王國威，張 鵬，盧文勝*

(1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092；2.江西理工大學 土木與測繪工程學院，江西 贛州 341000)

索網(wǎng)幕墻采光頂是近年來興起的一種建筑外圍護體系，因其美觀輕盈、通透性能優(yōu)越，被廣泛應用于多功能商業(yè)中心、體育場館和機場航站樓等大型公共設施，如北京金成大廈[1]、聯(lián)想融科資訊中心[2]和德國海爾布隆車站[3]等。其中，懸索作為此類結構的基本承力單元，具有剛度低、非線性強的特點，在風、地震及環(huán)境振動等諸多不利因素作用下，有可能發(fā)生大變形和索力突變，尤其是連接于兩主體結構的采光頂懸索，在強震作用下，主體結構若發(fā)生相對位移振動，懸索會發(fā)生過度張拉或松弛現(xiàn)象，甚至會出現(xiàn)斷絲破壞。因此，懸索的靜動力特性和動力響應研究受到廣泛關注。

國內(nèi)外學者對懸索的靜動力特性開展了深入的研究。Irvine等[4]根據(jù)線性理論，建立小垂跨比（小于1∶8）懸索的自由振動方程，得到綜合反映懸索幾何形狀及材性的Irvine系數(shù)。Rega等[5]進一步考慮懸索的強非線性效應，建立了彈性懸索的大振幅自由振動偏微分方程，研究其垂跨比在較大范圍內(nèi)的非線性現(xiàn)象，并指出懸索的軟、硬化行為取決于自身特性和振幅。沈世釗等[6]系統(tǒng)地闡述了懸索的靜力解析和有限元計算方法，并通過部分算例驗證方法的有效性。為考慮不同邊界條件的影響，劉海濤等[7]采用多尺度法研究索–梁耦合結構的非線性行為，分析得出主共振下兩者剛度比較大時，索從剛度硬化轉(zhuǎn)變?yōu)檐浕旱姆蔷€性行為消失；Zhang等[8–9]對比分析端部固定和增設彈簧的懸索結構的靜動力特性，計算表明，邊界約束降低會導致懸索變形增加，索力降低。

在索網(wǎng)幕墻采光頂?shù)葘嶋H工程中，支承懸索的主結構質(zhì)量遠大于索結構本身，故主結構的運動也被視為支座激勵施加于懸索端部。Perkins[10]通過對懸索平面內(nèi)、外耦合模態(tài)的近似描述，檢驗了所提出的兩自由度懸索非線性振動方程的正確性。Benedettini等[11]基于連續(xù)化理論，建立支座激勵下懸索的四自由度模型，并討論了幾何性質(zhì)等參數(shù)對系統(tǒng)動力響應的影響。Guo等[12]考慮幾何非線性和索–支承耦合效應建立懸索振動簡化模型，并通過數(shù)值方法進行驗證。此外，在索結構振動測試方面，胡俊等[13]實測了某懸索橋的風振響應，監(jiān)測數(shù)據(jù)表明，日常風環(huán)境下吊索為高頻渦激振動。賀文宇等[14]以兩端固定的斜索為例，通過有限差分法計算索的模態(tài)參數(shù)，探究了斜拉索傾角對索力識別精度的影響。桂成中等[15]提出一種索力增量校驗系數(shù)的方法，用于評定拉索和吊桿的技術狀況。懸索在隨機荷載下的響應研究則較少，Georgakis等[16]基于有限元法分析了斜拉索在豎向激勵下的面內(nèi)、外振動位移。任淑琰等[17]采用解析方法對斜拉索在軸向隨機激勵下的參數(shù)振動進行分析。王波等[18]研究了斜拉索在橫橋向激勵下面內(nèi)的耦合振動特性，結果表明，在一定的橫向激勵下，拉索由于耦合作用其面內(nèi)振動將被激發(fā)。

