滿 玉 紀(jì)昌武

(天津市濱海新區(qū)田家炳中學(xué),300480)

單元教學(xué)理念強(qiáng)調(diào)知識間的內(nèi)在聯(lián)系,通過提供學(xué)習(xí)框架和基本線索,搭建溝通章節(jié)知識的橋梁,使學(xué)生數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有的放矢、張弛有度.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),也是具有數(shù)學(xué)特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn),其形成和發(fā)展有利于單元結(jié)構(gòu)的形成和知識體系的構(gòu)建[1].單元教學(xué)理念與課堂教學(xué)的融合,讓教學(xué)的方向清晰化─為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成而教，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的導(dǎo)向.本文以“組合(1)”教學(xué)為例，對此進(jìn)行探究.

一、運(yùn)用整體化教學(xué)策略培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在單元整體設(shè)計(jì)指導(dǎo)下,數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中知識、方法、思想都不再是一些孤立的點(diǎn),而是能納入系統(tǒng)結(jié)構(gòu)之中、前后貫通的新的生長點(diǎn).單元教學(xué)對數(shù)學(xué)課堂的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)不止于一章起始課的綜合引領(lǐng),更大的意義在于對教材整體的把握和思考以及單元教學(xué)理念帶給課堂教學(xué)的素養(yǎng)導(dǎo)向.

“組合”選自高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第三冊第六章“兩個計(jì)數(shù)原理”,屬于“概率與統(tǒng)計(jì)”主線內(nèi)容.在教學(xué)中依據(jù)單元教學(xué)理念,對這兩課時的教學(xué)內(nèi)容作出如下劃分:第一課時的教學(xué)內(nèi)容是組合的定義、組合數(shù)的定義、組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系;第二課時的教學(xué)內(nèi)容是組合數(shù)公式、應(yīng)用及性質(zhì)．這樣,學(xué)生在第一課時對“組合”能有一個整體性的認(rèn)識,初步建立一個較為系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu),便于第二課時更加深入地學(xué)習(xí)組合數(shù)的公式及應(yīng)用．在單元教學(xué)理念下,“組合(1)”的課堂教學(xué),注重知識的系統(tǒng)化和邏輯性,從課堂引入到課堂小結(jié),由始至終貫穿單元整體教學(xué)意識,利用思維導(dǎo)圖前后映照,為新課內(nèi)容納入知識體系做好鋪墊,為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育埋下伏筆．例如課堂小結(jié)如圖1所示:

啟發(fā)學(xué)生繪圖于心,表達(dá)于口,在頭腦中構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),將所學(xué)新知、思想方法、核心素養(yǎng)等納入其中,從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流、表達(dá)的能力和及時總結(jié)的習(xí)慣,促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)發(fā)展提升.

二、運(yùn)用情境化教學(xué)策略激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)興趣

創(chuàng)設(shè)合適情境是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)的另一關(guān)注點(diǎn)[2].單元教學(xué)理念下的情境創(chuàng)設(shè),更加注重情境的整體性和聯(lián)系性,更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和求知欲.單元教學(xué)視角下的“組合(1)”一課,情境的設(shè)計(jì)注重連貫性,有意識地結(jié)合學(xué)校、班級、時事、民生等設(shè)計(jì)問題,重視對學(xué)生進(jìn)行思想品德教育;重視過程性評價,關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展,融德育教育、文化價值的滲透于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程之中.

