鄧連波 ，許景 ，彭齊 ，胡心磊

(1. 中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2. 中南大學(xué) 湖南省軌道交通大數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410075)

近年來，許多學(xué)者研究了收益管理策略在鐵路領(lǐng)域的應(yīng)用，但主要集中在需求預(yù)測、動(dòng)態(tài)定價(jià)和席位分配等方面，而在航空領(lǐng)域已普遍運(yùn)用的超售策略則鮮有涉及。超售策略是為了避免已購票旅客未乘車或退票所產(chǎn)生的損失，而采取售票數(shù)量多于列車能力的一種客票銷售策略。通常情況下，高鐵列車盡量避免無座票的存在。在不允許無座票存在的情況下，列車能力等同于定員(即實(shí)際席位能力)。但在允許少量無座票存在的特殊情況下，列車能力等于席位能力和允許銷售的無座票限額之和。當(dāng)超售數(shù)量過多時(shí)，會(huì)導(dǎo)致部分旅客被拒載，影響鐵路部門聲譽(yù)，產(chǎn)生拒載風(fēng)險(xiǎn)。超售數(shù)量過少時(shí)，乘車客流不足，列車能力不能充分利用，產(chǎn)生空座損失。因此，確定合適的超售數(shù)量在提高收益的同時(shí)可有效控制拒載風(fēng)險(xiǎn)，有利于實(shí)現(xiàn)鐵路部門收益最大化和社會(huì)資源利用最大化。航空領(lǐng)域關(guān)于超售策略的研究分為靜態(tài)方法和動(dòng)態(tài)方法2類。在靜態(tài)方法方面，BECKMANN等[1-2]較早地研究了超售優(yōu)化模型，其理論成果對后續(xù)研究具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。朱金福等[3]采用排隊(duì)論模擬機(jī)票銷售過程，給出艙位最優(yōu)訂座限制的決策方程。衡紅軍等[4]提出了考慮成行率和成行人數(shù)分布的2種超售數(shù)量計(jì)算模型。MOU等[5]建立了網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的隨機(jī)機(jī)會(huì)約束的整數(shù)規(guī)劃超售模型。王航臣等[6]通過改進(jìn)報(bào)童問題建立了超售數(shù)量優(yōu)化模型，并采用蒙特卡洛方法驗(yàn)證。在動(dòng)態(tài)方法方面，KOSTEN等[7-8]分別研究了連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的超售模型。朱金福等[9-11]在研究中分別將旅客訂票過程視作馬爾可夫生滅過程和Poisson過程。陳敬光[12]從風(fēng)險(xiǎn)偏好的角度展開研究。ALAVI等[13]將最大化市場份額為超售策略的優(yōu)化目標(biāo)，采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。鐵路行業(yè)超售問題的研究尚處于起步階段。郭頌章[14]給出了最佳超售數(shù)量的簡易近似算法。田志強(qiáng)等[15]綜合考慮了列車開行的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益，建立客運(yùn)專線超售模型，并采用數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證。單杏花[16]介紹了鐵路超售的條件，給出鐵路始發(fā)站超售控制模型，但未涉及具體的求解方法。潘躍等[17]用簡單算例驗(yàn)證了超售的必要性和現(xiàn)實(shí)意義。結(jié)合上述分析可知，目前國內(nèi)鐵路行業(yè)的超售研究較少，且未提出較好的優(yōu)化模型和求解算法。由于鐵路與航空在運(yùn)營上的巨大差別，航空領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)并不能直接應(yīng)用于鐵路領(lǐng)域，因此需要探索適合我國鐵路發(fā)展的超售策略。在酒店、航空和鐵路等領(lǐng)域中的收益管理和超售問題的研究中，通常采用show[4](或者show-up[12])和no-show來描述服務(wù)對象在預(yù)定后是否按計(jì)劃入住或者乘車的狀態(tài)。對于已購票的高鐵列車客流，可分為旅客按時(shí)成功出行的乘車狀態(tài)，以及旅客因主觀原因放棄乘車或者因主客觀原因錯(cuò)過列車的棄乘狀態(tài)，分別對應(yīng)一般超售問題的show和no-show狀態(tài)。本文在不涉及超售的具體管理措施的條件下，對高鐵列車超售優(yōu)化問題及超售策略的效果進(jìn)行研究。以某一乘車OD的全部客票作為銷售對象，按列車能力的一定比例作為超售票額銷售，從鐵路收益最大和社會(huì)聲譽(yù)的雙重角度出發(fā)，以期望凈收益最大為目標(biāo)，將被拒載旅客的概率限定在一定范圍內(nèi)，提出考慮旅客棄乘行為隨機(jī)性的非線性整數(shù)隨機(jī)規(guī)劃超售模型，并采用遺傳算法求解。

