黃竑鋼

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院，四川 成都 610031)

0 引 言

形狀記憶合金(Shape Memory Alloy，簡稱SMA)是一種新型智能材料，不僅具有獨(dú)特的形狀記憶效應(yīng)和超彈性效應(yīng)，而且有良好的阻尼特性、耐疲勞性和耐腐蝕性。 因此，它被廣泛地應(yīng)用于航天航空、機(jī)械電子、生物醫(yī)療等多個領(lǐng)域。 其中，超彈性SMA 由于其極強(qiáng)的滯回耗能特性，而被廣泛地用作土木結(jié)構(gòu)中的阻尼器，以增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的抗震減震效果。 因此，有必要了解SMA 彈簧的力學(xué)性能及其工作原理，對其力學(xué)行為進(jìn)行詳細(xì)研究，為SMA 彈簧在工程應(yīng)用中的設(shè)計(jì)和使用提供依據(jù)。

SMA 的本構(gòu)模型是模擬SMA 彈簧力學(xué)行為的重要部分。 目前，國內(nèi)外學(xué)者們主要是基于熱力學(xué)本構(gòu)模型對SMA 彈簧進(jìn)行模擬。 例如，Tobushi 和Tanaka[1]基于Tanaka 的一維熱力學(xué)本構(gòu)模型[2]模擬SMA 彈簧的力-位移關(guān)系，其研究中只考慮了彈簧絲截面上的扭矩。 結(jié)果表明，在位移幅值較小的情況下，該方法的模擬效果較好。 Liang 和Rogers[3]在先前工作[4]的基礎(chǔ)上，提出一種簡便的非線性SMA 彈簧模型，并給出了更準(zhǔn)確的SMA 彈簧的設(shè)計(jì)方法。Toi 等[5]采用Brinson 提出的一維本構(gòu)模型[6]，考慮彈簧絲截面的扭轉(zhuǎn)變形，對SMA 彈簧進(jìn)行模擬，并進(jìn)行了有限元分析，通過和實(shí)驗(yàn)的比較，驗(yàn)證了方法的有效性。 Aguiar 等[7]采用剪切形式的一維本構(gòu)模型[8]對SMA 彈簧進(jìn)行模擬，假設(shè)相變在SMA 絲中是均勻發(fā)生的。 結(jié)果表明其建立的模型可以較為準(zhǔn)確地描述SMA 彈簧的力學(xué)行為。 Mirzaeifaret[9]比較了基于Boyd-Lagoudas 本構(gòu)模型[10]的直桿扭轉(zhuǎn)模型和曲桿扭轉(zhuǎn)模型，模擬了SMA 彈簧的力學(xué)行為。 結(jié)果表明，曲桿扭轉(zhuǎn)模型的模擬結(jié)果較好。 Enemark等[11]在修正的Lagoudas 模型基礎(chǔ)上，同時考慮彈簧絲截面上的扭矩和彎矩，建立SMA 彈簧模型，并進(jìn)行了驗(yàn)證試驗(yàn)。 Savi 等人[12]通過實(shí)驗(yàn)和基于Auricchio模型[13]的有限元方法，研究了幾何非線性對SMA 彈簧力學(xué)行為的影響。 結(jié)果指出，當(dāng)彈簧指數(shù)較大時，幾何非線性效應(yīng)的影響較為明顯。 上述研究表明，基于現(xiàn)有的熱力學(xué)本構(gòu)模型對SMA 彈簧的力-位移關(guān)系進(jìn)行模擬是可行的。 最近，黃斌等[14]對Motahari和Ghassemich[15]提出的SMA 多段線性本構(gòu)模型進(jìn)行修正，并利用修正后的模型模擬SMA 彈簧在復(fù)雜加載條件下的力-位移關(guān)系，試驗(yàn)和模擬結(jié)果表明，該修正模型的模擬方法較原模型更準(zhǔn)確。 Zhang等[16]基于Graesser-Cozzarelli 本構(gòu)模型[17]，同時考慮彈簧絲截面上的扭矩和彎矩的影響，對SMA 彈簧的力-位移關(guān)系進(jìn)行模擬。 其模擬結(jié)果較好，同時還研究了彈簧指數(shù)和彈簧初始高度對SMA 彈簧力-位移關(guān)系特性的影響。

