謝玲玲，寧康智，秦 龍

(廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，廣西 南寧 530000)

1 引言

在電力電子變換器電路中，電容和電感是重要的電子器件。近年來對電感電容的研究表明：實(shí)際電感電容的本質(zhì)是分?jǐn)?shù)階的，整數(shù)階電感電容只是理論上存在。因此，對電感和電容建立整數(shù)階微積分模型不能準(zhǔn)確地反映元件本質(zhì)，如果使用整數(shù)階模型來分析系統(tǒng)，可能得出錯誤的結(jié)論。建立電感和電容分?jǐn)?shù)階模型更能反映其動力學(xué)特性[1-2]。因此，建立變換器的分?jǐn)?shù)階微積分模型有助于提高模型的精度，為變換器的優(yōu)化控制提供理論依據(jù)。

目前，國內(nèi)外研究學(xué)者已將分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用在Buck、Boost、Buck-Boost等低階變換器的建模研究中[3-11]。文獻(xiàn)[3-5]運(yùn)用狀態(tài)平均法對Buck變換器進(jìn)行分?jǐn)?shù)階建模與分析。文獻(xiàn)[6-8]采用分?jǐn)?shù)階微積分理論分別建立了工作在電感電流連續(xù)模式(Continuous Conduction Mode，CCM)、電感電流斷續(xù)模式(Discontinuous Conduction Mode，DCM)、電感電流偽連續(xù)模式(Pseudo Continuous Conduction Mode，PCCM)下Boost變換器分?jǐn)?shù)階模型。文獻(xiàn)[9-11]以Buck-Boost變換器為研究對象，分別建立了工作在CCM、DCM、PCCM下的分?jǐn)?shù)階模型并驗(yàn)證了理論分析的正確性。文獻(xiàn)[12]提出用分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器對分?jǐn)?shù)階Buck變換器進(jìn)行控制的方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法可以提高系統(tǒng)的綜合控制性能。目前，國內(nèi)外研究學(xué)者對分?jǐn)?shù)階變換器的建模研究都是以低階變換器為研究對象，對高階變換器，如Cuk、Sepic、Zeta變換器的建模研究還停留在整數(shù)階模型的基礎(chǔ)上。Cuk變換器體積小，輸出電壓穩(wěn)定，電流電壓紋波小，既能升壓，也能降壓的特點(diǎn)，在光伏發(fā)電系統(tǒng)[13]、風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)[14]、電動汽車[15]等領(lǐng)域和行業(yè)中得到更為廣泛的應(yīng)用。因此，對Cuk變換器進(jìn)行更精確的建模分析具有重要理論意義和研究價值。

本文建立了Cuk變換器的四階分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型和分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型。在此基礎(chǔ)上，對變換器進(jìn)行穩(wěn)態(tài)和交流小信號分析。研究結(jié)果表明，Cuk變換器電感電流的紋波、輸出電壓對占空比的傳遞函數(shù)、電流連續(xù)與不連續(xù)的臨界條件與電感、電容的階數(shù)有關(guān)，而直流分量的穩(wěn)態(tài)值與電感、電容的階數(shù)無關(guān)。最后在Matlab/Simulink仿真平臺上建立了Cuk變換器分?jǐn)?shù)階模型，并通過分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階的仿真對比，證明了文中分?jǐn)?shù)階建模和理論分析的正確性，為分?jǐn)?shù)階Cuk變換器的優(yōu)化控制提供理論依據(jù)。

2 Cuk變換器分?jǐn)?shù)階模型

根據(jù)文獻(xiàn)[1]可得，有關(guān)分?jǐn)?shù)階電感電流iL、電容電壓vC的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為

(1)

式中，α、β分別為分?jǐn)?shù)階電感、電容階數(shù)，且0<α<1，0<β<1。

圖1 Cuk變換器電路拓?fù)鋱D

在CCM模式下，Cuk變換器存在以下兩種狀態(tài)方程。

模態(tài)1(0

(2)

模態(tài)2(dT

(3)

3 Cuk變換器分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型

本文采用分?jǐn)?shù)階Caputo微積分定義建立Cuk變換器的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型。

分?jǐn)?shù)階積分定義[16]為

(4)

分?jǐn)?shù)階微分定義[16]為

(5)

