廣西南寧市第三中學(xué)（530021）劉 輝

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)圖像和性質(zhì)的重要工具，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容。導(dǎo)數(shù)的教學(xué)不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，訓(xùn)練學(xué)生分析問題和解決問題的能力，還可以滲透函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想。由于導(dǎo)數(shù)解答題中的函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，常含有指數(shù)式或?qū)?shù)式等超越式，常需高深的構(gòu)造函數(shù)或運(yùn)算的技巧，有時還需要進(jìn)行多次含參討論，讓不少學(xué)生找不到解題的突破口。當(dāng)函數(shù)中含有指數(shù)式或?qū)?shù)式等超越式時，可以采用“團(tuán)結(jié)指數(shù)”“孤立對數(shù)”“指對分離”“利用同構(gòu)”“適當(dāng)放縮”等解題技巧。文章以一些典型問題為例，講解這五種技巧，為學(xué)生提供明確清晰的解題思路。

一、團(tuán)結(jié)指數(shù)

如果一個函數(shù)由指數(shù)式ex和多項式構(gòu)成，則通常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如h(x)·ex或h(x)·e?x的形式，由于(ex·h(x))′=ex(h(x)+h′(x))，(e?x·h(x))′=e?x(?h(x) +h′(x))，ex為正數(shù)，導(dǎo)數(shù)只要正負(fù)，求導(dǎo)后就不需要再研究指數(shù)式了，此時問題就簡化為研究多項式h(x)和h′(x)的正負(fù)情況，進(jìn)行分類討論即可求解。這種將ex或e?x與多項式乘在一起當(dāng)作新函數(shù)來研究的方法，稱為“團(tuán)結(jié)指數(shù)”。

［例1］（2020 年全國Ⅰ卷第21 題第2 問）已知函數(shù)f(x)=ex+ax2?x。當(dāng)x≥0 時，f(x) ≥求a的取值范圍。

問題1：本題屬于導(dǎo)數(shù)中的哪種類型？這類問題有哪些常見解法？

由題意可得，ex≥，本題屬于不等式恒成立問題，最常見的解法有分離變量法和直接求導(dǎo)分類討論法。分離變量法的解題思想是將“含參”問題轉(zhuǎn)化為“無參”問題，本題可以利用這種方法求解，但運(yùn)算量較大，對學(xué)生的計算能力要求極高。若直接作差、求導(dǎo)，再分類討論，導(dǎo)數(shù)中仍含ex和多項式，且含有參數(shù)，看不出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，也不可以分解因式，沒辦法進(jìn)行討論。

問題2：分類討論法用不了，分離變量法計算又太繁雜，我們應(yīng)從哪個角度思考呢？

這里注意到x≥0，e?x>0，故只需要討論(x?2a?1)(x?2)的符號情況。

問題3：這種與二次函數(shù)有關(guān)的導(dǎo)數(shù)題目，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

通常比較導(dǎo)數(shù)等于0 的兩根的大小，還要拿這兩根與區(qū)間的端點(diǎn)值進(jìn)行大小比較，因此2a+1 既要和2進(jìn)行大小比較，也要與0進(jìn)行大小比較。

（1）當(dāng)2a+1 ≤0,即a≤時，當(dāng)x∈(0,2)時，g′(x) >0,故g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，此時g(x) >g(0)=1，不符合題意。

（2）當(dāng)0<2a+1<2，即時，x∈(0,2a+1)時，g′(x) <0，g(x)單調(diào)遞減；x∈(2a+1,2)時，g′(x) >0，g(x) 單調(diào)遞增；x∈(2a+1,+∞) 時，g′(x) <0，g(x)單調(diào)遞減。

總結(jié)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握本題中轉(zhuǎn)化函數(shù)結(jié)構(gòu)的背景：當(dāng)指數(shù)式ex和多項式同時出現(xiàn)時，常轉(zhuǎn)化為ex或e?x與多項式乘積的結(jié)構(gòu)。另外，也需要學(xué)生總結(jié)不等式恒成立問題的各種處理方法，以及含參分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，做到學(xué)一題、得一法、會一類。

二、孤立對數(shù)

當(dāng)0 0，則分子2xlnx+(k?1)(x2?1)>0；當(dāng)x>1時，分母x(1 ?x2)<0，則分子2xlnx+(k?1)(x2?1) <0，即 函 數(shù)y=2xlnx+(k?1)(x2?1)在(0,1)上為負(fù)數(shù)，在(1,+∞)上為正數(shù)。

問題2：這種不等式問題，一般先求導(dǎo)，再研究單調(diào)性即可，大家試一下，過程中會遇到什么障礙？

如果我們把分子當(dāng)成一個新函數(shù)y=2xlnx+(k?1)(x2?1)，求導(dǎo)，得y′=2(1+lnx)+2(k?1)x，導(dǎo)數(shù)會帶有l(wèi)nx，且含有參數(shù)k，不易處理，若再次求導(dǎo)，二階導(dǎo)數(shù)中仍有參數(shù)，且看不出正負(fù)。

問題3：這種情況下，如何對函數(shù)變形？

總結(jié)：當(dāng)函數(shù)結(jié)構(gòu)中含有對數(shù)式和多項式時，可以適當(dāng)使用“孤立對數(shù)”這一技巧，求導(dǎo)后不再含有對數(shù)式，可以簡化導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)，降低問題的難度。實際上，“團(tuán)結(jié)指數(shù)”“孤立對數(shù)”等本質(zhì)是一樣的，都是通過處理，使導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)中不含指數(shù)式或?qū)?shù)式。

