劉 希，苗 圃*，姚 譽

(1. 青島大學電子信息學院，山東 青島 266071；2. 華東交通大學信息工程學院，江西 南昌 330013)

1 引言

無線通信系統(tǒng)由于頻譜資源的緊缺而面臨較大的發(fā)展限制?？梢姽馔ㄐ?VLC，Visible Light Communication)系統(tǒng)以其無需授權(quán)的光頻段、成本低、信息安全性高和空間復用性高等優(yōu)點[1]吸引了諸多研究者的目光。但是VLC系統(tǒng)中存在嚴重的非線性失真，主要源于發(fā)光二極管(LED，Light Emitting Diode)的非線性特性，其影響系統(tǒng)整體性能的提升。為了滿足VLC系統(tǒng)傳輸正實數(shù)單極性信號的要求，調(diào)制方式之一直流偏置-正交頻分復用(DCO-OFDM，DC-biased Optical Orthogonal Frequency Division Multiplexing)應(yīng)用較為廣泛。但是DCO-OFDM信號不僅具有較高的均峰比，且對LED的非線性特性非常敏感[2]，所以補償LED非線性失真對DCO-OFDM有效的數(shù)據(jù)傳輸非常重要。目前非線性失真補償大致分為預失真補償技術(shù)和后失真補償技術(shù)[3]，其中基于后失真補償技術(shù)的非線性均衡器由于具有較好的非線性補償性能而應(yīng)用較為廣泛[4-6]。

均衡器是根據(jù)傳輸信道的逆特性構(gòu)造非線性功能模塊，并將其放置在接收端，對LED非線性和無線多徑信道進行補償，進而達到提升系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸性能的目的。均衡器行為模型多以沃爾特拉級數(shù)(VS，Volterra Series)為基礎(chǔ)建立，但是VS結(jié)構(gòu)復雜，內(nèi)核個數(shù)隨著非線性階數(shù)和記憶深度呈指數(shù)增長，增加了內(nèi)核參數(shù)計算難度。因此降低計算復雜度、提高計算精度成為VS內(nèi)核參數(shù)提取的關(guān)鍵問題。

壓縮感知(CS，Compressed Sensing)是一種有效的稀疏重構(gòu)方案[7-8]，重構(gòu)算法是CS的核心。CS的可行性要求重構(gòu)信號在變換域中是稀疏的或本身是稀疏的，且觀測矩陣應(yīng)滿足有限等距性質(zhì)(RIP，Restricted Isometry Property)。而基于VS的非線性后失真均衡器(VS-NPE，Volterra Series-Nonlinear Post-distortion Equalizer)滿足上述條件，證明CS可用于VS-NPE內(nèi)核參數(shù)提取[9-10]。AMP[11]是一種高效的CS重構(gòu)算法，它不需要復雜的矩陣求逆，具有計算復雜度低、重構(gòu)精度高的優(yōu)勢。然而，它在VS-NPE內(nèi)核提取的應(yīng)用中也具有局限性，因為AMP算法的有效性需觀測矩陣滿足獨立同分布(i.i.d，Independently Identically Distribution)的條件，但VS-NPE的觀測矩陣有高度的列相關(guān)性，因此無法直接使用AMP算法進行VS-NPE內(nèi)核參數(shù)提取。

在文獻[12]-[14]工作的基礎(chǔ)上，本文提出一種基于支持集修正的AMP(SSR-AMP，Support Set refined Approximate Message Passing)算法來計算VS-NPE內(nèi)核參數(shù)。算法首先修正內(nèi)核參數(shù)觀測矩陣以降低其列間相關(guān)度，然后通過引入阻尼技術(shù)改進AMP算法的迭代過程；在得到可靠支撐集基礎(chǔ)上，最后采用LS計算VS-NPE內(nèi)核參數(shù)。所提方案可以克服AMP算法無法直接用于VS-NPE內(nèi)核參數(shù)計算的缺點，并提高VS-NPE內(nèi)核參數(shù)辨識性能。

2 基于后失真均衡器的VLC系統(tǒng)

2.1 LED模型

當輸入電壓小于開啟電壓時，LED會進入截止區(qū)，電流不導通。為了讓LED工作在有效范圍區(qū)，需加直流偏置，但會導致輸入電壓幅度過大，使LED進入非線性工作區(qū)，進而展現(xiàn)顯著的非線性特性。另外，由于載流子密度的響應(yīng)受頻率影響，通帶內(nèi)不平坦的頻率響應(yīng)又會引入LED的記憶效應(yīng)[15]。因此，借助Wiener模型對LED的傳輸特性進行建模，該模型由線性時不變(LTI，Linear Time Invariant)模塊和非線性(NL，Nonlinear)模塊組成[15]。LTI模塊可表示為

y(n)=exp(-2πnfc)