例如在“組合”課的開端,以校園生活實(shí)例引發(fā)思考:“國學(xué)教育是我校的校園文化特色,為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,我校特舉辦國學(xué)知識競賽,現(xiàn)要從高二(七)班52名同學(xué)中選出3人參賽,有多少種不同的參賽方法?你能用學(xué)過的知識解決這個問題嗎?”由于問題解決需要本節(jié)課新知的學(xué)習(xí),學(xué)生不可避免地遇到困難,產(chǎn)生認(rèn)知沖突.教師傾聽并鼓勵學(xué)生嘗試將問題變式,使之成為排列問題,順勢追問兩者有什么聯(lián)系和區(qū)別,從而加深對排列的理解和對新問題的認(rèn)識.若學(xué)生思維受阻,可引導(dǎo)學(xué)生思考兩方面:第一,要完成的一件事分別是什么？比較異同；第二,參賽方法有什么不同,是否與順序有關(guān)?學(xué)生經(jīng)歷思維沖突,對比分析,體會到引入新知的必要性,激發(fā)解決問題的意識和自主學(xué)習(xí)的愿望,自然引出課題.

在“應(yīng)用提升”環(huán)節(jié),沿用國學(xué)知識競賽背景,有層次地設(shè)計(jì)題目,一是保持本節(jié)課研究問題背景的連貫性;二是緊貼學(xué)生生活實(shí)際,讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活的理念．加強(qiáng)聯(lián)系普遍性觀點(diǎn)的形成和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展,同時增強(qiáng)愛校愛國的家國情懷.另外本節(jié)課還可以從生活背景、課件展示、實(shí)踐操作、自主探究、小組討論等多方面，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)對自我學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)行為進(jìn)行觀察、審視、調(diào)節(jié)的情境,從而促進(jìn)他們自我認(rèn)知、自我調(diào)整、自我指導(dǎo)和自我強(qiáng)化,形成內(nèi)驅(qū)力,進(jìn)入自主學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育狀態(tài).

三、運(yùn)用深度化教學(xué)策略促進(jìn)核心素養(yǎng)落地

單元理念指導(dǎo)下的教學(xué),更加關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展和知識生成過程,突出知識主線和知識間的聯(lián)系.“組合”的概念是從兩個計(jì)數(shù)原理出發(fā),類比排列的研究方式來研究的,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.在已有的活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上抓住知識的連接點(diǎn),尋找新知的生長點(diǎn),通過“概念形成—概念辨析—概念鞏固”三環(huán)節(jié),有效地推動學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的長遠(yuǎn)發(fā)展.

1.“組合”概念的形成

從具體實(shí)例出發(fā)抽象概括“組合”定義.設(shè)計(jì)如下:

問題1下面哪個是組合問題?為什么?

① 從甲、乙、丙3人中選出2人分別參加上、下午的活動,有多少種不同的選法?

② 從甲、乙、丙3人中選出2人去參加一項(xiàng)活動,有多少種不同的選法?

問題2請將② 的具體背景舍去,該如何進(jìn)行表述?

追問如何將問題推廣到一般情形?

以問題串引導(dǎo)學(xué)生列舉、觀察、思考、表達(dá),推動思維發(fā)展.在這個過程中，學(xué)生認(rèn)識到只有元素相同、順序也相同的兩個排列才是“相同的排列”;只要元素相同,順序無論怎樣的兩個組合都是“相同的組合”.自覺掌握從“特殊”到“一般”的研究方法,同時培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

2.“組合”概念的辨析

問題3根據(jù)問題1的兩個具體例子,你能說一說排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別嗎?

通過實(shí)例第一次以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)，研究排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別,并結(jié)合以下問題操作思考:

(1)先指導(dǎo)學(xué)生列舉問題① 中的排列,觀察具有相同元素的排列共有幾組?

(2)問題① 、② 中“所取得的元素”是否相同?它們與順序是否有關(guān)?

(3)“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的組合”與“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的排列”的聯(lián)系與區(qū)別是什么?

問題4根據(jù)排列與組合的定義,你能舉出生活中排列與組合的實(shí)例嗎?

利用多媒體展示生活場景,不僅有學(xué)生熟悉的“衛(wèi)生值日”，“共享單車擺放”,還有當(dāng)前抗擊疫情“白衣天使”忙碌工作等場景,兩人一組,一問一答,互相出題,互相評價;教師巡視,個別指導(dǎo)思考：① 要完成的“一件事”是什么?② 完成的“一件事”是否與“順序”有關(guān)?