懸索作為采光頂?shù)闹饕芰嫾蛑尾Ａ姘寰哂幸欢ǖ拇苟?，主體結構的相對位移振動將作為支座激勵導致懸索構件產(chǎn)生不利的變形。因此，本文主要研究支座激勵下具有一定垂度懸索的動力特性和動力響應。綜上，現(xiàn)有研究大多集中在理論分析層面，從試驗角度對懸索在支座激勵下的動力響應研究不足，且多數(shù)文獻尚未考慮支座隨機激勵及垂度對懸索動力特性和響應的影響。為進一步開展支座簡諧激勵下懸索動力特性、響應的試驗和數(shù)值分析，對比了兩者結果驗證數(shù)值模型的正確性，并對支座隨機激勵下懸索的動力響應進行了參數(shù)研究，對相鄰結構間索網(wǎng)幕墻采光頂?shù)脑O計與應用具有一定的工程參考價值。

1 支座簡諧激勵下懸索動力特性及響應試驗

1.1 試驗設計與加載

為獲取懸索在支座激勵下的動力特性和動力響應，在同濟大學土木工程防災國家重點實驗室設計并搭建試驗平臺，包括試驗模型、加載裝置及力與位移傳感器等。試件采用直徑為10 mm的1×19鍍鋅鋼絞線，跨度為7.3 m，最小破斷力為69.5 kN，其中單根鋼絲強度為1 320 MPa。將懸索試件一端通過耳板鉸接于反力墻上，另一端同樣與加載裝置鉸接連接，且在索上附加若干數(shù)量的配重塊，由MTS作動器直接通過加載裝置對懸索施加水平支座激勵。

首先，建立小垂度懸索面內(nèi)的無阻尼自由振動頻率方程[19]，其歸一化后的表達式為：

式中： ωn為懸索的正對稱模態(tài)頻率；n為頻率階數(shù)；α=E·A/H為懸索軸向剛度與索力比，H為初始索力，E和A分 別為彈性模量和截面面積；b=w/l為懸索跨中垂度（w）與跨度（l）之比。

由表達式（1）可知， αb2可以綜合考慮垂跨比、索力及材料常數(shù)對懸索振動特性的影響。因此，下文將其作為關鍵參數(shù)研究懸索在支座激勵下的動力特性和動力響應。

為研究變形特征參數(shù) αb2的影響，設計3組懸索試件參數(shù)（ αb2= 0.04、0.08、0.19），保持跨度不變，通過調(diào)整索力及配重數(shù)改變垂跨比。懸索Ⅰ、Ⅱ等間隔布置8個配重，懸索Ⅲ等間隔布置17個配重，單個配重為24 kg，具體懸索試件參數(shù)見表1。

表1 懸索試件參數(shù)Tab.1 Parameters of the small-sagged cable

支座激勵方式為簡諧位移荷載，荷載工況分變幅值和變頻率加載，考慮MTS作動器的加載能力，兩組加載工況列于表2。試驗的整個加載過程為：首先，通過懸索端部張緊裝置施加1 kN的初始拉力，固定限位構件以防止安裝配重過程中懸索發(fā)生松弛；其次，釋放限位約束，檢查各傳感器及采集儀工作狀態(tài)，并通過作動器控制索力在預定值附近；最后，采用正弦波位移激勵：Xd(t)=Dsin(2πft)，使MTS作動器連續(xù)往復加載30周，兩組工況的總加載時間t分別為25和60 s，加載完畢后讓懸索自由振動，直至振動停止，測量懸索的頻率和阻尼比。

表2 試驗加載工況Tab.2 Cases of the testing

試驗采用力傳感器和位移計2種傳感器。在懸索兩端分別安裝一個量程為5 t的力傳感器，實時量測索力大小；在懸索跨度的1/3、1/2和2/3位置處各布置一個量程為750 mm的位移計，用來測量懸索面內(nèi)的豎向動位移；力傳感器和位移計的采樣頻率均設定為50 Hz，并通過數(shù)據(jù)采集儀記錄各傳感器數(shù)據(jù)。在懸索下方搭設防護架以防止配重塊墜落損壞試驗設備，試驗測點及裝置示意圖和加載裝置現(xiàn)場照片如圖1、2所示。