1 高鐵列車超售問題分析

1.1 問題假設(shè)

為研究高鐵列車超售策略的規(guī)律，作如下假設(shè)。

1) 將不同席位種類的客票超售視作是可獨(dú)立優(yōu)化的問題，為此僅考慮單一席位種類下的超售問題。本文以高鐵列車席位比例最大的二等座作為研究對象。

2) 旅客訂票后只有乘車和棄乘2種狀態(tài)。考慮到鐵路當(dāng)前客票銷售政策，對棄乘旅客按照一定的退票費(fèi)率收取退票費(fèi)用。

3) 為簡化起見，本文僅研究一定客票價(jià)格下的超售數(shù)量優(yōu)化問題，未考慮其他收益管理手段的影響。同時(shí)，由于列車開行后大部分運(yùn)營成本已經(jīng)發(fā)生，因此可將其視作是常數(shù)，認(rèn)為其與客流數(shù)量的變化無關(guān)，在優(yōu)化問題中不予考慮。

4) 由于客運(yùn)交通企業(yè)運(yùn)營一般受到嚴(yán)格的監(jiān)管，因此可認(rèn)為決策者是風(fēng)險(xiǎn)中性的。

1.2 高鐵列車超售問題描述

對所研究的乘車OD，列車能力為c，客票價(jià)格為f。在客票銷售過程中，實(shí)際售票數(shù)量為m。在超售情況下，一般有m＞c。已購票旅客中，因旅客自身原因放棄乘車的旅客數(shù)量，即棄乘人數(shù)為n，這些旅客可按照退票費(fèi)率γ進(jìn)行退票。

旅客棄乘受到很多不可控因素的影響，如行程改變和市內(nèi)交通延誤等，具有隨機(jī)性。一位旅客在購票后只有乘車和棄乘2種狀態(tài)，乘車和棄乘的概率服從二項(xiàng)分布。基于客流出行數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，設(shè)每位旅客棄乘的概率為p，乘車的概率則為1-p。則n名旅客棄乘的概率pn可以表示為：

由于高鐵列車能力較大，即使考慮一定的上座率，m仍然很大，而且p很小，可以用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布。此時(shí)n名旅客棄乘的概率函數(shù)近似等于強(qiáng)度為參數(shù)λ=mp的泊松分布，因此pn也可以表示為：

采用超售策略后，除了客票銷售收益和退票收益外，也可能會(huì)帶來拒載風(fēng)險(xiǎn)和空座風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)m-n＞c時(shí)，由于列車能力數(shù)量不能滿足實(shí)際乘車旅客需要，就會(huì)產(chǎn)生拒載風(fēng)險(xiǎn)，拒載一名旅客的鐵路賠償成本為d(單位拒載成本)；反之，就會(huì)產(chǎn)生空座風(fēng)險(xiǎn)。

拒載風(fēng)險(xiǎn)和空座風(fēng)險(xiǎn)受超售數(shù)量和棄乘旅客數(shù)量的共同影響。過多的超售數(shù)量會(huì)給鐵路的社會(huì)聲譽(yù)帶來負(fù)面影響，也會(huì)給旅客的出行帶來不便。因此，鐵路企業(yè)為了維護(hù)其社會(huì)聲譽(yù)和企業(yè)形象等方面的原因，也要盡可能避免拒載現(xiàn)象的發(fā)生，需要對拒載概率pd進(jìn)行控制，如將拒載現(xiàn)象的發(fā)生概率控制在某一個(gè)較小值α以內(nèi)，稱α為最大拒載概率。