活動中蘊(yùn)含參與意識、合作學(xué)習(xí)、自主思考、交流表達(dá),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)、語言表達(dá)能力和思維的敏捷性.結(jié)合生活實(shí)際適時點(diǎn)撥:排列體現(xiàn)責(zé)任擔(dān)當(dāng),組合體現(xiàn)團(tuán)結(jié)的力量，自然滲透德育教育和數(shù)學(xué)文化教育.引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷陶冶情操,感受生命意義和價值意義.

3.“組合”概念的鞏固

引例平面內(nèi)有A，B，C，D共4個點(diǎn)，

(1)以其中2個點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?

(2)以其中2個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?

引導(dǎo)學(xué)生利用排列和組合之間的關(guān)系,以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類,幫助學(xué)生進(jìn)一步建立起(1)中排列和(2)中組合的對應(yīng)關(guān)系．這是學(xué)生第二次以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)體會排列與組合之間對應(yīng)關(guān)系,從實(shí)例中的排列與組合的對應(yīng)關(guān)系出發(fā),明確“相同的兩個排列”、“相同的兩個組合”滿足的條件,滲透由排列數(shù)求組合數(shù)的思路方法,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng),同時為后面組合數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

四、運(yùn)用活動化教學(xué)策略助推核心素養(yǎng)提升

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的主要路徑是數(shù)學(xué)活動.讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程,提出猜想和假設(shè)并進(jìn)行驗(yàn)證推理,不僅能調(diào)動學(xué)生參與的積極性，還能促進(jìn)學(xué)生由感性思維向理性思維的轉(zhuǎn)化.

1.引入組合數(shù)

問題1通過數(shù)數(shù)能解決以上引例中的組合問題．那么所有的組合問題都適合用這種方式解決嗎?

學(xué)生表示元素較多時,列舉數(shù)數(shù)不方便．這時教師展示引例變式排列問題,啟發(fā)提問:排列的個數(shù)能解決嗎?學(xué)生表示能用排列數(shù)表示,用排列數(shù)公式計(jì)算.此時學(xué)生頓悟,教師順勢引導(dǎo),引入組合數(shù)計(jì)算公式水到渠成.

問題2為了方便表達(dá)、計(jì)算組合個數(shù),我們類比排列數(shù),引入組合數(shù)的定義和表達(dá).怎樣給組合數(shù)下個定義呢?

追問引例中組合問題怎樣用組合數(shù)表示?并說明組合與組合數(shù)有何區(qū)別.

排列和組合是兩類不同的計(jì)數(shù)問題,兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系.通過展示、對比、類比,引發(fā)思維沖突,感受引入組合數(shù)的必要性,激起探究組合數(shù)計(jì)算方法的愿望,達(dá)到知識的遷移內(nèi)化.

2.探究組合數(shù)的計(jì)算

問題4研究以下題組,以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn),體會排列與組合之間的對應(yīng)關(guān)系.

展示題組1(引例)

追問:2倍是怎么產(chǎn)生的?

展示題組2

(1)從4個不同的元素中取出3個元素排成一行,有多少種不同的排法?

(2)從4個不同的元素中取出3個元素,共有多少種不同的取法?

“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”,只有將單元教學(xué)這一理念深植于常態(tài)課堂,帶著學(xué)生跳出數(shù)學(xué)去看數(shù)學(xué),才能感悟到數(shù)學(xué)的本質(zhì).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是某一個知識或某一堂課就能達(dá)成的,而是通過思維的培養(yǎng)和積累逐步實(shí)現(xiàn)的.單元理念下的課堂教學(xué),可超越課時的局限,客觀、全面地認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì),推動學(xué)生思維的發(fā)展,把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透和達(dá)成真正落到實(shí)處.