圖1 試驗測點及裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of test measuring points and device

圖2 懸索試驗裝置Fig.2 Testing setup of the small-sagged cable specimen

1.2 試驗結果與分析

1.2.1 懸索動力特性

圖3為各懸索在自由振動階段由位移計實測數(shù)據(jù)計算所得的基頻，從圖3中可以看出：隨著 αb2的增加，懸索基頻 ω1從2.07 Hz降低至1.90 Hz。在邊界條件相同的情況下，懸索的剛度隨垂跨比的增加而降低。在支座簡諧激勵完畢后，以懸索Ⅰ （ αb2= 0.04）和懸索Ⅲ（ αb2= 0.19）為例，提取跨中自由振動曲線并計算懸索等效黏滯阻尼比ξ[20]，自由衰減法計算公式如下：

圖3 不同 α b2下 懸索的基頻ω1Fig.3 Base frequencies of the small-sagged cable with differentαb2

式中，vr和vr+s分別為r和r+s時刻出現(xiàn)的相鄰正波峰。

圖4為懸索的自由振動曲線，隨著變形特征參數(shù)αb2的增加，自由振動曲線的指數(shù)分布規(guī)律特征逐漸明顯，通過指數(shù)擬合得到懸索Ⅰ與Ⅲ的阻尼比分別為1.2%、0.8%。

圖4 懸索Ⅰ、Ⅲ的自由振動曲線Fig.4 Free vibration of the small-sagged Cable Ⅰ and Ⅲ

1.2.2 懸索動力響應

以懸索跨度1/2位置處為例，選取懸索Ⅰ和Ⅲ為研究對象，分析 αb2對支座激勵下懸索動力響應及動力特性的影響，獲得動力響應時程曲線，如圖5所示。為便于對照，工況1和2均截取前25 s的時程曲線。由圖5（a）可知：在工況1支座激勵下，懸索面內(nèi)動位移幅值 j?wmaxj隨 αb2的增加而增大， j ?wmaxj增加27.7 %。相反地，動索力幅值 j?Hmaxj隨 αb2的增加而明顯減小，j?Hmaxj降 低69.1 %；當 αb2= 0.19時，除0 ～ 5 s時間段內(nèi)的索力變化較大外，5 ～ 25 s時間段內(nèi)， j?Hmaxj均在1.5 kN附近波動，分析主要原因是：懸索的初始垂度較大，施加相同的支座激勵，索力變化較小。由圖5（b）可知，在工況2支座激勵下，面內(nèi) j?wmaxj和j?Hmaxj的變化也表現(xiàn)出相同的規(guī)律，動位移幅值略有增大，但 j ?Hmaxj降低29.4 %。

圖5 不同α b2下懸索動力響應時程曲線Fig.5 Dynamic response curves of the small-sagged cable with differentαb2

2 數(shù)值模擬

2.1 數(shù)值模型建立

采用ANSYS軟件建立懸索數(shù)值模型，模型尺寸（l×A）、配重塊數(shù)目及彈性模量E均與試驗構件相同，泊松比μ=0.3，密度取鋼材材料密度ρ=7 800 kg/m3。懸索截面較小，忽略自身抗彎剛度對面內(nèi)振動的影響，采用Link 10僅受拉單元模擬，通過初位移 ?L施加初始索力，配重塊采用Mass 21結構質(zhì)量單元模擬，不考慮轉(zhuǎn)動慣量效應。懸索模型一端（A端）為鉸接約束，另一端（B端）釋放X方向約束，由于主要研究懸索面內(nèi)（X、Y向）的振動，故同時約束索體Z向平動位移。采用絕對位移加載，在支座位置處施加與試驗相同的正弦波位移激勵Xd(t)，計算模型如圖6所示。

圖6 支座激勵下懸索振動計算模型Fig.6 Computing model of a small-sagged cable under support excitations

