賈涌檳，李丹菁

(上海應用技術大學電氣與電子工程學院，上海 201418)

0 前言

磁懸浮技術是讓被控對象保持在一個懸空且相對靜止的狀態(tài)下，處在這種狀態(tài)下的被控對象沒有與其他物體發(fā)生接觸，所以就避免了因摩擦造成的損耗，很大程度上降低了維護成本。因此，無論在國防、制造業(yè)、交通，還是其他各個領域，磁懸浮技術都有著很大的發(fā)展空間。

磁懸浮球系統(tǒng)因結構簡單、成本低、易于實現(xiàn)等特點成為磁懸浮技術領域廣泛的研究實驗平臺，但磁懸浮系統(tǒng)由于非線性和滯后性等特性使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性較差，易受外界因素干擾。因此，設計一個可靠并且高效的控制器使磁懸浮系統(tǒng)有較好的穩(wěn)定性和快速性是該領域研究重點。

磁懸浮球系統(tǒng)控制策略主要分為傳統(tǒng)控制和智能控制，傳統(tǒng)控制主要有PID控制、模糊控制、自適應控制以及混合控制等[1-2]，其本質(zhì)都要建立控制對象的數(shù)學模型，然后設計一個數(shù)學形式的控制器以達到控制目的；而智能控制是利用仿生算法或者模擬人腦的邏輯思維模式去控制系統(tǒng)，主要采用神經(jīng)網(wǎng)絡，而不同的神經(jīng)網(wǎng)絡各有利弊[3]。在徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡研究方面，文獻[4]用RBF改進了在線辨識的自適應PID控制算法；文獻[5]設計并實現(xiàn)了神經(jīng)網(wǎng)絡結合模糊滑模控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有速度跟蹤性能與魯棒性；文獻[6]設計并實現(xiàn)了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡自適應狀態(tài)反饋控制器。在粒子群算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡研究方面，文獻[7]基于粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization，PSO)結合梯度下降算法優(yōu)化RBF磁浮列車溫度補償模型參數(shù)；文獻[8]證明了云自適應算法能有效優(yōu)化RBF網(wǎng)絡；文獻[9-10]在圖像領域，通過云自適應粒子群優(yōu)化(Cloud Adaptive Particle Swarm Optimization，CAPSO)算法減少了運算量，提高了搜索精度；文獻[11]在電力作業(yè)風險態(tài)勢感知上采用了云自適應粒子群優(yōu)化脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡的方法。在控制領域中，文獻[12-13]采用改進的CAPSO算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡；文獻[14]設計并實現(xiàn)了自適應粒子群優(yōu)化算法用于修正炮彈分數(shù)階控制器。采用云自適應粒子群算法的神經(jīng)網(wǎng)絡控制器設計方面缺乏理論依據(jù)，并且磁懸浮球系統(tǒng)具有非線性特點，因此，如何設計利用云適應粒子群算法的神經(jīng)網(wǎng)絡控制器成為一個難題。

本文作者針對磁懸浮球系統(tǒng)，設計云自適應粒子群優(yōu)化后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制器。該方法采用一個PD控制器作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的“教師”控制器，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制器對整定后的PD控制器的輸出進行學習，再結合云自適應粒子群算法優(yōu)化RBF網(wǎng)絡3個參數(shù)以對控制精度進行補償，達到由CAPSO-RBF控制器主導控制效果，使被控對象實現(xiàn)更快速、準確、穩(wěn)定懸浮的目的。

1 磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學模型

1.1 磁懸浮系統(tǒng)的硬件組成與參數(shù)

實驗裝置分為裝有數(shù)據(jù)采集卡的PC機和磁懸浮球裝置兩個部分。其中，磁懸浮球裝置包括電磁鐵、光電位置傳感器、電源、功率放大器、補償器、鋼球、LED等部件，其系統(tǒng)硬件實體如圖1所示。

圖1 磁懸浮球裝置系統(tǒng)硬件實體

磁懸浮球裝置參數(shù)的具體數(shù)值如表1所示。

表1 磁懸浮球裝置參數(shù)

1.2 系統(tǒng)模型建立

建立系統(tǒng)的物理模型需要忽略一些影響不大的干擾因素并考慮系統(tǒng)物理變量之間的實際問題，再進行理想化假設以便建立出切合實際的物理模型。假設：磁通全部穿過外部；磁通分布均勻；氣隙磁阻抗相對匯合；鋼球所受的電磁力集中在質(zhì)心。

假設只存在兩個力，一個是電磁鐵的吸引力，另一個是被控對象的重力，其動力學方程為

(1)

其中：x為鋼球重心離磁鐵下端表面的距離，m；m為鋼球質(zhì)量，kg；F(i,x)為電流經(jīng)過線圈產(chǎn)生的電磁力，N。

根據(jù)基爾霍夫定律、能量守恒定理，被控對象受到電磁鐵的力為

(2)

