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        “代數(shù)式”中的典型問題及解決思路

        2022-11-29 07:15:02許紫珩
        初中生世界 2022年41期

        文/許紫珩

        一、“日歷”問題

        例1如圖1,用一個“T”形框在2022年11月的日歷上可以框出5個數(shù)。例如,圖中兩個“T”形框中的5個數(shù)的和分別是31和92。如果“T”形框在圖1中框出的5個數(shù)的和是91,那么這5個數(shù)中最大的數(shù)是 。

        圖1

        【解析】由圖1可知,“T”形框分兩種情況。設“T”形框中最小的數(shù)為x,用含x的代數(shù)式分別表示其余的數(shù),根據(jù)圖中框出的5個數(shù)的和是91,列出方程,求解即可。

        【點評】本題的主要思路是借助整式的加減,探究和表示實際問題中的數(shù)量關系。在整式的學習之后,同學們對整式有了基本認識,但對于抽象字母的理解可能還停留在概念和加減運算上。希望同學們在后續(xù)學習中注重加強理論與生活的聯(lián)系,借助“月歷求和”等情景以及學過的知識,慢慢體會從特殊到一般的探究過程。

        二、“代數(shù)推理”問題

        例2已知是一個三位數(shù),其中a+b+c能夠被9整除,試說明,這個三位數(shù)能夠被9整除。

        【解析】此題考查了列代數(shù)式和整式的加減。將“是一個三位數(shù)”“a+b+c被9整除”通過代數(shù)式表示出來是第一個難點;運用整體思想,將代數(shù)式變形成能被9整除的形式,是本題的第二個難點。

        解:由題可知,這個三位數(shù)可表示為100a+10b+c。

        ∵a、b、c的和能被9整除,

        ∴可設a+b+c=9k,其中k為正整數(shù)。

        ∴100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=99a+9b+9k=9(11a+b+k)。

        ∵a、b、k均為正整數(shù),

        ∴11a+b+k為正整數(shù)。

        ∴100a+10b+c能被9整除。

        ∴這個三位數(shù)能夠被9整除。

        【點評】用字母a表示百位上的數(shù)字,字母b表示十位上的數(shù)字,字母c表示個位上的數(shù)字,合理運用“用字母表示數(shù)”,式子100a+10b+c便具有三位數(shù)的一般特點。將多項式進行某種變形,通過整體變換進行求解是該種類型常見的解題思路,即從條件出發(fā),整體考慮,逆向思考,將待求解的式子通過法則湊成已知條件的形式,尋找已知條件和待求解式子之間的關聯(lián),然后進行整體變換。

        三、“比大小”問題

        例3已知a<b,試比較的大小。

        【解析】代數(shù)式的大小比較,通??梢杂米鞑罘ㄟM行代數(shù)推理。而本題中,代數(shù)式所表示的數(shù)比較特殊,我們也可以通過數(shù)形結合的思想,將其直觀地在數(shù)軸上表示出來,即可解決問題。

        解法二:記a、b在數(shù)軸上表示的點分別為A、B。

        ∵a<b,

        ∴A、B兩點在數(shù)軸上的表示如圖2所示。

        圖2

        設點C表示的數(shù)為則點C是線段AB中點,在數(shù)軸上的表示如圖3所示。

        圖3

        ∴點C在點A右邊,即

        【點評】我們在利用“作差法”解決這類問題的時候,還可以對代數(shù)式具有的幾何意義進行一些思考。雖然我們已經能夠初步理解符號的意義,也能對周圍的事物做出一些較為簡單的概括,但如果我們能夠通過幾何直觀的方式,將代數(shù)式與數(shù)軸等幾何圖案進行結合,那么我們還可以更為深刻地、直觀地理解一些代數(shù)式相關的問題。

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