超售策略所產(chǎn)生的各項(xiàng)收益和風(fēng)險(xiǎn)損失情況如圖1所示。

2 高鐵列車超售策略的隨機(jī)規(guī)劃

基于圖1中m，c和n之間的關(guān)系，客票超售后，高鐵列車的運(yùn)營凈收益如下：

《中華人民共和國城鎮(zhèn)土地使用稅暫行條例》[10]中明確規(guī)定：直接用于農(nóng)、林、牧、漁業(yè)的生產(chǎn)用地免繳土地使用稅。

由于棄乘人數(shù)是一個(gè)呈泊松分布的隨機(jī)變量，因此可用期望凈收益來表示超售策略下的運(yùn)營凈收益。

當(dāng)n＜m-c時(shí)，會(huì)發(fā)生拒載現(xiàn)象，拒載概率pd可按下式計(jì)算：

在實(shí)際售票過程中，超售數(shù)量不能無限增加，行業(yè)監(jiān)管部門也會(huì)對超售數(shù)量予以限制。本文采用最大超售率β(超售票額占列車能力c的最高比值)作為超售數(shù)量的限制條件。

綜上，基于最大拒載概率約束和最大超售率約束，以期望凈收益最大為目標(biāo)，可建立高鐵列車超售數(shù)量優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型如下：

其中，式(6)是目標(biāo)函數(shù)，式(7)是最大拒載概率約束，式(8)是最大超售率約束，式(9)是變量的整數(shù)約束；實(shí)際售票數(shù)量m是優(yōu)化模型的決策變量，其對應(yīng)的超售票額為m-c。

該模型是一個(gè)基于隨機(jī)規(guī)劃的非線性整數(shù)規(guī)劃模型，約束條件和目標(biāo)函數(shù)與隨機(jī)變量p有關(guān)，直接求解其解析解很難獲得。因此，本文采用具有全局尋優(yōu)能力、高效實(shí)用的遺傳算法求解。為方便運(yùn)算，本文通過調(diào)用現(xiàn)有MATLAB遺傳算法工具箱中g(shù)a函數(shù)進(jìn)行求解。

3 客票超售策略分析

以廣州南至深圳北G6205次列車為例，在其票額全部分配給廣州南至深圳北乘車OD的條件下，優(yōu)化確定其超售數(shù)量。該列車的列車能力和客票價(jià)格等參數(shù)如表1所示。

表1 算例參數(shù)取值Table 1 Parameter value in numerical instance

在實(shí)際客票銷售過程中，超售數(shù)量一般控制在列車能力的5%～15%。因此本文取最大超售率β=0.15。實(shí)際售票數(shù)量m的取值范圍為[0，c(1+β)]，遺傳算法中每個(gè)個(gè)體m采用二進(jìn)制編碼，采用長度為10的位串表示基因，即從“0 000 000 000”到“1 010 010 110”，對應(yīng)整數(shù)區(qū)間[0，c(1+β)=662]。將目標(biāo)函數(shù)作為個(gè)體適應(yīng)度值。遺傳算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模為20，交叉概率為0.8，變異概率為0.08，最大迭代次數(shù)為60。

在不采取超售策略即m=c時(shí)，期望凈收益為41 088元。在采取超售策略時(shí)，采用遺傳算法求解，通過MATLAB計(jì)算可得實(shí)際售票數(shù)量為597，超售數(shù)量為21張，此時(shí)，期望凈收益為42 559元。圖2為期望凈收益在優(yōu)化過程的變化情況，證明該算法具有較快的收斂速度和較為準(zhǔn)確的結(jié)果。實(shí)施超售策略后，該乘車OD的期望凈收益增加了1 417元，提高3.58%。假定每日收益多增加1 417元，鐵路部門的總收益一年可增加517 205元。

對模型和算法中的重要參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，分別研究棄乘概率p，最大拒載概率α，最大超售率β和單位拒載成本d對實(shí)際售票數(shù)量m和期望凈收益E的影響。

3.1 棄乘概率p

令p由0.01增加至0.2，分析期望凈收益E和實(shí)際售票數(shù)量m的變化情況。從圖3中可以看出，隨著p的增大，為彌補(bǔ)逐漸增加的空座損失，超售數(shù)量不斷增加，旅客被拒載的概率也在增大，對期望凈收益產(chǎn)生負(fù)面影響，但由于棄乘旅客會(huì)帶來退票收益，因此在能夠彌補(bǔ)空座損失的條件下期望凈收益整體上呈現(xiàn)波動(dòng)上升的趨勢，當(dāng)p=0.15時(shí)，期望凈收益獲得最大值。此后，受到最大超售率的限制，實(shí)際售票數(shù)量達(dá)到最大值662后不再增加，棄乘人數(shù)繼續(xù)增加所帶來的空座損失無法被彌補(bǔ)，期望凈收益急劇下降。