其中：μ0=4×10-7H/m，μ0為空氣磁導率；KfA為小球截面的導磁面積，m2；N為電磁鐵線圈匝數(shù)；x為電磁鐵磁極表面到被控對象重心的間距，m；i為電磁鐵繞組中的瞬時電流，A。因μ0、A、N為常數(shù)，故可定義一個常系數(shù)K:

(3)

由式(2)可以看出磁懸浮系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

在研究磁懸浮的一些特性后，因為磁懸浮系統(tǒng)的控制目的是讓被控對象在一定范圍內(nèi)受力平衡，所以可以將其非線性部分利用小偏差法進行線性化處理。

又因為磁懸浮系統(tǒng)的控制屬于彈性控制，可以在被控對象保持穩(wěn)定懸浮的點(i0,x0)處對其進行線性化處理。將式(2)按泰勒級數(shù)展開并保留前幾項得：

F(i,x)=F(i0,x0)+Fi(i0,x0)+

Fx(i0,x0)(x-x0)

(4)

其中:

(5)

故完整描述此系統(tǒng)的方程如下:

(6)

其中：Ki是鋼球穩(wěn)定點處電磁引力F對電流i的剛度;Kx是穩(wěn)定點處電磁引力F對空氣間隙x的剛度。

設此實驗裝置的輸入為功放的輸入Uin，系統(tǒng)輸出為Uout，則系統(tǒng)方程式(6)經(jīng)過拉氏變換后代入邊界方程得開環(huán)傳遞函數(shù)：

(7)

其中：Ks為光位置傳感器的增益；Ka為功率放大器的增益。磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(8)

將實際參數(shù)代入式(8)后系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(9)

2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡

2.1 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的模型

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡由三層組成，如圖2所示，用“基”構成隱含層，輸入不需要通過權值連接可直接映射到隱含層。當RBF的中心點確定后映射關系隨之確定。輸出是隱含層單元輸出的線性加權和，所以隱含層到輸出層的映射是線性的，此處的權即為網(wǎng)絡權值。利用核函數(shù)的思想，網(wǎng)絡由輸入到輸出的映射是非線性的，而網(wǎng)絡輸出與網(wǎng)絡權值是線性關系，從而使網(wǎng)絡學習速率加快并且避免落入局部最優(yōu)問題。

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡結構

2.2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出

設網(wǎng)絡輸入x的維數(shù)為M，輸出y的維數(shù)為L，輸入樣本對的長度為N。

因為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入層到隱含層的映射x→ui(x)是非線性的，使用高斯函數(shù)為激活函數(shù)的RBF網(wǎng)絡隱含層第i個節(jié)點輸出可表示為

(10)

式中：ui為第i個隱含層節(jié)點的輸出;δi為對應的標準化常數(shù);隱含層的節(jié)點數(shù)量為q，x=[x1,x2,… ,xM]為輸入樣本;ci為對應隱含節(jié)點的高斯中心向量,c=[ci1,ci2,… ,ciM]T，節(jié)點輸出的范圍為(0,1)，當x=ci時ui=1，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡隱含層到輸出層ui(x)→yk的線性映射即為

(11)

2.3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡監(jiān)督控制

采用一個PD控制器作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的“教師”。首先讓RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制器對PD控制器的輸出進行學習，再結合CAPSO優(yōu)化RBF網(wǎng)絡，最后達到由CAPSO-RBF控制器主導控制的效果。系統(tǒng)結構如圖3所示。

圖3 基于CARBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制的磁懸浮系統(tǒng)結構

圖3中，r(k)為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入，高斯函數(shù)為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡隱含層的激活函數(shù)。經(jīng)調(diào)試，隱含層采用4個隱含單元，設CAPSO-RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的輸出為un(k)。隱含層隱含單元的輸出為hi：

(12)

其網(wǎng)絡連接權值為wi(k)(i=1,2,3,4)，則RBF網(wǎng)絡的輸出為

(13)

控制率為

u(k)=up(k)+un(k)

(14)

其中:w=[w1,w2,w3,w4]T，需要學習的參數(shù)有3個：中心向量c，標準化常數(shù)σ，網(wǎng)絡權值w。

經(jīng)整定,PD控制器的控制參數(shù)取kp=20、kd=0.28時,能使磁懸浮球懸浮。

3 基于云自適應的粒子群算法RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制

3.1 粒子群算法

粒子群算法是模擬鳥群捕食而發(fā)展起來的基于群體協(xié)作隨機搜索的算法，用于解決優(yōu)化問題，每個需優(yōu)化問題的解相當于搜索空間里的一只鳥，稱為“粒子”。而所有的粒子都有一個被優(yōu)化函數(shù)所定義的適應度，適應度越大越好，并且每個粒子都有一個速度來決定它們的方向和距離，再通過迭代更新自己的位置。

(15)

