胡常福，胡星，王新國，謝曉慧

(1. 華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，江西 南昌 330013；2. 中鐵第四勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063)

現(xiàn)代拱橋的恒載已由單一分布荷載發(fā)展成多分布荷載。經(jīng)典拱橋理論基于單一分布荷載，如圓弧拱對應(yīng)的徑向均布荷載，拋物線拱對應(yīng)的水平均布荷載，懸索線拱對應(yīng)的弧長均布荷載等?，F(xiàn)代拱橋主要為鋼拱橋、鋼管混凝土拱橋與混凝土拱橋[1-4]，其恒載主要為沿跨徑方向均勻分布的橋面系自重荷載與沿弧長方向均勻分布的主拱圈自重荷載。因此，針對多分布荷載作用下拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線性屈曲荷載的研究，在現(xiàn)代拱橋工程中具有潛在應(yīng)用價值。針對拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)穩(wěn)定問題，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量研究工作。這些研究成果，按荷載類型可分為徑向均布荷載、水平均布荷載及弧長均布荷載作用下拱結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等。針對徑向均布荷載作用下拱結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題，郭彥林等[5]推演了考慮剪切變形的純壓兩鉸圓弧桁架拱屈曲荷載與換算長細(xì)比實用公式；QIU等[6]采用有限元法，研究了不同邊界荷載條件下圓弧系桿拱的穩(wěn)定性；HUANG等[7]研究了具有彈性轉(zhuǎn)動約束的功能梯度材料圓弧淺拱的屈曲行為；CHU等[8-9]研究了考慮剪切變形的圓弧拱非線性屈曲臨界荷載與臨界軸力簡化公式，建立了考慮剪切變形影響的圓弧線拱穩(wěn)定設(shè)計方程。針對水平均布荷載作用下拱結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題，樓莊鴻[10]采用能量法推演了拋物線拱面內(nèi)線性屈曲荷載的解析解；BRADFORD等[11]研究了拋物線淺拱的面內(nèi)非線性穩(wěn)定問題，所得到的解析解通過了實驗[12]驗證；林冰等[13]研究了純壓拋物線鋼拱面內(nèi)穩(wěn)定性設(shè)計曲線，并給出了面內(nèi)穩(wěn)定設(shè)計公式；LIU等[14]對豎向均布荷載與水平集中荷載作用下斜靠拱結(jié)構(gòu)體系穩(wěn)定性進(jìn)行了試驗研究。HU等[15-17]提出了一個包含弧長項的應(yīng)變表達(dá)式，推演了拋物線拱、拋物線連拱及梁拱組合結(jié)構(gòu)面內(nèi)非線性穩(wěn)定解析解。針對弧長均布荷載作用下拱結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題，在虛功原理框架內(nèi)，樓莊鴻[10]研究了懸索線拱面內(nèi)穩(wěn)定的近似解析。以上研究主要局限于單一分布荷載作用下拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)穩(wěn)定問題?，F(xiàn)代拱橋恒載為橋面水平均布荷載與主拱圈弧長均布荷載組成的多種分布荷載，在該多分布荷載作用下拱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題亟需研究。本文以多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線性穩(wěn)定為研究對象，基于拱軸無伸縮基本假定，推演直角坐標(biāo)系下拱結(jié)構(gòu)屈曲應(yīng)變與虛功近似表達(dá)；根據(jù)Ritz法與屈曲波形函數(shù)基本假定，得到多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線性屈曲荷載近似解析，并通過有限元法對基本假定與解析解進(jìn)行驗證。

1 屈曲應(yīng)變表達(dá)式

1.1 坐標(biāo)系與基本假定

為推演多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)屈曲近似解析，需首先明確坐標(biāo)系與基本假定。建立如圖1所示的2個笛卡爾坐標(biāo)系，全局坐標(biāo)系xOy與局部坐標(biāo)系x*O*y*。全局坐標(biāo)系xOy的原點O為兩拱腳連線的中點，Ox軸水平指向右拱腳，Oy軸豎直向下。局部坐標(biāo)系x*O*y*的原點O*為拱軸線上任意點，O*x*軸和O*y*軸分別為點O*處拱軸線的切線和負(fù)法線方向。

基于以下基本假定進(jìn)行理論推演：

1) 拱結(jié)構(gòu)屈曲時，材料始終處于彈性工作狀態(tài)；

2) 不考慮拱結(jié)構(gòu)的幾何非線性效應(yīng)；

3) 屈曲后拱軸無伸縮；

4) 拱結(jié)構(gòu)屈曲波形函數(shù)為[15]

式中：v為拱結(jié)構(gòu)屈曲時豎向位移；x為拱軸水平坐標(biāo)；C為屈曲波形系數(shù)；L為跨徑；θ為屈曲波形參數(shù)，當(dāng)θ=π時式(1)為兩鉸拱屈曲波形函數(shù)，當(dāng)θ=1.430 3π時式(1)為無鉸拱屈曲波形函數(shù)。