三、指對分離

在不等式證明中，如果同時出現(xiàn)ex與lnx，求導(dǎo)后含有超越式，且多次求導(dǎo)后也看不出正負(fù)，就可以考慮將指數(shù)式和對數(shù)式分開，分別研究兩個函數(shù)的最值，從而解決問題。這種將指數(shù)和對數(shù)分開，研究兩個函數(shù)的方法稱為“指對分離”，一般適用于含指數(shù)式和對數(shù)式的不等式證明。

問題1：如何證明一個函數(shù)大于0？

問題2：能否嘗試對函數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形？

問題3：觀察前兩個嘗試，合在一起無法處理，將函數(shù)分開成兩個會怎樣？

注意到m′(x)=(1+lnx) ?，若分開成兩部分，很容易看出這兩個函數(shù)的極值點(diǎn)。

總結(jié)：在指數(shù)與對數(shù)同時出現(xiàn)的不等式證明中，如果直接求導(dǎo)或多次求導(dǎo)仍無法得證，就可以考慮將指數(shù)和對數(shù)分開，變成兩個函數(shù)，分別研究兩個函數(shù)的最值。在證明過程中，要適當(dāng)乘上或除以多項式進(jìn)行調(diào)整。一般是一個函數(shù)的最大值小于或等于另一個函數(shù)的最小值，由于滿足的條件較為苛刻，因此“指對分離”這個技巧一般適用于含指數(shù)式和對數(shù)式的不等式證明，在求參數(shù)范圍時很少用。另外，ex，lnx，x這三者之間通過乘或除構(gòu)成的函數(shù)的單調(diào)性、最值或圖像，我們也要非常熟悉。

四、利用同構(gòu)

為了達(dá)到不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，常需對“指對式”進(jìn)行“改頭換面”，如x=elnx，xex=elnx+x，通過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出結(jié)構(gòu)相同的式子，再構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解，這種方法稱為“利用同構(gòu)”，通過同構(gòu)，可將復(fù)雜的函數(shù)結(jié)構(gòu)變簡單，降低問題的難度。

［例4］（2020 年山東高考第21 題第2 問）已知函數(shù)f(x)=aex?1?lnx+lna，若f(x) ≥1，求a的取值范圍。

問題1：由題意得aex?1?lnx+lna≥1，這個不等式結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？

不等式中既有指數(shù)又有對數(shù)，不適合使用“指對分離”的技巧，求導(dǎo)后仍是超越式，直接求導(dǎo)也無法得解，需要仔細(xì)觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，尋求轉(zhuǎn)化。

問題2：嘗試一下，看看如何轉(zhuǎn)化？

注意aex?1=ex?1+lna，原不等式轉(zhuǎn)化為elna+x?1?1+lna≥lnx，兩邊同時加上x上后可得elna+x?1+x?1+lna≥x+lnx，elna+x?1取以e 為底的對數(shù)就是x?1+lna，這樣構(gòu)成了左右兩邊結(jié)構(gòu)相同的式子，再構(gòu)造新函數(shù)，利用不等式求解，這就是“利用同構(gòu)”法。

解：由f(x)=aex?1?lnx+lna≥1 移項得aex?1+lna≥lnx+1，即elna+x?1+lna≥lnx+1，兩邊同時加（x?1）得elna+x?1+x+lna?1 ≥lnx+x，即elna+x?1+(x+lna?1) ≥lnx+elnx，

設(shè)g(x)=x+ex，則g′(x)=1+ex>0，所以g(x)單調(diào)遞增，所以lna+x?1 ≥lnx，即x?lnx+lna?1 ≥0，

設(shè)h(x)=x?lnx+lna?1，則h′(x)=1 ?所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min=h(1)=lna≥0，所以a≥1。

五、適當(dāng)放縮

在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們需要熟練掌握一些常見的不等式，如x>0 時，

問題1：對于這個不等式，你有什么想法？

題目中既有指數(shù)式ex，又有三角函數(shù)sinx，還有對數(shù)式，直接求導(dǎo)不易處理，如果能得關(guān)于ex和sinx的常見不等式就可以通過放縮法簡化函數(shù)結(jié)構(gòu)，降低問題難度。

問題2：關(guān)于指數(shù)式ex和三角函數(shù)sinx的常見不等式，你最容易想到什么？

想到泰勒展開式，利用泰勒展開式可以得關(guān)于ex和sinx的常見不等式。

解：要證明ex+sinx>xlnx+1，可對不等式左邊進(jìn)行放縮，

總結(jié)：適當(dāng)放縮，可以快速將指數(shù)式或?qū)?shù)式這兩種超越式與多項式建立聯(lián)系。但放縮法對學(xué)生的能力要求很高，需要學(xué)生熟練掌握很多常見不等式和熟悉各種函數(shù)結(jié)構(gòu)組合后的特點(diǎn)。在教學(xué)中，教師要做好引導(dǎo)，通過不同的放縮來拓展學(xué)生的視野，開闊學(xué)生的思路，同時也要注重充分展示學(xué)生的思維成果，鼓勵學(xué)生大膽嘗試，讓學(xué)生樂于放縮，享受“放縮”帶來的快樂。

綜上所述，對于含有指數(shù)式或?qū)?shù)式的導(dǎo)數(shù)題目，通過團(tuán)結(jié)指數(shù)、孤立對數(shù)、指對分離、利用同構(gòu)、適當(dāng)放縮這五種技巧，可以簡化函數(shù)結(jié)構(gòu)，減少討論，降低問題的難度。學(xué)生要對函數(shù)進(jìn)行分析，觀察函數(shù)的具體特征，研究函數(shù)的結(jié)構(gòu)，將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為合適的函數(shù)，并有針對性地選擇解題方法，總結(jié)解題思路，提高解題水平。