目前建立的SMA 彈簧力-位移關(guān)系所使用的本構(gòu)模型大多為一維本構(gòu)模型，將彈簧絲截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力單獨(dú)考慮，忽略了正應(yīng)力和切應(yīng)力之間的耦合效應(yīng)。 另外，同時考慮彈簧絲截面上的扭矩和彎矩對彈簧力-位移關(guān)系影響的研究也還有待深入。筆者采用SMA 的三維熱力學(xué)本構(gòu)模型，同時考慮截面上的扭矩和彎矩，結(jié)合彈簧理論，對SMA 彈簧的力-位移關(guān)系進(jìn)行模擬，建立了SMA 彈簧在拉伸荷載下的力-位移關(guān)系數(shù)值仿真模型。 此外，通過編寫通用有限元軟件Abaqus 中的用戶材料子程序(UMAT)對SMA 彈簧進(jìn)行有限元實(shí)現(xiàn)。 最后，通過NiTi 合金絲的材料試驗(yàn)和SMA 彈簧的多級加載試驗(yàn)，驗(yàn)證了文中所用方法的有效性和正確性。

1 SMA 彈簧拉伸試驗(yàn)

本文試驗(yàn)采用的材料為NiTi 合金絲，通過工廠加工制得NiTi 彈簧，如圖1(a)所示。 彈簧絲半徑為0.74 mm，彈簧圈半徑為6.3 mm，有效圈數(shù)為6 圈，彈簧的初始長度為21.5 mm。 使用合適的夾具將彈簧試件固定在MTS 858 試驗(yàn)機(jī)上，如圖1(b)所示。 試驗(yàn)加載采用位移加載模式，加載速度為1 mm/s，試驗(yàn)環(huán)境溫度為27 ℃。 試驗(yàn)的加載工況為不同位移幅值加載，位移幅值分別為40 mm、50 mm、60 mm、 70 mm和80 mm。

圖1 SMA 彈簧拉伸試驗(yàn)

為了獲取SMA 材料相關(guān)參數(shù)，需要對SMA 絲材進(jìn)行不同應(yīng)變幅值拉伸卸載試驗(yàn)。 取同一批次的Ni-Ti 合金絲在MTS 858 試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行低應(yīng)變率(5×10-4s-1)和低應(yīng)變幅值(2.2%，3.2%，4.2%，5.3%，6.3%)的拉伸卸載試驗(yàn)，拉伸試樣的總長度為78 mm，標(biāo)定長度為38 mm。

2 SMA 的本構(gòu)模型

在小變形框架下，將材料點(diǎn)總應(yīng)變張量ε 分解為三個部分，即彈性應(yīng)變張量εe、熱膨脹應(yīng)變張量εT和相變應(yīng)變張量εtr，即:

彈性應(yīng)變張量εe和應(yīng)力張量σ 的關(guān)系可以通過胡克定律得到:

式中:C(ξ)是四階的彈性張量；εT可以表示為:

式中:α 和Tr分別是二階熱膨脹張量和參考溫度。

參考Lagoudas 和Entchev[18-19]的工作，相變應(yīng)變張量的率tr可以寫成:

以及馬氏體相變方向張量Ntr可以寫成:

式中:是馬氏體體積分?jǐn)?shù)率；gtr是馬氏體完全相變所造成的相變應(yīng)變大?。沪襠ev是偏應(yīng)力張量；ξrecent和分別是逆相變開始點(diǎn)的馬氏體體積分?jǐn)?shù)和相變應(yīng)變張量。

參考Yu 等[20]的工作，在連續(xù)介質(zhì)熱力學(xué)框架下，建立了材料點(diǎn)的Helmholtz 自由能，并通過不可逆熱力學(xué)推導(dǎo)，得到了熱力學(xué)驅(qū)動力πtr，即:

式中:Δc＝cM-cA，；cA和分別是參考狀態(tài)下奧氏體的定容熱容和組態(tài)熵；cM和分別是參考狀態(tài)下馬氏體的定容熱容和組態(tài)熵；T0是平衡溫度；X是相變各向同性抗力。

為便于數(shù)值實(shí)現(xiàn)，參考Anand 和Gutin[21]的工作，采用冪律形式的方程描述馬氏體體積分?jǐn)?shù)的演化:

式中:mtr是材料參數(shù)，用來控制黏性大小，當(dāng)mtr趨于∞大時，黏性效應(yīng)消失，即退化為無黏性情形；Y是一個控制應(yīng)力-應(yīng)變曲線相變滯回環(huán)寬度的變量。