具體建模過程如下：

1）根據(jù)試驗構件建立幾何模型，定義并賦予各部分材料屬性，將模型劃分為50個單元，并施加初始索力及設置模型邊界條件。

2）進行懸索靜力計算，打開“NLGEOM”命令，考慮重力和幾何非線性影響，對懸索進行找形分析，獲得靜載下懸索 αb2的試驗和有限元對比值。

3）修正模型坐標，定義計算和擴展模態(tài)數(shù)，計算懸索的1階頻率，并與試驗實測結果對比。

4）采用完全法瞬態(tài)動力分析，假定各階模態(tài)阻尼比相同，將實測阻尼比 ξ轉(zhuǎn)化為Rayleigh阻尼，并通過命令“ALPHAD”和“BETAD”定義阻尼系數(shù)；時間步長 ?t=0.05 s，采用水平支座簡諧激勵進行模擬試驗加載；最后，提取懸索響應結果曲線并與試驗結果對比分析。

2.2 數(shù)值模擬與試驗結果對比驗證

表3給出了3組懸索試件靜載下索力H、撓度b、αb2及1階頻率的對比結果。由表3可知，有限元計算結果與試驗結果非常接近，對于懸索Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ，各參數(shù)誤差均在5%～12%以內(nèi)。

表3 靜力及頻率計算對比結果Tab.3 Comparison results of static and frequency calculation

以懸索Ⅱ跨度1/2位置為例，圖7給出了工況1和2下動力響應試驗結果和數(shù)值模擬結果的對比，由圖7可知：1）懸索Ⅱ在工況1下的動位移幅值 j?wmaxj和索力幅值 j?Hmaxj變 化較工況2更為明顯， j?wmaxj和 j?Hmaxj分別為44.37 mm和4.02 kN，數(shù)值模擬和試驗結果在部分峰值處略有差異，但平均索力和平均位移變化幅值誤差均在12 %以內(nèi)，主要原因是：在高頻的支座激勵下，懸索上的配重塊剛心與質(zhì)心不完全重合，配重發(fā)生少量偏轉(zhuǎn)，對剛度有一定的影響，從而導致計算與試驗存在誤差，但兩者結果的幅值變化趨勢和相位均保持同步。2）相比于工況1，工況2的位移和索力變化相對平穩(wěn)，且數(shù)值模擬和試驗結果吻合較好，數(shù)值模擬和試驗的 j ?wmaxj、 j ?Hmaxj的誤差分別為5.4%、6.8%。綜合上述結果可知，懸索動力特性及響應試驗結果與數(shù)值模擬結果均吻合較好，驗證了有限元模型的準確性。

圖7 懸索Ⅱ（= 0.08）試驗結果與數(shù)值模擬結果對比Fig.7 Comparison of test results and numerical simulations results for Cable Ⅱ(α b2 = 0.08)

在前文驗證有限元建模方法正確的前提下，以懸索Ⅰ（ αb2=0.04）的有限元模型為例，令支座簡諧激勵頻率f=2.07 Hz，研究不同阻尼比 ξ下懸索的1階共振響應，總加載時間為15 s，獲得共振響應時程曲線如圖8所示。從圖8可以看出：當阻尼比 ξ=0.01時，動位移和動索力呈周期性的“震蕩”變化，但其幅值 j?wmaxj和 j?Hmaxj總體呈下降的趨勢；當阻尼比 ξ= 0.20時，位移和索力變化均呈現(xiàn)平穩(wěn)變化，j?wmaxj、 j?Hmaxj分別穩(wěn)定在20 mm、4 kN附近。值得注意的是，隨著阻尼比的增加，懸索1階共振下位移和索力的響應均受到不同程度的控制，位移控制較索力下降明顯， j?wmaxj降 低64.0 %， j?Hmaxj降低33.2 %。從側(cè)面反映出，若在工程中的索網(wǎng)采光頂懸索端部或連接件部位布置黏滯、黏彈或摩擦阻尼器等裝置，將會有效地降低懸索的位移和索力響應。