5) 在水平均布荷載與弧長均布荷載共同作用下，合理拱軸線方程[18]為

式中：y為拱軸豎向坐標(biāo)；Cg與Cq為系數(shù)；yg與yq為懸索線與拋物線拱軸線方程。其中

式中：ch(·)為雙曲余弦函數(shù)；a為懸索線拱軸參數(shù)；f為矢高；H為總推力H=ag+qL2/(8f)，其中g(shù)為弧長均布荷載，q為水平均布荷載；Hg為懸索線拱推力Hg=ag；Hq為拋物線拱推力Hq=qL2/(8f)。

1.2 屈曲應(yīng)變

HU等[15]在解決直角坐標(biāo)系下拱結(jié)構(gòu)非線性穩(wěn)定時，提出了包含弧長項的非線性應(yīng)變

式中：εm與εb為拱上任意點處壓縮應(yīng)變和彎曲應(yīng)變；w為拱結(jié)構(gòu)屈曲時水平位移；y*為橫截面內(nèi)任意 點 的 內(nèi) 法 線 坐 標(biāo)；(·)′=d(·)/dx；(·)″=d2(·)/dx2。

為推演直角坐標(biāo)系下拱結(jié)構(gòu)線性屈曲的應(yīng)變表達(dá)式，需對式(5)進(jìn)行簡化。由基本假定(3)可知，拱結(jié)構(gòu)線性屈曲時拱軸無伸縮，即

式中：S與S*為屈曲前與屈曲后拱結(jié)構(gòu)曲線弧長，可表示為

將式(7)代入式(6)可得

對式(8)等號兩邊同時平方并略去非線性項w′2與v′2，可得

將式(9)代入式(5)并略去非線性項v′2y″，可得直角坐標(biāo)系下拱結(jié)構(gòu)線性屈曲應(yīng)變表達(dá)式

2 多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)虛功近似表達(dá)

屈曲后拱結(jié)構(gòu)總勢能可表示為

式中：Π為總勢能；V為應(yīng)變能；U為外力功。由基本假定(4)與式(1)可知，拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線彈性失穩(wěn)為反對稱屈曲波形，如圖1所示。此時，對稱的豎向荷載所做的外力功為0。因此，屈曲后拱結(jié)構(gòu)總勢能等于應(yīng)變能

式中：A為拱軸截面面積；σm為拱軸壓縮應(yīng)力；σb為拱軸彎曲應(yīng)力。根據(jù)歐拉-伯努利梁理論和拱結(jié)構(gòu)理論[19]可知

弧長微分可表示為

將式(2)，式(10)，式(13)與式(14)代入式(12)，可得多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)壓縮應(yīng)變能為

由基本假定(1)可知，拱結(jié)構(gòu)屈曲時彎曲應(yīng)力與應(yīng)變滿足胡克定律

式中：E為彈性模量。將式(10)，式(14)與式(16)代入式(12)，可得彎曲應(yīng)變能為

式中：Iz為主拱圈橫截面抗彎慣性矩，將式(2)代入式(17)并泰勒展開至二次項，可得多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能為

將式(15)與式(18)代入式(12)，可得多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)虛功的近似表達(dá)

3 多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線性屈曲荷載近似解析

基于Ritz法，當(dāng)式(20)成立時對應(yīng)的外荷載即為多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)屈曲荷載。

將式(1)，式(4)，式(19)代入式(20)并化簡，可得

式中：Hcr為屈曲時拱腳水平推力。求解式(21)，可得多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線性屈曲荷載近似解析

式中：K為屈曲荷載系數(shù)，其表達(dá)式為

式中：A1～A4與B1～B4為系數(shù)，其表達(dá)式為：

Cg與Cq的表達(dá)式可由式(3)化簡得

式中：a~=a L。將θ=π代入式(24)與式(25)，可得兩鉸拱多分布荷載下屈曲荷載系數(shù)

將θ=1.430 3π代入式(24)與式(25)，可得無鉸拱多分布荷載下屈曲荷載系數(shù)。根據(jù)式(23)，式(24)，式(25)，式(26)，式(27)與式(28)，由于a~只與矢跨比有關(guān)，故屈曲荷載系數(shù)K是一個只與矢跨比和荷載比有關(guān)的量，屈曲荷載系數(shù)K隨矢跨比、荷載比的變化關(guān)系如圖2所示。為工程師使用方便，列出荷載比q/g=1時多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)屈曲荷載系數(shù)，如表1所示。

表1 多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)屈曲荷載系數(shù)KTable 1 Buckling load factor K of arches subjected to multi-pattern distributed load

4 算例驗證

為驗證本文基本假定與面內(nèi)線性屈曲荷載近似解析，選擇跨徑L=100 m，矢跨比f/L=1/5拱結(jié)構(gòu)作為算例。主拱圈橫截面為半徑1 m的圓形，面積A=3.141 59 m2，慣性矩Iz=0.785 4 m4；材料彈性模量E=210 GPa，泊松比v=0.2；拱上水平均布荷載q=80 kN/m，弧長均布荷載g=80 kN/m。