式中，n∈Z+，且n-1<α

根據(jù)分?jǐn)?shù)階Caputo微積分性質(zhì)可知，對任意常數(shù)C的求導(dǎo)是有界的，即

(6)

3.1 分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型

對式(2)、(3)在一個開關(guān)周期T內(nèi)求平均，根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)和狀態(tài)平均建模法[17]，推導(dǎo)出CCM下的Cuk變換器分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型。如下所示

(7)

(8)

把式(8)代入式(7)，可以寫成以下形式

(9)

3.2 DC電路模型

由于交流分量遠(yuǎn)小于直流分量，所以可忽略式(9)中的高階交流小分量并分離出其中的直流分量得穩(wěn)態(tài)模型為

(10)

根據(jù)式(6)，可知對任意常數(shù)C的求導(dǎo)等于零。則Cuk變換器分?jǐn)?shù)階電感電流和分?jǐn)?shù)階電容電壓的穩(wěn)態(tài)值，由式(10)求得

(11)

由式(11)可得

(12)

其中，M為CCM下分?jǐn)?shù)階Cuk變換器的電壓增益。因此，電壓增益M只與占空比D有關(guān)。

當(dāng)D<0.5時，M<1，此時Vo

當(dāng)D=0.5時，M=1，此時Vo=Vin；

當(dāng)D>0.5時，M>1，此時Vo>Vin為升壓式。

(13)

其中，Г(·)為Gamma函數(shù)[16]。

由式(13)可知，電流紋波ΔIL1與Vin、D、T及其階數(shù)α1和電感值L1有關(guān)；電流紋波ΔIL2與VC1、VC2、D、T及其階數(shù)α2和電感值L2有關(guān)。

把式(11)中VC1、VC2的穩(wěn)態(tài)值表達(dá)式代入式(13)，并取α1=α2可得分?jǐn)?shù)階電感的電流紋波ΔIL1=ΔIL2。且當(dāng)α1=α2=1時，即為用整數(shù)階理論描述的電感電流紋波[18]。

根據(jù)式(11)和式(13)，可以分別計算出分?jǐn)?shù)階電感的電流峰值和谷值的表達(dá)式為

(14)

Cuk變換器的電流連續(xù)特指二極管D和開關(guān)管S的電流連續(xù)。要保證Cuk變換器運(yùn)行在CCM下，就要滿足二極管D、開關(guān)管S的電流之和大于零的參數(shù)條件，則有

(15)

把式(11)和式(13)代入不等式條件(15)中，可以簡化成以下形式

(16)

由式(16)可知，分?jǐn)?shù)階Cuk變換器電流連續(xù)與不連續(xù)的臨界條件，不僅與電阻R、開關(guān)周期T、占空比D、電感值L1和L2有關(guān)，還與其階數(shù)α1和α2有關(guān)。且當(dāng)階數(shù)都為1時，即為用整數(shù)階理論描述的電流連續(xù)與不連續(xù)的臨界條件[18]。

3.3 交流小信號模型

忽略式(9)中的高階交流小分量并分離出其中的交流分量得交流小信號等效模型為

(17)

根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階微積分的Laplace變換，式(17)可變換為

(18)

(19)

其中，b1=VC1/(L2C2)，b2=D(IL1+IL2)/(L2C1C2)，b3=(1-D)VC1/(L1L2C1C2)，a1=1/(RC2)，a2=1/(L2C2)，a3=D2/(L2C1)，a4=(1-D)2/(L1C1)，a5=D2/(RL2C1C2)，a6=(1-D)2/(RL1C1C2)，a7=(1-D)2/(L1L2C1C2)。

4 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)以上分析過程和改進(jìn)的Oustaloup濾波器分?jǐn)?shù)階微積分算法[19]，在Matlab/Simulink仿真平臺上建立Cuk變換器分?jǐn)?shù)階模型驗(yàn)證以上分析的正確性，分別如圖2和圖3所示。其中，圖2是由分?jǐn)?shù)階Cuk變換器在CCM下兩種工作模態(tài)的方程建立的，圖3是基于Cuk變換器的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型建立的。此外，圖2和圖3中的Fractional Int s＾{-α}模塊是分?jǐn)?shù)階積分單元，是根據(jù)改進(jìn)的Oustaloup濾波器分?jǐn)?shù)階微積分算法在Matlab/Simulink中進(jìn)行編程和封裝后得出，圖4為Fractional Int s＾{-α}模塊的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。此單元中包含有濾波器階數(shù)、仿真頻率下限和上限這三個參數(shù)。為達(dá)到較好的仿真效果需要選擇合適的階數(shù)N和擬合頻率段(wb，wh)。

