盧洪健，王卓然

(水利部信息中心，北京 100053)

0 引言

地下水約占地球液態(tài)淡水總量的99%，其蹤跡幾乎遍及全球，具有巨大的社會、經(jīng)濟(jì)和環(huán)境效益。目前世界上一半的居民生活用水來源于地下水，約有25%的農(nóng)業(yè)灌溉來源于地下水開采[1]。盡管地下水如此重要，人們卻對它普遍缺乏認(rèn)識，導(dǎo)致地下水的價值被嚴(yán)重低估。近半個世紀(jì)以來，人類長期過度開采，加之氣候變化的影響，導(dǎo)致當(dāng)前世界有超過一半的地下含水系統(tǒng)處于超采狀態(tài)，有些國家的地下水水位正在以十分危險的速度下降。地下水超采不僅嚴(yán)重威脅飲用水安全和依靠地下水灌溉農(nóng)產(chǎn)區(qū)的糧食產(chǎn)量，而且會導(dǎo)致污染加劇、生態(tài)支撐能力下降及地面沉降等生態(tài)環(huán)境問題[2]。因此，準(zhǔn)確的地下水模擬是地下水資源精細(xì)化管理與決策的重要支撐。

地下水系統(tǒng)由地下水含水系統(tǒng)和地下水流動系統(tǒng)組成，由于其一般不可見、受多種補(bǔ)排條件綜合作用、受地質(zhì)條件影響等特殊性，對地下水系統(tǒng)的研究遠(yuǎn)比地表水系統(tǒng)困難。自20世紀(jì)60年代以來，數(shù)值模擬開始應(yīng)用于地下水計算中，地下水?dāng)?shù)值模擬的理論與方法得到了長足的發(fā)展[3-4]。準(zhǔn)確的地下水過程模擬結(jié)果不僅可以用于地下水污染評估、地下水最優(yōu)管理，還能為解決地下水資源開采安全性等問題提出決策支持。本文闡述了地下水模擬過程的理論基礎(chǔ)，介紹了地下水?dāng)?shù)值模擬主要求解方法，比較了當(dāng)前主流地下水模擬軟件及其在我國的應(yīng)用情況。

1 地下水模擬

地下水模擬是采用地下水?dāng)?shù)學(xué)模型，通過將概念模型轉(zhuǎn)化為控制方程的形式，在特定的邊界和初始條件下，用來模擬和描述真實世界的地下水流運動，并可以通過執(zhí)行計算機(jī)程序來求解[5]。地下水模擬模型是一種非均勻模型，通過近似調(diào)查的地下水系統(tǒng)，采取簡化假設(shè)，例如均勻性、各向同性、流動方向、含水層幾何結(jié)構(gòu)、污染物運移機(jī)制等[6]。模型的性能和效率取決于數(shù)學(xué)方程對被建模物理系統(tǒng)的近似程度，模型精度則取決于對地下水系統(tǒng)的概化和理解程度，以及數(shù)學(xué)方程推導(dǎo)過程中的假設(shè)[7]。

地下含水層建模過程一般包括以下步驟[8]：(1)確定表征含水層物理結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)條件的參數(shù)；(2)利用特定點的現(xiàn)場資料估算水文地質(zhì)參數(shù)；(3)利用插值/外推方法估計參數(shù)的空間分布；(4)利用所有估計參數(shù)和現(xiàn)場數(shù)據(jù)構(gòu)建概念模型；(5)利用地下水流動方程表達(dá)系統(tǒng)條件，建立描述概念模型的數(shù)學(xué)模型；(6)將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)值模型，以確定含水層響應(yīng)，包括水頭或污染物濃度；(7)利用數(shù)值法對生成的模型進(jìn)行求解；(8)通過敏感性分析，確定校正模型時需要調(diào)整的關(guān)鍵模型系數(shù)；(9)利用可獲取的現(xiàn)場數(shù)據(jù)，對模型進(jìn)行校準(zhǔn)，以更準(zhǔn)確地預(yù)測地下水系統(tǒng)的變化；(10)通過驗證模型，消除數(shù)值近似帶來的誤差；(11)采用模型評估既定管理策略對含水層恢復(fù)和地下水系統(tǒng)優(yōu)化利用的影響。

