=70°,BO、CO分別是△ABC外角∠CBD、∠BCE的角平分線,它們交于點(diǎn)O,求∠BOC的度數(shù)。

        圖3

        變式2在例題和變式1的基礎(chǔ)上改變了圖的形狀,將已知條件中兩個(gè)內(nèi)角的角平分線轉(zhuǎn)換為兩個(gè)外角的角平分線,培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力,需要學(xué)生用轉(zhuǎn)化的思想改變思考方式,橫向提高學(xué)生發(fā)散思維能力。變式2沿用了探索最基礎(chǔ)的知識(shí)和方法——用思維的“芽”來解決,從內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化成外角問題,把主干問題向外延伸,抽出思維的“枝”,從而形成一種內(nèi)在的思維脈絡(luò),最終實(shí)現(xiàn)∠A與∠BOC之間關(guān)系的探索,建立“兩線兩夾角”模型。

        設(shè)計(jì)意圖:變式2通過變圖訓(xùn)練,設(shè)計(jì)一定“坡度”,提升學(xué)生發(fā)散性思維,幫助學(xué)生將解題視角由整體走向局部。這種從橫向角度提出問題的方法,不僅對(duì)學(xué)生的解題能力有幫助,而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。

        四、長(zhǎng)出思維的“樹”——探究發(fā)散

        思維的“樹”是整個(gè)枝干由內(nèi)向外展開,深層次地引發(fā)學(xué)生思考與探究。學(xué)生思考的最大障礙是復(fù)雜問題,而思維的“樹”則能把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,通過分解與轉(zhuǎn)化,改變研究方法,快速找出問題的關(guān)鍵,提高思維的發(fā)散性與歸納性,從而輕松地解決問題,呈現(xiàn)出完整的思維結(jié)構(gòu)。

        變式3如圖4,∠A=80°,BO、CO分別是△ABC內(nèi)角∠ABC及外角∠ACD的角平分線,它們交于點(diǎn)O。求∠BOC的度數(shù)。

        圖4

        變式3與前幾題提出的問題探索、求解的方法有所不同,不再求∠OBC與∠OCB度數(shù)的和,而是用到前幾題探討出的結(jié)論,啟發(fā)學(xué)生思考。此題利用三角形外角的性質(zhì)及等式的性質(zhì)進(jìn)行變形,從而探索出∠OBC和∠OCB之間的關(guān)系,進(jìn)而求出∠BOC的度數(shù),推進(jìn)∠A與∠BOC之間關(guān)系的探索,把“兩線兩夾角”模型進(jìn)行了變形。

        設(shè)計(jì)意圖:本題通過對(duì)“兩線兩夾角”模型進(jìn)行變形,改變了學(xué)生在解題時(shí)依葫蘆畫瓢的模式,幫助他們克服靜止看問題的習(xí)慣,激發(fā)學(xué)生探究熱情,改善了學(xué)生的思維方式,有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識(shí)和能力,培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和批判性。這種承上啟下、由淺入深、由易到難、循序漸進(jìn)的設(shè)計(jì),恰到好處地調(diào)動(dòng)了學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散性思維的探究能力,讓不同水平的學(xué)生都能得到一定發(fā)展,體會(huì)解題的樂趣。

        五、開出思維的“花”——類比提升

        類比思想是數(shù)學(xué)重要的解題思想,通過對(duì)題目反復(fù)錘煉、變式拓展、類比提升、精心整合,把創(chuàng)造性發(fā)散思維模式向?qū)W生最近發(fā)展區(qū)無限散發(fā),思維的“花”定將綻放。

        變式4如圖5,∠MON=90°,點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O重合),BC是∠ABN的角平分線,BC的反向延長(zhǎng)線交∠OAB的角平分線于點(diǎn)D。試問:隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng),∠D的大小會(huì)變嗎?如果不會(huì),求∠D的度數(shù);如果會(huì),請(qǐng)說明理由。

        變式4從圖的形狀上看與變式3有所不同,甚至感覺沒聯(lián)系。但如果把圖5順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到圖6這個(gè)位置,并且延長(zhǎng)線段AB,便會(huì)發(fā)現(xiàn),此題其實(shí)就是變式3的演變。此題通過引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的基本圖形,體現(xiàn)基本圖形在解決問題中的作用,鞏固思維成果。

        圖6

        設(shè)計(jì)意圖:變式4較變式3難度有所增加,將“兩線兩夾角”模型和旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來,再一次升華了“兩線兩夾角”模型,讓學(xué)生明白此模型應(yīng)用的廣泛性,理清題目核心條件之間的聯(lián)系,從而將整體性的結(jié)構(gòu)圖形投射到自己的認(rèn)知中,在延伸中發(fā)現(xiàn)基本圖形,提升自己的思維品質(zhì)。這不僅體現(xiàn)在題目本身的開放性上,也體現(xiàn)了選題的指向性,提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。

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