(1)

(1)式中，fC=20MHz為截止頻率。根據(jù)商用LED(Cree PLCC4)的測量，NL模塊可由一個三階多項式來描述，建模為

f(n)=0.2855y3(n)-1.0886y2(n)

+2.0565y(n)-0.0003

(2)

取最小開啟電流Imin=0.1A、最大前向電流Imax=1A、直流偏置IDC=0.4A。實際的LED具有單向?qū)щ娦院头蔷€性，建模后的LED設(shè)置最大前向電流和直流偏置，使LED工作在有效工作區(qū)。

2.2 VLC信道模型

參考IEEE 802.11協(xié)議的室內(nèi)可見光光多徑信道模型搭建以視線傳輸(LOS，Line of sight)為主的信道模型，其信道脈沖響應(yīng)(CIR，Channel Impulse Response)可表示為

(3)

其中，Pn是第n射線的光功率，τn是第n射線的傳播時間，δ(t)是狄克拉函數(shù)，Nr是探測器接收到的射線數(shù)量。利用均方根延遲擴展來量化hNr的時間分散特性，計算表達式為

(4)

式中的平均延遲擴展τ0可由下式計算得

(5)

假設(shè)RPD為響應(yīng)度，則可以將PD的沖激響應(yīng)建模為

hPD(n)=RPDδ(n)

(6)

z(n)=RPDf{(x(n)+IDC)*y(n)}*hNr+e(n)

(7)

其中*表示卷積運算，而e(n)表示信道噪聲，RPD取值為1。

2.3 后失真均衡器行為模型

本篇采用VS建立后失真均衡器模型。VS等效于向泰勒級數(shù)添加記憶項，它是用于非線性系統(tǒng)的通用功能模型，可以較高精度地逼近任意非線性函數(shù)。由于VS的輸出與內(nèi)核系數(shù)是線性關(guān)系，故可得其表達式的矩陣形式

x=Z·h+e

(8)

圖1 VS-NPE內(nèi)核參數(shù)計算學習框架

2.4 基于SSR-AMP算法的VS-NPE參數(shù)計算

CS理論的關(guān)鍵是通過解決以下優(yōu)化問題來實現(xiàn)重構(gòu)：

=arg minh‖h‖1s.t.‖Ah-y‖2<ε

(9)

其中，ε是信號重構(gòu)的上限誤差。

AMP[11]算法是解決問題(9)的一種有效方法。該算法從0=0、0=y迭代開始，在迭代t次時，AMP算法可表示為

(10)

(10)式中，t∈N是h迭代t次時的當前估計，rt∈M是迭代t次時的殘差，而‖t‖0是t的非零數(shù)。另外，η(·；·)是軟閾值函數(shù)，其定義為

(11)

其中，α是通過迭代固定的調(diào)整常數(shù)，σ是殘差rt的經(jīng)驗度量。

AMP算法有效的前提是觀測矩陣應(yīng)滿足i.i.d[13]。由于VS-NPE觀測矩陣的列高度相關(guān)不滿足i.i.d的要求，無法保證AMP算法迭代計算的準確性。因此，提出一種SSR-AMP算法用于VS-NPE內(nèi)核參數(shù)計算，所提算法的原理框圖如圖2所示。首先歸一化處理觀測矩陣，然后引入阻尼因子以改進AMP算法的迭代過程，進而追蹤稀疏支撐集，最后結(jié)合LS計算VS-NPE的內(nèi)核參數(shù)。

圖2 SSR-AMP算法原理框圖

根據(jù)訓練樣本的輸入信號，基于VS-NPE模型信息生成VS觀測矩陣。本文根據(jù)觀測矩陣的列特征計算歸一化因子[12]，先以列向量的形式改寫測量矩陣Z

(12)

再以Z中每個列向量的l2范數(shù)計算歸一化因子

(13)

利用歸一化因子將等式(8)重寫為

x=ZΨ-1Ψh+e=ZΨhΨ+e

(14)

通過歸一化處理Z，使得新矩陣ZΨ克服矩陣Z列高度相關(guān)的缺點。

另外，需要注意的是AMP算法迭代計算的準確性在Z歸一化處理后仍然無法保證。為了解決這個問題，本文引入阻尼思想[14]，其迭代過程如下

(15)

其中，β1，β2∈(0，1]是阻尼因子，經(jīng)過多次仿真比較和綜合分析后，本文采用β1=β2=0.008。

然后，提取支撐集h=Ψ-1hΨ。其中稀疏支撐集是h的大系數(shù)分量的下標集

Ni={i：|(h)i|>μ}

(16)