地下水管理通常需要預(yù)測地下水流、地下水位、溶質(zhì)運移和模擬自然或人為應(yīng)力，地下水模擬模型被廣泛用于此類預(yù)測和模擬中，這些模型通常需要解偏微分方程。數(shù)學(xué)模型可以是確定性的、隨機(jī)的(統(tǒng)計的)或兩者的結(jié)合。在隨機(jī)模型中，根據(jù)發(fā)生的概率向模型提供一系列的預(yù)測，可以幫助評估系統(tǒng)的不確定性；確定性模型則是基于已知系統(tǒng)和過程的因果關(guān)系而建立，廣泛用于解決區(qū)域地下水問題，可以分為解析型和數(shù)值型[9]。解析模型利用若干簡化假設(shè)對地下水系統(tǒng)進(jìn)行快速的初步分析，不能用于解決區(qū)域形狀不規(guī)則、區(qū)域異質(zhì)性和復(fù)雜邊界條件的問題。對于這種情況，數(shù)值模型使用計算機(jī)程序來解決更復(fù)雜的問題[10]。

2 地下水?dāng)?shù)值模型求解方法

數(shù)值模型用于求解代表地下水流運動的偏微分方程，并給出近似解，模型的主要特點包括[11]：(1)模型僅在為問題定義的空間和時間域(離散值)中的指定點求解，這些點被視為整個區(qū)域的不連續(xù)狀態(tài)變量；(2)描述地下水流運動的偏微分方程在某些點通過一組數(shù)學(xué)方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)變量的離散值；(3)其解是針對各種模型系數(shù)的一組指定的數(shù)值，而不是這些系數(shù)的一般關(guān)系；(4)使用計算機(jī)程序來求解大量必須同時求解的方程。目前，已發(fā)展出有限差分法(finite-difference method，F(xiàn)DM)、有限元法(finite element method，F(xiàn)EM)、有限體積法(finite volume method，F(xiàn)VM)、邊界元和粒子追蹤等數(shù)值求解方法[12]。

2.1 有限差分法

有限差分法(FDM)是根據(jù)含水層的特征和條件，將差分方程中的偏導(dǎo)數(shù)在小范圍內(nèi)用代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變換，問題域被分割成一系列被稱為節(jié)點的離散點，用一組離散的點替換連續(xù)介質(zhì)，并為每個節(jié)點分配各種水文地質(zhì)參數(shù)。FDM可用于時間和空間離散化，利用定義參數(shù)間時空關(guān)系的差分算子來替換偏導(dǎo)數(shù)，所建立的模型在每個節(jié)點上通過獲取該節(jié)點上一組代數(shù)方程的解來求解，通常會采用一些迭代方法來求解簡化方程[13]。

該方法利用時間步長開始時的初始條件以及時間步長期間發(fā)生的含水層抽水或回灌率來計算時間步長結(jié)束時的未知水頭。因此，在每一個時間步長中需要同時求解大量的方程，這使得該模擬技術(shù)對于需要長期模擬大型含水層的地下水規(guī)劃和管理目標(biāo)來說非常耗時。

FDM的優(yōu)點是易于跟蹤包括復(fù)雜加載路徑和高度非線性行為的復(fù)雜系統(tǒng)，易于理解和編寫程序，因此是求解大型非線性地下水流運動問題的一種經(jīng)濟(jì)方法。然而，對于不規(guī)則幾何域，F(xiàn)DM的使用是困難的。通常來講，具有規(guī)則網(wǎng)格系統(tǒng)的傳統(tǒng)FDM方法存在形狀域不規(guī)則、邊界條件復(fù)雜、材料非均質(zhì)性等缺點[14]。

2.2 有限元法

在有限元法(FEM)中，不規(guī)則形狀區(qū)域可以劃分為一組具有不同尺寸或形狀的單元。為了反映狀態(tài)變量或參數(shù)值的變化，可以更改元素大小。采用直接法、加權(quán)殘值法和變分法等方法對單元的偏微分方程進(jìn)行近似，以獲得一組代數(shù)方程。因變量的分段連續(xù)表示以及地下水系統(tǒng)的參數(shù)(可能)可以提高數(shù)值近似的精度。對于許多地下水問題，有限元法優(yōu)于經(jīng)典的有限差分模型。具有不規(guī)則形狀區(qū)域、復(fù)雜邊界條件和材料非均質(zhì)性的地下水問題可以使用有限元建模，而FDM意味著復(fù)雜的插值格式來逼近復(fù)雜的邊界條件[15]。