圖2 Cuk變換器分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型

圖3 Cuk變換器分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型模型

圖4 分?jǐn)?shù)階積分單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)

為了驗(yàn)證文中理論分析和所建分?jǐn)?shù)階模型的正確性，選取電路參數(shù)為vin=24V，d=0.4，L1=L2=5mH，C1=C2=100μF，f=100kHZ，則w=6.28×105rad/sec。由于會存在高頻諧波，則擬合頻率上限需要大于w，即wh>6.28×105rad/sec。因此選取wh=1×106rad/sec，wb=1×10-6rad/sec，N=8。

取α1=α2=β1=β2=0.8，根據(jù)式(16)，可得到Cuk變換器在CCM與DCM下的臨界條件R的取值為107.70Ω，即R<107.70Ω才能保證變換器運(yùn)行在CCM下，因此，選取R=50Ω。仿真結(jié)果如圖5所示。

當(dāng)α1=α2=β1=β2=0.8時，可由式(11-14)計算出分?jǐn)?shù)階Cuk變換器相應(yīng)的參數(shù)值，并根據(jù)圖5可得相應(yīng)的仿真參數(shù)，理論計算值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

圖5 分?jǐn)?shù)階模型的仿真波形

表1 α1=α2=β1=β2=0.8時電路參數(shù)值

由表1可知，由式(11)計算得到的Cuk變換器分?jǐn)?shù)階電感電流和分?jǐn)?shù)階電容電壓穩(wěn)態(tài)值IL1=0.2133A、IL2=0.32A、VC1=40V、和VC2=16V，由分?jǐn)?shù)階模型仿真可得IL1=0.2162A、IL2=0.3207A、VC1=39.9995V、和VC2=15.9993V；由式(13)計算得出的分?jǐn)?shù)階電感電流紋波ΔIL1=ΔIL2=0.2476A，而由圖5的仿真結(jié)果ΔIL1=0.2490A，ΔIL1=0.2489A；由式(14)可得分?jǐn)?shù)階電感電流的峰值和谷值IL1-max=0.3371A，IL1-min=0.0895A，IL2-max=0.4438A，IL2-min=0.1962A，根據(jù)Cuk變換器分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型仿真結(jié)果可測量出IL1-max=0.3553A，IL1-min=0.1063A，IL2-max=0.4487A，IL2-min=0.1998A。可見，分?jǐn)?shù)階Cuk變換器各項參數(shù)的理論計算值和模型仿真值基本相同，從而證明了對分?jǐn)?shù)階Cuk變換器進(jìn)行的理論分析和建立的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

當(dāng)α1=α2=β1=β2=1時，此時為Cuk變換器整數(shù)階模型，只需把分?jǐn)?shù)階積分模塊替換為整數(shù)階積分模塊(1/s模塊)，其它模塊均相同。根據(jù)式(16)可得到Cuk變換器在CCM與DCM的臨界條件R的取值為1388.89Ω，可見，整數(shù)階臨界條件的負(fù)載取值范圍比分?jǐn)?shù)階的大得多。繼續(xù)選取R=50Ω，其它參數(shù)不變。則仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 整數(shù)階模型的仿真波形

當(dāng)α1=α2=β1=β2=1時，可由式(11-14)計算出分?jǐn)?shù)階Cuk變換器相應(yīng)的參數(shù)值，并根據(jù)圖6可得相應(yīng)的仿真參數(shù)，其中圖d中整數(shù)階狀態(tài)平均模型仿真的數(shù)值為16，與數(shù)學(xué)模型仿真結(jié)果基本相同。理論計算值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 整數(shù)階變換器電路參數(shù)值