圖8 不同阻尼比 ξ下懸索1階共振響應時程曲線（α b2=0.04）Fig.8 First-order resonance responses of the small-sagged cable with different ξ (α b2=0.04)

3 支座隨機激勵下懸索動力響應分析

風、地震及環(huán)境振動等屬于非確定性作用，均具有一定的隨機性，因此，研究懸索在隨機激勵下的動力響應具有重要的現(xiàn)實意義。為討論懸索在支座隨機激勵下的動力響應，在前文工作的基礎上，以理想高斯白噪聲模擬隨機環(huán)境激勵，分析懸索控制參數(shù) αb2、阻尼比 ξ和激勵強度S0對懸索隨機動力響應的影響。

基于有限元法將懸索離散，對于阻尼較小的懸索結構，由振型j產(chǎn)生的響應與振型k的響應近似滿足統(tǒng)計獨立[6]，則位移響應譜密度Sui(ω)可表示為：

式中，SF j(ω)為 激勵的譜密度函數(shù)， ω為激勵圓頻率，ωj為 懸索第j振型圓頻率， ?ij為第i自由度的第j振型值，J為振型總數(shù)，為傳遞函數(shù)的模。對式（3）進行積分求和，可得位移響應均方差：

隨機激勵下懸索第e個單元的索力響應 ?Te為：

采用均值為0、激勵強度為S0的理想高斯白噪聲D(t)作為支座水平激勵，其自相關函數(shù)可表示為：E[D(t)D(t+τ)]=2πS0δ(τ)， 其中， δ (τ)為Dirac–δ函數(shù)，τ為時間間隔，E[·]為 [·]的期望。以試驗中懸索Ⅰ的幾何和材料參數(shù)為例，在ANSYS中建立支座隨機激勵下懸索的數(shù)值模型，并進行隨機振動計算（PSD功率譜密度分析）。主要建模過程如下：

1）懸索幾何建模、單元類型、單元劃分及邊界約束與簡諧激勵相同，將初始索力H直接施加在釋放X方向自由度的索端支座處。

2）靜力計算完畢后，定義計算模態(tài)和擴展模態(tài)，同時令“ELCALC = YES”計算應力結果。

3）采用位移譜作為水平支座激勵，由于軟件輸入的要求，將雙邊譜轉(zhuǎn)換為單邊譜進行加載，定義計算頻率范圍為0.1～10.0 Hz，激勵強度S0為0.01～0.20 m2/(rad·s?1)。

4）在PSD分析過程中，支座激勵的縮放系數(shù)取為1，采用自動時間步，阻尼比 ξ通過命令“DMPRAT”施加，采用“PSDCOM”命令計算懸索位移及索力響應的均方差（1σ），即位于–1σ～1σ區(qū)間發(fā)生概率為68.3 %的結果量。

3.1 參數(shù) αb2對懸索位移及索力響應的影響

首先，研究參數(shù) αb2對支座隨機激勵下懸索動力響應的影響，計算不同 αb2下的懸索位移和索力響應，結果如圖9所示。

圖9（a）、（b）為3組 αb2的懸索跨中1/2位置處的位移、索力響應譜，可以發(fā)現(xiàn)，兩者結果符合正態(tài)分布。由于 αb2與結構特性直接相關，隨著 αb2的增加，懸索動力響應譜幅值出現(xiàn)左移，說明結構頻率逐漸降低，這也與圖3中試驗的實測結果相一致。在相同的激勵強度S0和阻尼比 ξ下，懸索動力響應隨 αb2的增加而顯著加大，位移響應譜幅值增加了3倍，索力響應譜幅值甚至增加了20倍。圖9（c）為懸索響應的均方差與 αb2的 關系，可知： αb2從0.04增加至1.0的過程中，位移和索力的均方差呈上升趨勢，但增加的幅度隨 αb2的增加而逐漸降低；當 αb2= 1.0時，懸索的位移均方差為0.339 m，增加了3.3倍，索力均方差為2.1 kN，增加了3.17倍。該規(guī)律反映出 αb2較大的懸索，其位移和索力響應對支座的隨機激勵更加敏感。