這里μ是系數(shù)閾值。提取Ni后，用LS計算基于Ni的uΨ，其中uΨ=h(Ni)。迭代可得

(17)

最后，根據(jù)Ni的信息對h進行重構(gòu)，即得到VS-NPE內(nèi)核參數(shù)。借助阻尼技術(shù)，可有效提升AMP算法收斂性、保證局部穩(wěn)定性，從而降低AMP算法發(fā)散的可能性。

3 仿真分析

本文借助Matlab搭建基于DCO-OFDM的VLC系統(tǒng)。仿真中訓練樣本和測試樣本均是長度為62400的DCO-OFDM信號，取VS-NPE非線性階數(shù)k=5、記憶深度D=3，閾值函數(shù)中的調(diào)整常數(shù)α為1.39。

首先對比研究LS、RLS、Kalman濾波[15]、OMP[16]、SSR-AMP等5種算法的VS-NPE內(nèi)核參數(shù)提取性能。以平均歸一化均方誤差(NMSE，Normalized Mean Square Error)來衡量各個算法計算精度。

無噪情況下，選取25組訓練長度Υ=400和Υ=800的訓練樣本，采用上述5種算法計算VS-NPE內(nèi)核參數(shù)，仿真得到各個算法NMSE對比如圖3所示：當Υ取值不同時，各個算法相應(yīng)的NMSE變化幅度也不同；LS和Kalman濾波的NMSE受訓練長度的限制較為明顯，波動幅度較大；而RLS、OMP、SSR-AMP等都表現(xiàn)了較好的穩(wěn)定性；另外，RLS和SSR-AMP的NMSE表現(xiàn)最優(yōu)，可近似達到-30dB，參數(shù)計算精度最高。

圖3 不同訓練長度時NMSE結(jié)果

另外，實驗選取Υ=400和Υ=800時兩組NMSE對比結(jié)果如表1所示。如前所述，由于VS-NPE觀測矩陣列高度相關(guān)，因此一定數(shù)量的訓練樣本才能確?；贑S的算法辨識參數(shù)正確，這將給信號處理模塊帶來負擔。但是根據(jù)表1結(jié)果可知，SSR-AMP即使在長度較短的訓練樣本條件下NMSE也表現(xiàn)出色，以Υ=400為例，其NMSE仍然可達-31.55dB。

表1 Υ=400和Υ=800時2組NMSE

其次，在Υ=400的條件下對比上述5種算法提取的VS-NPE內(nèi)核參數(shù)數(shù)量，對比結(jié)果如表2所示：SSR-AMP算法提取VS-NPE內(nèi)核參數(shù)個數(shù)最少，比LS、RLS、Kalman濾波和OMP計算所得VS-NPE內(nèi)核數(shù)量分別降低了約83.2%、97.3%、97.3%、27.5%。因此，SSR-AMP算法構(gòu)架的VS-NPE內(nèi)核參數(shù)少、結(jié)構(gòu)簡單，進而可大幅度減少VS-NPE的硬件資源開銷。

表2 Υ=400時各算法辨識參數(shù)數(shù)量

最后，由于縮短訓練樣本長度可進一步減小訓練開銷，因此含噪情況下設(shè)置Υ=100，對比上述5種算法的NMSE與SNR的變化關(guān)系如圖4所示：隨著SNR的增加，除RLS算法外，其它上述4種算法的NMSE都不同程度的減小，其中SSR-AMP算法的NMSE下降速度顯著快于其它4種算法；并且在相同NMSE條件下，SSR-AMP算法更節(jié)省SNR需求，以5種算法的NMSE均等于-30dB為例，SSR-AMP的SNR需求比其它4種算法降低約10dB。因此，SSR-AMP算法較其它算法具有更優(yōu)異的參數(shù)提取性能。

圖4 Υ=100時NMSE和SNR關(guān)系曲線

4 結(jié)論

本文提出一種SSR-AMP算法用于計算VS-NPE內(nèi)核參數(shù)，該算法結(jié)合了CS中改進的AMP算法及LS算法，通過有效稀疏支撐集提高VS-NPE內(nèi)核參數(shù)提取準確性。仿真結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)LS、RLS、Kalman濾波和OMP等算法，SSR-AMP算法具有更高的精確性和穩(wěn)健性。針對短訓練樣本的苛刻條件下，SSR-AMP計算所得VS-NPE內(nèi)核數(shù)量最少，同時所得NMSE最小且最穩(wěn)定，展示了該算法強健的參數(shù)提取能力。在后續(xù)工作中，需對SSR-AMP算法迭代過程進行優(yōu)化，從而進一步地降低算法計算復雜度。