參考Yu 等人[20]的工作，對Y進(jìn)行如下改進(jìn):

式中:Y0、Yc1和Yc2為材料參數(shù)，由此可以描述逆相變開始時的馬氏體體積分?jǐn)?shù)對滯回環(huán)寬度的影響。

另外，對相變各向同性抗力的逆相變部分進(jìn)行改進(jìn):

式中:h1、h2和n為材料參數(shù)；變量ξrela用來刻畫逆相變開始時的非線性部分，它與逆相變開始時的馬氏體體積分?jǐn)?shù)相關(guān)，可以表示為:

在引入應(yīng)力平衡方程和變形幾何方程后，結(jié)合上文給出的本構(gòu)方程，可以得到描述SMA 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的封閉方程組。

3 SMA 彈簧的建模

當(dāng)SMA 彈簧發(fā)生較大的軸向變形時，彈簧絲截面上除有扭矩的作用外，也有較大的彎矩，文中將同時考慮彈簧絲截面上的扭矩和彎矩的影響。 當(dāng)SMA彈簧的圈半徑和絲半徑的比值較小時，由于彈簧絲的彎曲效應(yīng)，在彈簧發(fā)生變形的時候，彈簧絲截面將會發(fā)生畸變，導(dǎo)致截面上的應(yīng)變分布不再對稱。 但Mirzaeifar 等[9]發(fā)現(xiàn)，這種效應(yīng)對SMA 彈簧的力-位移關(guān)系的影響不明顯，為簡化分析，這里不考慮這種效應(yīng)的影響，認(rèn)為截面上的應(yīng)變分布是對稱的，如圖2 所示。

圖2 彈簧絲截面切應(yīng)變γ 和正應(yīng)變ε 分布圖

假設(shè)SMA 彈簧的初始圈半徑為R0，初始長度為L0，彈簧初始螺距角為α0，彈簧有效圈數(shù)為N，彈簧絲的半徑為r，彈簧在軸向力F下的縱向位移為u，彈簧變形后的螺距角和圈半徑分別為α和R，如圖3 所示。利用圖3，彈簧絲的總長度可以表示為:

圖3 SMA 彈簧受拉示意圖

則彈簧的初始螺距角可以寫為:

彈簧變形后的螺距角和圈半徑分別為:

因此，圖2 中彈簧絲截面上分布的正應(yīng)變和切應(yīng)變具體可以表示為:

式中:ρ為極坐標(biāo)系中的徑向坐標(biāo)；y為笛卡爾坐標(biāo)系中垂直于彈簧中心軸的縱坐標(biāo)。

在利用式(15)、(16)得到彈簧絲截面上分布的切應(yīng)變和正應(yīng)變后，結(jié)合第2 節(jié)中介紹的SMA 本構(gòu)模型，可以獲得彈簧絲截面上分布的切應(yīng)力和正應(yīng)力。 然后，可以通過如下兩個積分式得到彈簧絲截面上的扭矩MT和彎矩MB:

式中:θ為徑向坐標(biāo)；ρ所對應(yīng)的角坐標(biāo)。

最后，從圖3 中可以發(fā)現(xiàn)，彈簧沿長度方向的縱向力F是由彈簧絲截面上的扭矩MT和彎矩MB共同引起的，其表達(dá)式為:

根據(jù)以上步驟，就可以得到SMA 彈簧的力-位移關(guān)系。

4 SMA 彈簧的數(shù)值模擬

由SMA 材料試驗(yàn)，可以得到文中所需的相關(guān)材料參數(shù)。 根據(jù)材料參數(shù)，對彈簧試件的力-位移試驗(yàn)曲線進(jìn)行數(shù)值模擬和有限元分析，所需的SMA 彈簧試件參數(shù)如表1 所列。

表1 SMA 彈簧相關(guān)參數(shù)

首先，采用第2 節(jié)中提出的本構(gòu)模型對材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行模擬。 如圖4 所示，在加載過程中，模擬結(jié)果與試驗(yàn)完全吻合；在卸載過程中，模擬結(jié)果很好地描述了滯回環(huán)與應(yīng)變幅值的關(guān)系，以及逆相變開始時的非線性段，由此驗(yàn)證了上述本構(gòu)模型的正確性。