基于該結(jié)構(gòu)參數(shù)，采用通用有限元軟件ANSYS建立有限元模型。經(jīng)收斂性驗證，含有1 000個BEAM188梁單元且水平方向均勻設(shè)置節(jié)點的有限元模型，可較好地滿足精確性要求。如圖3所示，該模型的水平均布荷載與弧長均布荷載通過等效成集中力施加在節(jié)點上；兩鉸拱拱腳處約束了所有方向的線位移，無鉸拱拱腳處約束了所有位移；所有節(jié)點約束了面外線位移，以防止發(fā)生面外屈曲。使用特征值屈曲模塊計算該有限元模型前10階線性屈曲荷載，并提取第1階線性屈曲荷載作為本算例計算結(jié)果。

4.1 基本假定驗證

為驗證如式(1)所示的屈曲波形基本假定，提取有限元模型屈曲位移。為確定式(1)中未知系數(shù)C，令式(1)的屈曲波形極值與有限元結(jié)果相等，得到算例兩鉸拱理論豎向屈曲波形函數(shù)

與算例無鉸拱理論豎向屈曲波形函數(shù)

式(29)與式(30)結(jié)果與有限元結(jié)果的對比，如圖4所示。由圖4可以看出，本文假定的豎向屈曲波形與有限元結(jié)果在全拱范圍內(nèi)均吻合較好，兩鉸拱與無鉸拱的拱腳與拱頂處與有限元結(jié)果均嚴(yán)格相等，驗證了本文屈曲波形基本假定。

為驗證屈曲后拱軸無伸縮基本假定，將式(9)變形為

式中：D為常數(shù)，由邊界條件w(±L/2)=0確定。將式(29)與式(30)代入式(31)并進(jìn)行積分運算，得到算例兩鉸拱理論屈曲水平位移函數(shù)

與算例無鉸拱理論屈曲水平位移函數(shù)

式中：θ=1.430 3π。屈曲水平位移理論結(jié)果與有限元結(jié)果的對比，如圖5所示。由圖5可以看出，基于屈曲時拱軸無伸縮基本假定得到的屈曲水平位移理論結(jié)果，與有限元結(jié)果全拱范圍內(nèi)均吻合較好，兩鉸拱與無鉸拱的拱腳與拱頂區(qū)域誤差均極小。由此，間接證明了屈曲后拱軸無伸縮的基本假定。

4.2 屈曲荷載驗證

為驗證如式(22)所示的多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線性屈曲荷載近似解析，提取有限元法一階屈曲時拱腳水平反力。本文方法屈曲荷載與有限元法結(jié)果的對比，如表2所示。

表2 屈曲荷載比較Table 2 Comparisons of buckling load

由表2可以看出，本文方法屈曲荷載結(jié)果與有限元結(jié)果吻合較好，兩鉸拱屈曲荷載相對誤差為0.36%，無鉸拱屈曲荷載相對誤差為0.43%，驗證了本文屈曲荷載近似解析的精確性。

為檢驗更大范圍內(nèi)本文近似解析的精度，以該算例為基礎(chǔ)，調(diào)整矢跨比f/L與荷載比q/g的大小，如表3所示。使用同樣的模型建立方法，計算該參數(shù)范圍內(nèi)的有限元屈曲荷載，用以驗證本文方法計算結(jié)果。在該參數(shù)范圍內(nèi)，本文方法兩鉸拱與無鉸拱屈曲荷載的相對誤差，如圖6所示。

表 3 參數(shù)范圍Table 3 Range of parameters

由圖6可以看出，在如表3所示的大范圍參數(shù)內(nèi)，本文方法屈曲荷載與有限元結(jié)果吻合較好，兩鉸拱最大相對誤差3.24%，無鉸拱最大相對誤差8.52%；隨著矢跨比的減小，本文方法相對誤差迅速減小，當(dāng)矢跨比小于1/4時，兩鉸拱相對誤差趨于穩(wěn)定，相對誤差約為0.35%，無鉸拱相對誤差少于0.67%。綜合表2與圖6可知，本文方法屈曲荷載近似解析具有較高的精度，滿足實際拱橋工程應(yīng)用的精度要求。

5 結(jié)論

1) 得到了多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線性屈曲的高精度近似解析。

2) 多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線性屈曲后，滿足拱軸無伸縮基本假定。

3) 推演的多分布荷載下拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線性屈曲荷載高精度近似解析，與有限元結(jié)果吻合較好，最大相對誤差為8.52%，滿足工程應(yīng)用精度要求。

4) 針對主拱圈自重荷載為非均布荷載的情況，將非均布荷載等效為均布荷載或代入非均布荷載情況下的拱軸線方程后本文方法同樣適用。