圖9 不同α b2下 懸索的位移、索力響應（S0=0.01, ξ=0.05）Fig.9 Responses of the small-sagged cable with different αb2 (S0=0.01, ξ=0.05)

3.2 阻尼比ξ 對懸索位移及索力響應的影響

取不同的懸索阻尼比ξ，分析其對懸索位移及索力響應的影響。不同ξ 下懸索的動力響應譜如圖10（a）、（b）所示，可知：當ξ=0.01時，位移和索力響應譜幅值最大，分別為0.58 m2/Hz和11.55 kN2/Hz；當 ξ=0.05時，位移和索力響應譜幅值已降低至0.02 m2/Hz和0.47 kN2/Hz。對比兩組結果，可以發(fā)現(xiàn)，懸索位移和索力響應已被顯著抑制。從圖10（c）懸索響應的均方差曲線也能看出，位移和索力均方差隨著阻尼比ξ的增加而降低，當ξ= 0.20時，兩者分別減小68.1 %和75.3 %；另外，兩者曲線下降趨勢逐漸變緩，表明當ξ＜0.10時，位移和索力響應對阻尼比的變化敏感性較高，增加 ξ帶來的抑制效果顯著。上述規(guī)律與支座簡諧激勵下懸索1階共振響應隨阻尼比 ξ的變化相同，也進一步說明增加懸索系統(tǒng)阻尼將明顯降低位移和索力響應。

圖10 不同 ξ下懸索的位移、索力響應（S0=0.01, α b2=0.04）Fig.10 Responses of the small-sagged cable with different ξ (S0=0.01, α b2=0.04)

3.3 激勵強度S0對懸索位移及索力響應的影響

若支座所受的隨機環(huán)境激勵強度S0發(fā)生改變，系統(tǒng)的動力響應也將隨之變化。計算不同激勵強度S0下的懸索動力響應，如圖11所示。

圖11 不同S0下懸索的位移、索力響應（ ξ =0.05, α b2=0.04）Fig.11 Responses of the small-sagged cable with different S0 ( ξ =0.05, α b2=0.04)

圖11表 明，在 相 同 的 αb2和 阻 尼 比 ξ 下，、及位移、索力均方差均隨S0的增加而增大；對應的增加了7.1倍，增加了6.9倍，響應均方差曲線斜率逐漸減小，但總體呈上升趨勢。

4 結 論

本文首先進行了懸索在支座簡諧激勵下動力特性及響應的試驗和數(shù)值模擬研究，對比兩者結果驗證模型的正確性；其次，通過數(shù)值方法計算懸索在支座隨機荷載激勵下的動力響應，并分析響應譜及均方差隨 αb2、 阻尼比 ξ和激勵強度S0關鍵參數(shù)的變化規(guī)律，得到的主要結論如下：

1）設計并開展懸索在支座簡諧激勵下的動力響應試驗，分析不同 αb2下懸索動力響應的變化：在兩組工況下，懸索動位移隨 αb2的增加而小幅增加；相反地，動索力隨 αb2的增加而明顯增大。結果表明，相同的支座簡諧激勵下，相比于位移響應，索力響應對懸索的關鍵參數(shù) αb2更加敏感。

2）建立懸索試件有限元模型，模型結果與懸索自由振動試驗實測頻率、靜載下實測垂跨比及各工況下懸索試件動力響應試驗結果吻合較好，從而驗證了有限元模型的正確性。

3）對支座簡諧激勵下懸索的1階共振響應進行有限元計算，結果表明，懸索動位移受阻尼比 ξ的影響更大，且時程響應變化平穩(wěn)。

4）在支座隨機激勵下，通過數(shù)值方法討論了 αb2、ξ和S0對懸索位移及索力響應的影響。計算表明，兩種響應譜值和均方差均隨參數(shù) αb2、激勵強度S0的增加而增大，隨阻尼比 ξ的增加而減小，且變化幅度逐漸降低，說明3種參數(shù)對懸索動力響應的影響會逐步減弱。