其中:d表示向量的維數(shù);ω表示慣性權重;k表示迭代次數(shù)；c1和c2表示學習因子。

采用粒子群優(yōu)化算法對RBF控制器的中心向量、標準化常數(shù)、網(wǎng)絡權值3個參數(shù)進行尋優(yōu)，進一步提高RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的整體性能。

3.2 云自適應粒子群算法

傳統(tǒng)的粒子群搜索算法中的慣性權重和學習因子參數(shù)設置更新簡單，會導致整個網(wǎng)絡優(yōu)化速度減慢、尋優(yōu)精度降低，更或者使算法陷入局部最優(yōu)。本文作者利用動態(tài)自適應思想優(yōu)化慣性權重、學習因子，以解決以上問題。

(16)

(17)

學習因子c1、c2為改變粒子群算法中粒子之間信息交換的能力，進行動態(tài)自適應調(diào)節(jié),可提高算法尋優(yōu)速度。

c1=c1max-k(c1max-c1min)/K

(18)

c2=c2max-k(c2max-c2min)/K

(19)

其中:[cmin，cmax]為學習因子c的取值范圍;K為迭代總次數(shù)。

在尋優(yōu)前期要保證尋優(yōu)速度，設定c1>c2；到尋優(yōu)后期,算法接近收斂,設定c1

采用云自適應算法優(yōu)化的粒子群算法在全局尋優(yōu)能力上得到提升，收斂速度更快且避免了陷入早熟收斂和局部最優(yōu)所導致的精度下降問題。

3.3 云自適應粒子群算法優(yōu)化RBF控制器

傳統(tǒng)的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡是采用聚類算法得到基函數(shù)，然后通過最小二乘法得到連接權重，這種方法導致前兩個參數(shù)和連接權重失去內(nèi)在聯(lián)系。為解決這類問題，本文作者采用云自適應粒子群算法對學習PD控制器輸入后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的中心向量、標準化常數(shù)、連接權重3個參數(shù)進行編碼歸一優(yōu)化。

設粒子種群規(guī)模為20，迭代次數(shù)為250次。其中，適應度函數(shù)控制RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測精度，把每個粒子個體誤差作為適應度函數(shù)f(x)，計算公式如下：

(20)

基于云自適應粒子群算法優(yōu)化(CAPSO)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡監(jiān)督控制器設計流程如圖4所示。

圖4 設計流程

4 設計仿真

在仿真實驗中選擇3種輸入信號測試系統(tǒng)的信號跟蹤性能，分別為8 mm階躍輸入、周期為1 s峰值為8 mm的方波、周期為1 s峰值為8 mm的正弦波。PSO-RBF與CAPSO-RBF 2種控制算法的測試結果如下：

(1)8 mm階躍輸入

圖5所示為2種方法的階躍響應結果?？芍杭尤肓嗽谱赃m應粒子群算法的神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的磁懸浮控制系統(tǒng)響應速度非常快，迭代100次時誤差穩(wěn)定在7%。并且在0.15 s左右就達到了穩(wěn)定狀態(tài)，在快速性上比PSO-RBF快了2倍，并且沒有超調(diào)。

圖5 階躍響應結果與收斂結果

(2)周期為1 s峰值為8 mm的方波

圖6所示為2種方法的方波輸入響應結果。可知：云自適應粒子群算法控制的系統(tǒng)在對方波信號的跟蹤方面也表現(xiàn)得十分出色，當方波從+8 mm階躍到-8 mm時無超調(diào)量，穩(wěn)定時間也縮短為0.6 s，迭代60次時誤差已經(jīng)小于7%，但準確性指標稍欠缺。

圖6 方波輸入響應與收斂結果

(3)周期為1 s峰值為8 mm的正弦波

圖7所示為2種方法的正弦波輸入響應結果?？芍涸谱赃m應粒子群算法控制的系統(tǒng)對正弦波輸入的響應較好，輸出完全跟隨輸入，使得系統(tǒng)保持在穩(wěn)定狀態(tài)。

圖7 正弦波輸入響應與收斂迭代次數(shù)

云自適應粒子群算法結合RBF網(wǎng)絡的梯度下降算法全局收斂速度快的優(yōu)點，能夠有效提高系統(tǒng)控制效果。對比3種算法在相對穩(wěn)定下的控制性能，結果如表2所示?？芍杭尤朐谱赃m應算法后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制效果最好。

表2 3種算法控制性能比較

5 結論

針對磁懸浮球系統(tǒng)，本文作者設計了基于云自適應粒子群算法優(yōu)化的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡監(jiān)督控制器。其中，粒子群算法對RBF網(wǎng)絡的3個參數(shù)進行了量綱一化，云自適應算法改善了粒子群算法的早熟問題。采用原有RBF神經(jīng)網(wǎng)絡梯度下降法、粒子群算法、云自適應粒子群算法進行訓練仿真并與所提方法進行對比。結果表明：加入2種智能算法耦合的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制器憑借優(yōu)秀的學習與自適應能力，使得磁懸浮球系統(tǒng)在動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能上有較大的提升。