將問題域劃分為若干非重疊單元，作為有限元法求解地下水流動或溶質(zhì)運移問題的第一步。將問題域替換為一系列節(jié)點和離散單元或有限元網(wǎng)格，這些元素通過將兩個或多個節(jié)點連接在一起。然后，為每個節(jié)點分配一個節(jié)點號，為每個元素分配一個元素號，元素可以具有任意大小的一維、二維或三維，在每個要素中，應(yīng)規(guī)定地下水流動特征。利用地下水流動和溶質(zhì)運移過程的知識繪制網(wǎng)格是一種有助于以合理的計算負(fù)擔(dān)和可接受的精度獲得地下水系統(tǒng)解的方法。這可以通過流動或運輸過程可視化和流網(wǎng)來實現(xiàn)?？梢允褂貌煌挠邢拊W(wǎng)格類型進(jìn)行建模，結(jié)果可能相似。因此，建模時沒有唯一的網(wǎng)格類型和大小選擇。

與粗網(wǎng)格相比，使用細(xì)網(wǎng)格進(jìn)行有限元建?？梢缘玫礁_的解，從而導(dǎo)致精度較低。精細(xì)網(wǎng)格有更多的節(jié)點，需要更多的計算工作來獲得解決方案，因此，它是計算負(fù)擔(dān)和建模精度之間的權(quán)衡。網(wǎng)格大小可以通過使用更細(xì)的網(wǎng)格重復(fù)計算來確定，并查看結(jié)果的變化有多大。在建模的第一次重復(fù)中，可以使用幾個節(jié)點生成粗略的有限元網(wǎng)格。因此，只需很少的計算工作就可以導(dǎo)出一個解。在重復(fù)建模過程中，可以準(zhǔn)備更精細(xì)的有限元網(wǎng)格，這需要更多的計算工作，并導(dǎo)致更精確的解決方案。

2.3 有限體積法

在有限體積法(FVM)中，通過將計算函數(shù)劃分為控制體積，并將加權(quán)函數(shù)設(shè)置為統(tǒng)一于控制體積，生成了許多加權(quán)殘差方程。在控制體積中，殘差的積分必須等于零。問題域被劃分為多個控制卷，沒有重疊。將微分方程積分到圍繞每個網(wǎng)格點的一個控制體積上。分段連續(xù)性表示網(wǎng)格點之間的變化，用于計算積分。結(jié)果是包含一組網(wǎng)格點的離散化方程。在離散化方程中得到了有限控制體積的守恒原理。質(zhì)量、動量和能量等量的積分守恒在任何控制體積組和整個問題域上都是完全滿足的。對于任意數(shù)量的網(wǎng)格點，即使是粗略的網(wǎng)格解也能顯示出精確的積分平衡。在FVM中，不需要結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，變量位于體積內(nèi)，因此可以無創(chuàng)地應(yīng)用邊界條件[16]。

在FDM中，偏微分方程中的一階導(dǎo)數(shù)由相鄰節(jié)點的自變量值之間的差來近似，考慮節(jié)點之間的距離，并考慮兩個連續(xù)時間的時間步長增量的持續(xù)時間。在FEM中，因變量和參數(shù)的函數(shù)用于評估偏微分方程(PDE)的等效積分公式。雖然每種方法都有一些優(yōu)點和缺點，但由于概念和數(shù)學(xué)上的簡單性，F(xiàn)DM通常更容易編程。在上述方法中，有兩種求解偏微分方程的方法來獲得因變量的網(wǎng)格點值。FEM中使用的一種方法是，頭部變量由網(wǎng)格點值組成，形狀函數(shù)用于網(wǎng)格點之間的插值。另一方面，在FDM中使用，忽略網(wǎng)格之間的水頭變化，方程式包括水頭的網(wǎng)格點值。