3.2 最大拒載概率α和最大超售率β

圖4(a)為α由0.01增加至0.3時(shí)期望凈收益E和實(shí)際售票數(shù)量m的變化情況，α的增大意味著允許更多的旅客被拒載。隨著α的增加，實(shí)際售票數(shù)量和期望凈收益相應(yīng)增加，但在一定棄乘概率條件下，超售數(shù)量過多會(huì)造成高昂的拒載損失，因此期望凈收益和實(shí)際售票數(shù)量不會(huì)無限制地增加，當(dāng)α＞0.21后，實(shí)際售票數(shù)量和期望凈收益都不再變化。圖4(b)為β由0.01增加至0.2時(shí)期望凈收益E和實(shí)際售票數(shù)量m的變化情況，β的增大意味著允許售出更多的車票。隨著β的增加，實(shí)際售票數(shù)量和期望凈收益都有所上升。但超售率越高，鐵路需承擔(dān)的拒載成本越大，因此β繼續(xù)增加時(shí)，實(shí)際售票數(shù)量和期望凈收益都不再變化。從圖4可以看出，控制α與β會(huì)對期望凈收益和超售數(shù)量起到相似的影響作用。

3.3 單位拒載成本d

令d由票價(jià)的1倍增加至5倍，分析期望凈收益E和實(shí)際售票數(shù)量m的變化情況。本文討論2種情況。情形1：拒載數(shù)量受到約束(7)中最大拒載概率α的限制；情形2：松弛掉約束(7)，對拒載數(shù)量不加以限制。

情形1和情形2中E和m的變化情況分別如圖5(a)和5(b)所示。從圖5(a)可以看出，隨著d的增加，期望凈收益越來越低，超售數(shù)量并未發(fā)生明顯變化。這是因?yàn)楫?dāng)d較低，受到α和β的限制，不允許實(shí)際售票數(shù)量過多，以避免造成過多的旅客被拒載，當(dāng)d過高時(shí)，為降低拒載賠償成本，實(shí)際售票數(shù)量也不會(huì)增加。因此，最優(yōu)實(shí)際售票數(shù)量始終保持597張，這也與圖4中α=0.05和β=0.15時(shí)實(shí)際售票數(shù)量為597張一致。從圖5(b)可以看出，由于松弛了α的限制，被拒載數(shù)量不再受到限制，在滿足超售率的條件下，實(shí)際超售數(shù)量的多少由期望凈收益驅(qū)動(dòng)。隨著d的增加，期望凈收益和實(shí)際售票數(shù)量逐漸減小。d越低，超售產(chǎn)生的拒載損失越小，因此，實(shí)際售票數(shù)量越多，所獲得的期望凈收益越大。

4 結(jié)論

1) 合理的超售數(shù)量可以有效提高鐵路收益，對給定算例列車收益提高約3.58%；

2) 隨著旅客棄乘概率的加大，超售收益呈先升后降趨勢，棄乘概率較大時(shí)采取超售策略會(huì)面臨著較大的拒載風(fēng)險(xiǎn)；

3) 作為2種超售策略的控制條件，最大拒載概率和最大超售率對超售凈收益和超售數(shù)量起到相似的影響作用；

4) 若加大企業(yè)對拒載旅客的補(bǔ)償，會(huì)使超售策略面臨較大的風(fēng)險(xiǎn)，超售數(shù)量和超售凈收益均會(huì)呈下降趨勢。

為研究高鐵列車超售效果和超售策略規(guī)律，本文對問題進(jìn)行了較大簡化，針對單列車單OD的超售問題展開研究。后續(xù)研究還可對多列車情形下和多收益管理手段融合條件下的超售問題和高鐵網(wǎng)絡(luò)多OD競爭列車能力情況下的超售問題以及基于嚴(yán)格監(jiān)管約束下運(yùn)營風(fēng)險(xiǎn)偏好的高鐵列車超售問題進(jìn)行進(jìn)一步的探索。