由表2可知，由式(11-14)計算得到的整數(shù)階Cuk變換器各參數(shù)：IL1=0.2133A、IL2=0.32A、VC1=40V、VC2=16V、ΔIL1=ΔIL1=0.0192A，IL1-max=0.2229A，IL1-min=0.2037A，IL2-max=0.3296 A，IL2-min=0.3104A；根據(jù)圖6可得相應(yīng)參數(shù)的仿真值：IL1=0.2133A、IL2=0.32A，VC1=40V，VC2≈16V，ΔIL1=ΔIL1=0.0192A，IL1-max=0.2229A，IL1-min=0.2037A，IL2-max=0.3296A，IL2-min=0.3104A。可見，整數(shù)階Cuk變換器各項參數(shù)的理論計算值和模型仿真值基本相同，從而證明了對整數(shù)階Cuk變換器進(jìn)行的理論分析和建立的數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

把分?jǐn)?shù)階模型和整數(shù)階模型得到結(jié)果對比可知：改變電感和電容的階數(shù)對直流分量的穩(wěn)態(tài)值幾乎沒有影響，而電感電流紋波和電感電流峰值和谷值會發(fā)生明顯的變化，特別是電感電流紋波，0.8階變換器的電感電流紋波會比整數(shù)階變換器的大十幾倍?？梢?，由于電感電容本質(zhì)是分?jǐn)?shù)階的，只有建立分?jǐn)?shù)階模型才能準(zhǔn)確描述實(shí)際系統(tǒng)的真實(shí)特性。

圖7為CCM下Cuk變換器分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型和整數(shù)階數(shù)學(xué)模型仿真得到的電容電壓vC1和vC2的開環(huán)響應(yīng)曲線。對比兩種模型的仿真結(jié)果可知，分?jǐn)?shù)階Cuk變換器的上升時間、滯后時間、峰值時間、調(diào)節(jié)時間更快，超調(diào)量更小。因此，如果直接建立整數(shù)階模型而不是分?jǐn)?shù)階模型來描述實(shí)際系統(tǒng)的動態(tài)特性，則所得結(jié)果將可能是錯誤的。對變換器在以后的實(shí)際應(yīng)用設(shè)計提供理論依據(jù)。

圖7 電容電壓vC1和vC2的開環(huán)響應(yīng)曲線

研究結(jié)果表明：改變電感和電容的階數(shù)，對電感、電容直流分量的穩(wěn)態(tài)值幾乎沒有影響，但是對Cuk變換器CCM與DCM下的臨界條件、電感電流紋波、電感電流峰值和谷值、Cuk變換器的動態(tài)特性有很大的影響。因此，建立精確的分?jǐn)?shù)階微積分模型可以更好的分析電力電子變換器的特性，為變換器的優(yōu)化控制提供理論依據(jù)。

5 結(jié)論

本文建立了Cuk變換器的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)和狀態(tài)平均模型，推導(dǎo)了Cuk變換器在CCM與DCM的臨界條件，分析了電感和電容的階數(shù)對直流分量穩(wěn)態(tài)值、CCM與DCM的臨界條件、電感電流紋波、峰值和谷值、輸出電壓對占空比的傳遞函數(shù)和動態(tài)特性的影響，最后進(jìn)行仿真驗(yàn)證，可得出以下結(jié)論：

1)Cuk變換器在CCM與DCM的臨界條件，與電感、開關(guān)周期、占空比、負(fù)載電阻、電感的階數(shù)均有關(guān).在其它參數(shù)不變的情況下，電感的階數(shù)值越大，Cuk變換器越容易運(yùn)行于CCM模式。

2)在CCM模式時，改變電感、電容的階數(shù)，對電感電流、電容電壓直流分量的穩(wěn)態(tài)值沒有影響。

3)在CCM模式時，電感電流紋波的大小與相應(yīng)的電感值及其階數(shù)、開關(guān)周期、占空比、輸入電壓有關(guān)。在其它參數(shù)不變的情況下，電感的階數(shù)越大，電感電流紋波的值越小。

4)在CCM模式時，Cuk變換器輸出電壓對占空比的傳遞函數(shù)不僅與電感及其階數(shù)有關(guān)，還與電容及其階數(shù)有關(guān)。

5)Cuk變換器分?jǐn)?shù)階模型的動態(tài)特性如上升時間、滯后時間、峰值時間、調(diào)節(jié)時間會比整數(shù)階模型的更快，超調(diào)量也更小。