FDM在不規(guī)則含水層邊界和含水層內(nèi)區(qū)域參數(shù)的緊密空間近似方面具有靈活性。然而，與常規(guī)矩形有限差分網(wǎng)格相比，不規(guī)則有限元網(wǎng)格的網(wǎng)格生成、輸入數(shù)據(jù)集的規(guī)格說明和構(gòu)造要困難得多。FVM是一種將偏微分方程表示為代數(shù)方程并進(jìn)行計算的方法。與FDM類似，在網(wǎng)格幾何體上的離散位置計算值。與FDM相比，F(xiàn)VM的一個優(yōu)點是它不需要結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，在粗非均勻網(wǎng)格和網(wǎng)格移動以跟蹤界面或沖擊的計算中尤其強(qiáng)大。

3 地下水模擬軟件及應(yīng)用

3.1 常用地下水模擬軟件

MODFLOW(Modular Three-dimensional Finite Difference Groundwater Flow Model)是是由美國地質(zhì)調(diào)查局于20世紀(jì)80年代開發(fā)出來的三維地下水流數(shù)值模擬模型[17]。該軟件以有限差分法為基本原理，即在不考慮水的密度變化條件下，孔隙介質(zhì)中地下水在三維空間的流 動可以偏微分方程來表示。通過模擬不規(guī)則形狀水流系統(tǒng)中的定常和非定常流，其中含水層可以是承壓、非承壓或承壓和非承壓的組合，可以模擬來自外部應(yīng)力的流量，例如流入井、地表補(bǔ)給、蒸散、流入排水溝和流經(jīng)河床的流量。該軟件可以模擬特定的水頭和通量邊界，還能夠模擬穿過模型外邊界的水頭相關(guān)流量，從而允許以與模型區(qū)域外水源和邊界塊之間的當(dāng)前水頭差成比例的速率向模型區(qū)域內(nèi)的邊界塊供水。除了模擬地下水流動外，MODFLOW的應(yīng)用范圍已經(jīng)擴(kuò)展到溶質(zhì)運移和參數(shù)估計等功能。

在MODFLOW 軟件基礎(chǔ)上，加拿大Waterloo Hydrogeologic Inc.應(yīng)用現(xiàn)代可視化技術(shù)開發(fā)研制出Visual MODFLOW，于1994年8月首次在國際上公開發(fā)行。Visual MODFLOW 以其求解方法的簡單實用、適應(yīng)范圍的廣泛及可視化功能的強(qiáng)大正成為最有影響的地下水模擬平臺環(huán)境。然而實踐也證明，對于復(fù)雜的地質(zhì)條件、不飽和流動、密度變化的流動( 海水入侵)、熱對流等棘手的問題，Visual MODFLOW 往往并不適合。

基于有限元法的FEFLOW (Finite element subsurface FLOW system ) 軟件由德國WASY 水資源規(guī)劃和系統(tǒng)研究所于1979年開發(fā)出來[18]。FEFLOW是現(xiàn)有的功能最齊全最復(fù)雜的地下水模擬軟件包之一，用于模擬多孔介質(zhì)中飽和及非飽和地下水流與污染物的運移。FEFLOW軟件具有圖形人機(jī)對話、地理信息系統(tǒng)數(shù)據(jù)接口、自動產(chǎn)生空間各種有限元網(wǎng)格、空間參數(shù)區(qū)域化及快速精確的數(shù)值算法和先進(jìn)的圖形視覺化技術(shù)等特點。由于它是為滿足專 門從事復(fù)雜地下水模擬工程的專家對技術(shù)的要求而設(shè)計的，對含水層分層、單元剖分、離散 點插值、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換、邊界條件賦值、河流邊界、含水層均衡項等高效處理的特點，使其適宜 于大區(qū)域地下水流模擬。

