李加程，楊青勝，韓 濤，肖 波

(湖北師范大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

多智能體系統(tǒng)在不同領(lǐng)域都有著不俗的運(yùn)用[1]，例如能源優(yōu)化[2]、機(jī)器學(xué)習(xí)[3]、協(xié)同控制[4]等。其中最近幾年關(guān)于多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制的研究進(jìn)步飛快，取得了很多重大成果[5～7]。其中包括了許多控制方法，比如一致性控制[8]、跟蹤控制[9]、編隊(duì)控制[10]、包含控制[11]，其中編隊(duì)控制是人們高度關(guān)注的問(wèn)題之一。編隊(duì)控制的基本任務(wù)是讓多智能體系統(tǒng)保持期望的隊(duì)形，讓智能體按照期望的隊(duì)形進(jìn)行工作從而提高工作效率等目的。編隊(duì)控制理論應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，包括許多航天衛(wèi)星[12]、無(wú)人機(jī)[13，14]、機(jī)器人[15]等等。但是為了讓其控制性能得到更加優(yōu)異效果，我們對(duì)其有更高的要求。

目前對(duì)于多智能體系統(tǒng)編隊(duì)控制主要是由一致性的控制問(wèn)題延伸而來(lái)，最早由通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)達(dá)到一致，從而實(shí)現(xiàn)了基本的群體控制[16]，后面通過(guò)許多學(xué)者不斷努力的研究，得到了許多有意義的結(jié)果。文獻(xiàn)[17]利用拉普拉斯的方法，研究了單積分多智能體系統(tǒng)在有向拓?fù)渑c無(wú)向拓?fù)渲g切換的編隊(duì)問(wèn)題?；趩畏e分器的多智能體系統(tǒng)，在文獻(xiàn)[18]中更近一步提出了雙積分器的多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)問(wèn)題。但是隨著人們對(duì)編隊(duì)控制的研究發(fā)現(xiàn)僅僅考慮其性能還不夠，還需要考慮更多的實(shí)際應(yīng)用情況，讓其隊(duì)形能夠跟隨預(yù)定路線進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，這就要求系統(tǒng)編隊(duì)中的每個(gè)智能體狀態(tài)保持預(yù)期的編隊(duì)的同時(shí)還能夠跟隨目標(biāo)軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。所以文獻(xiàn)[19]提出了單積分器多智能體系統(tǒng)跟蹤一個(gè)虛擬的領(lǐng)導(dǎo)者智能體的運(yùn)動(dòng)軌跡并且保持編隊(duì)不變。緊接著文獻(xiàn)[20]研究了雙積分器多智能體系統(tǒng)跟蹤一個(gè)虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)軌跡但其智能體系統(tǒng)所組成的編隊(duì)保持不變，文獻(xiàn)[21]研究了關(guān)于雙積分器多智能體系統(tǒng)跟蹤一個(gè)虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)軌跡并且隊(duì)形隨時(shí)間變化。以上都只考慮了一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的情況，但在實(shí)際情況中多智能體系統(tǒng)形成編隊(duì)需要隨著實(shí)際情況變化而變化，可能需要部分智能體組成的時(shí)變編隊(duì)來(lái)跟蹤多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)軌跡。例如在保護(hù)重要物品運(yùn)輸時(shí)周圍用無(wú)人機(jī)進(jìn)行包圍保護(hù)，其隊(duì)形中心以運(yùn)輸重要物品的飛機(jī)位置的加權(quán)平均為中心，保持期望的戰(zhàn)術(shù)隊(duì)形，在遇到特殊隊(duì)形和情況時(shí)，其編隊(duì)會(huì)發(fā)生變化，由外圍的跟隨者進(jìn)行保護(hù)。同樣在飛行運(yùn)輸重要物品的時(shí)候，需要在運(yùn)輸機(jī)隊(duì)伍的周圍用無(wú)人機(jī)按照期望隊(duì)形進(jìn)行保護(hù)，這樣既可以保護(hù)重要運(yùn)輸機(jī)隊(duì)伍。

基于上述分析本文研究了具有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和有向交互拓?fù)涞亩A多智能體系統(tǒng)時(shí)變編隊(duì)跟蹤問(wèn)題，提出了時(shí)變編隊(duì)控制協(xié)議，并基于代數(shù)圖論以及穩(wěn)定性理論得到了有向拓?fù)涞亩A多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)時(shí)變編隊(duì)的條件。

1 初步準(zhǔn)備和問(wèn)題描述

1.1 基本圖論

在本文多智能體系統(tǒng)中主要講述了N個(gè)智能體所組成的有向圖G={V，A，W}，其中V={v1,v2,…,vn}表示為對(duì)應(yīng)的N個(gè)節(jié)點(diǎn)，A={(vi,vj);vi,vj∈V,i≠j}表示兩兩節(jié)點(diǎn)之間的信息傳輸，W=[wij]∈RN×N表示節(jié)點(diǎn)之間組成的鄰接矩陣。當(dāng)wij中i≠j則wij=1，反之當(dāng)i=j時(shí)wij=0.關(guān)于有向圖G的度矩陣D可以表示為D=diag{degin(vi),i=1,2,…,n}，此時(shí)關(guān)于有向圖G的Laplacian矩陣L可以得到L=D-W.