圖4 SMA 材料試驗(yàn)及其模擬

然后，根據(jù)SMA 材料參數(shù)，對SMA 彈簧試件的力-位移試驗(yàn)曲線進(jìn)行數(shù)值模擬，控制與試驗(yàn)相同的工況進(jìn)行加載，模擬結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果的對比如圖5 和圖6 所示。

圖5 SMA 彈簧考慮截面彎矩的模擬與試驗(yàn)結(jié)果

圖6 SMA 彈簧不考慮截面彎矩的模擬與試驗(yàn)結(jié)果

從圖5 中可以看出，在同時考慮了彈簧絲截面上扭矩和彎矩的模擬結(jié)果中，與試驗(yàn)結(jié)果較為吻合，模擬結(jié)果較為準(zhǔn)確地描述了SMA 彈簧在拉伸卸載過程中的相變開始點(diǎn)，逆相變開始時的非線性段，以及滯回環(huán)隨著位移幅值的增大而變大的現(xiàn)象。

從圖6 中可以看出，不考慮彈簧絲截面彎矩的情況下，SMA 彈簧的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果差距較大，誤差主要發(fā)生在SMA 彈簧開始相變之后。 位移幅值越大，其模擬結(jié)果的誤差越大。 這里主要的原因是，當(dāng)彈簧位移幅值增大，在拉伸過程中，彈簧的螺距角變大，使得截面上的彎矩增加，導(dǎo)致長度方向上的力增大。 所以位移幅值越大時，彈簧絲截面上彎矩的影響就會越大。

5 有限元分析

將2 節(jié)中提及的本構(gòu)模型通過隱式歐拉法進(jìn)行數(shù)值離散，并編寫有限元軟件Abaqus 中的用戶材料子程序(UMAT)，對彈簧的變形行為進(jìn)行有限元分析。SMA 彈簧的幾何模型及其網(wǎng)格劃分如圖7 所示。 將SMA 彈簧下端固定，上端施加位移荷載，得到SMA 彈簧拉伸至位移幅值時的馬氏體體積分?jǐn)?shù)云圖，如圖8所示。 從圖8 中可以看出，在遠(yuǎn)離施加荷載的位置，沿彈簧絲長度方向，馬氏體相變是均勻發(fā)生的。 在SMA 彈簧絲截面上，彈簧的內(nèi)側(cè)先發(fā)生馬氏體相變，靠近外側(cè)的則稍后。

圖7 SMA 彈簧幾何模型及網(wǎng)格劃分

圖8 SMA 彈簧馬氏體體積分?jǐn)?shù)分布云圖

提取力-位移關(guān)系曲線，如圖9 所示。

圖9 SMA 彈簧試驗(yàn)、數(shù)值和有限元模擬結(jié)果對比

由圖9 可以看出，數(shù)值模擬和有限元模擬都很好地描述了SMA 彈簧在拉伸卸載過程中的變形特性。在位移荷載施加到18 mm 左右時，SMA 彈簧開始進(jìn)入相變。 從試驗(yàn)結(jié)果和模擬結(jié)果來看，文中所分析的幾個工況中，SMA 彈簧均未發(fā)生完全相變。 在卸載后，位移減小至0，彈簧恢復(fù)至初始時無變形的狀態(tài)。

由此，試驗(yàn)和模擬的結(jié)果充分說明了上述方法的有效性和正確性。

6 結(jié) 語

文中采用三維的SMA 本構(gòu)模型，參考已有的工作，對滯回環(huán)寬度和逆相變中的相變抗力進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)，并結(jié)合彈簧理論，建立SMA 彈簧力-位移關(guān)系模型，模擬結(jié)果很好地描述SMA 彈簧的變形特性。 此外，建立了對應(yīng)的SMA 彈簧有限元模型，討論了馬氏體體積分?jǐn)?shù)在彈簧絲截面上的變化情況。 通過NiTi彈簧試件的多級加載試驗(yàn)，驗(yàn)證了文中方法的有效性和正確性。 文中考慮彈簧絲截面彎矩的影響，通過對比模擬和試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在彈簧變形中，彈簧絲截面彎矩會影響彈簧的力-位移關(guān)系曲線，且其影響會隨著彈簧位移幅值的增加而增大，故在進(jìn)行彈簧力-位移關(guān)系的研究時，考慮彈簧絲截面彎矩的影響可以使結(jié)果更加準(zhǔn)確，更符合實(shí)際。