表1 國際主流地下水模擬軟件

地下水模擬系統(tǒng)( Groundwater Modeling System) , 簡稱GMS, 是美國Brigham Young University的環(huán)境模型研究實驗室和美國軍隊排水工程試驗工作站在綜合MODFLOW 、 FEMWATER、MT3DMS、RT3D 、SEAM3D、MODPATH、SEEP2D、NUFT、UTCHEM 等已有地下水模型的基礎(chǔ)上，開發(fā)的一個綜合性、用于地下水模擬的圖形界面軟件。其圖形界面由下拉菜單、編輯條、常用模塊、工具欄、快捷鍵和幫助條6 部分組成，使用起來非常便捷。由于GMS 軟件具有良好的使用界面，強(qiáng)大的前處理、后處理功能及優(yōu)良的三維可視效果, 目前已成為國際上最受歡迎的地下水模擬軟件。此外，加拿大Waterloo Hydrogeologic Inc.還開發(fā)了Visual Groundwater、HydroGeo- Analyst、WHIUnSat Suite，丹麥水利研究所開發(fā)了MIKE系列模型[19]，當(dāng)前國際上主流地下水模擬軟件功能及特點詳見表1。

3.2 我國地下水模擬軟件開發(fā)與應(yīng)用

我國地下水模擬模型研制和軟件開發(fā)起步相對較晚，20世紀(jì)70年代初，國內(nèi)高校和科研院所開展地下水?dāng)?shù)值模擬研究，應(yīng)用計算機(jī)語言，如Fortran、Algol等編寫一些計算程序，基本為內(nèi)部使用，未公開推廣應(yīng)用。林學(xué)鈺等[20]開展了承壓含水層中二維溶質(zhì)運移和彌散的微機(jī)模擬(有限單元法)研究；薛禹群等[21]研制了地下水污染模型，并耦合海水入侵、大區(qū)域地面沉降模塊；武強(qiáng)等[22]開展了河水與地下水耦合模型，地表水、地下水和土壤水之間的水力耦合模型研究；陳崇希等[23]開發(fā)了基于多邊形網(wǎng)格的三維地下水流有限差分模擬系統(tǒng)PGMS；陸垂裕等[24]開發(fā)了基于流域/區(qū)域長時間尺度水量平衡分析的分布式水文模型，具有較強(qiáng)的物理基礎(chǔ)，可詳細(xì)模擬大氣水、土壤水、地表水和地下水之間復(fù)雜的“四水轉(zhuǎn)化”過程，上述研究為我國地下水模型研究奠定了堅實基礎(chǔ)。此外，國內(nèi)很多學(xué)者采用國外主流地下水模型，或進(jìn)行二次開發(fā)，針對我國地下水超采最為嚴(yán)重的華北平原和水資源極度短缺的西北內(nèi)陸干旱區(qū)，開展了大量的地下水模擬模型應(yīng)用研究，為地下水決策管理發(fā)揮了重要的基礎(chǔ)支撐。

4 問題與展望

近幾十年來，我國在地下水模擬及應(yīng)用上取得很多成果，解決了很多國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中急需解決的各類地下水問題，但理論成果和原始創(chuàng)新相對較少；目前地下水模擬新技術(shù)、新方法的開發(fā)主要由歐美發(fā)達(dá)國家主導(dǎo)，我國的地下水通用模型研制及軟件開發(fā)還相對落后。2021年10月21日第748號國務(wù)院令公布《地下水管理條例》，自2021年12月1日起施行，標(biāo)志著我國地下水管理正式步入法治時代，這對我國地下水模擬模型和應(yīng)用軟件的支撐能力要求也越來越高。因此，在水利高質(zhì)量發(fā)展的新階段，為進(jìn)一步支撐地下水“評價-規(guī)劃-管理-保護(hù)”各環(huán)節(jié)，支撐地下水“預(yù)報-預(yù)警-預(yù)演-預(yù)案”功能建設(shè)，支撐地下水超采治理水量-水位效果聯(lián)合評價等，十分必要建立全國通用地下水模型。

全國通用地下水模型建設(shè)必須有自主研發(fā)的核心計算模型，模型需適應(yīng)我國大多數(shù)地區(qū)地下水模擬，可以地下水量、地下水位模擬為主，兼顧溶質(zhì)運移、海水入侵、地面沉降、多相介質(zhì)流動、水-熱耦合模擬、水生態(tài)模擬等管理應(yīng)用需求，模型應(yīng)經(jīng)受實際工程檢驗，保證計算結(jié)果穩(wěn)定可靠，同時應(yīng)公開源代碼和設(shè)計接口，以便后續(xù)改進(jìn)完善。