1.2 問(wèn)題描述

考慮一個(gè)有N個(gè)智能體的系統(tǒng)，其中M個(gè)為跟隨者(M

(1)

(2)

其中ui(t)為跟隨者的控制器，而領(lǐng)導(dǎo)者沒(méi)有控制輸入。系統(tǒng)的Laplacian矩陣可以表示為

假設(shè)1 對(duì)于所有的跟隨者都是可以獲得所有領(lǐng)導(dǎo)者的信息，而無(wú)法直接獲得領(lǐng)導(dǎo)者信息的跟隨者都至少有一條路徑可以間接獲得領(lǐng)導(dǎo)者信息。

定義1 對(duì)于多領(lǐng)導(dǎo)者的系統(tǒng)(1)和(2)，若要在任意初始狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)期望的時(shí)變編隊(duì)跟控目標(biāo)，則需要滿足以下條件

(3)

根據(jù)定義1可以看出，當(dāng)系統(tǒng)需要達(dá)到時(shí)變編隊(duì)跟蹤時(shí)，需要(3)成立，最終整個(gè)時(shí)變編隊(duì)的隊(duì)形由hi(t)來(lái)變動(dòng)，其中領(lǐng)導(dǎo)者的加權(quán)平均中心與hF(t)相互作用構(gòu)建了時(shí)變編隊(duì)的基本條件。其中也存在一些特殊情況，例如當(dāng)時(shí)此時(shí)系統(tǒng)中只有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，系統(tǒng)即是基礎(chǔ)的單領(lǐng)導(dǎo)者的時(shí)變編隊(duì)系統(tǒng)；其次當(dāng)hi(t)是一個(gè)固定的數(shù)值不會(huì)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)此時(shí)不是多領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)變編隊(duì)系統(tǒng)而是基本的多領(lǐng)導(dǎo)者固定編隊(duì)系統(tǒng)。最后當(dāng)M=1與hi(t)是一個(gè)固定值同時(shí)發(fā)生，則此時(shí)系統(tǒng)成為了單領(lǐng)導(dǎo)者固定編隊(duì)系統(tǒng)。由此可知以上三種情況都是我們定義1的特殊情況。所以，我們考慮的系統(tǒng)相較于以上三種情況更具有普遍性。

本文提出一種時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制器為：

(4)

(5)

2 主要結(jié)果

(6)

(7)

設(shè)

(8)

ZF(t)=(L1?Im)ξF(t)+(L2?Im)ξE(t)

(9)

將系統(tǒng)(7)代入式(9)中可以得到：

(10)

(11)

(12)

所以其特征多項(xiàng)式為P(s)=s2-λiK12s-λiK11，其中s為復(fù)變量。根據(jù)引理3可以知道

(13)

表明

(14)

證明：由定理1可以得到(13)，所以此時(shí)可以得到

(16)

根據(jù)定理1因?yàn)槠錆M足Hurwitz,所以可以將其變化為

(17)

根據(jù)其系統(tǒng)狀態(tài)，構(gòu)造下列Lyapunov函數(shù)。

(18)

(19)

根據(jù)定理1滿足的情況下可以得到具有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)(1)和(2)基于控制器(4)實(shí)現(xiàn)時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制。定理2證明完成。

3 仿真效果

本文考慮由六個(gè)跟隨者以及三個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者組成的系統(tǒng)，其拓?fù)鋱D如圖1所示：

圖1 有向拓?fù)鋱DG1

跟隨者智能體的期望隊(duì)形設(shè)置為

在期望隊(duì)形中r為期望隊(duì)形圓的半徑，此時(shí)在仿真中設(shè)r=15，根據(jù)定理2我們可以計(jì)算出K=[-0.0794,-1.5117].智能體的運(yùn)動(dòng)位置軌跡如圖2所示，其中6個(gè)星號(hào)標(biāo)記代表的是6個(gè)跟隨者智能體，3個(gè)圓形標(biāo)記表示3個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，我們可以看到跟隨者形成了期望隊(duì)形。

(a) 在t=0 s時(shí)刻智能體位置圖 (b) 在t=10 s時(shí)刻智能體位置圖

智能體的速度如圖3所示，6個(gè)跟隨者智能體的起始速度不同但隨時(shí)間變化最后X軸速度和Y軸速度分別趨于一致。

(a) X軸速度圖 (b)Y軸速度圖

4 總結(jié)

本文研究了具有多領(lǐng)導(dǎo)者的二階多智能體系統(tǒng)時(shí)變編隊(duì)跟蹤問(wèn)題。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們?cè)O(shè)計(jì)了具有多領(lǐng)導(dǎo)者的二階多智能體系統(tǒng)時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制協(xié)議。根據(jù)Lyapunov定理以及代數(shù)Riccati方程，證明了控制協(xié)議可以實(shí)現(xiàn)時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制，并通過(guò)仿真證實(shí)了理論結(jié)果的有效性。未來(lái)我們可以研究存在多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者進(jìn)行時(shí)變編隊(duì)跟蹤的同時(shí)領(lǐng)導(dǎo)者之間單獨(dú)進(jìn)行時(shí)變編隊(duì)問(wèn)題。

Time-varying formation control for second-order multi-agent systems with multiple leaders

LI Jia-cheng，YANG Qing-sheng，HAN Tao，XIAO Bo