潘 威，岳建偉

(1.河南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 451460；2.河南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，河南 開封 475004)

0 引言

國家西部地區(qū)經(jīng)濟的快速發(fā)展促進了高速公路的建設(shè)，而受自然地形地貌條件的制約，黃土地區(qū)高速公路常采用黃土填料的高填路基作為主要路基型式[1]。高填路基是由非飽和狀態(tài)黃土經(jīng)人工壓實而成，為典型的重塑土，水體入滲會引起自身孔隙水壓力上升、重度增大、基質(zhì)吸力減小、弱化力學(xué)參數(shù)、降低路基邊坡的穩(wěn)定性。更多的學(xué)者關(guān)注以均質(zhì)化的方式研究含水率對黃土黏聚力、內(nèi)摩擦角的影響規(guī)律[2]，并假定含水率相同來分析黃土路基的穩(wěn)定性。但降雨對黃土路基的影響與雨水的入滲深度密切相關(guān)，掌握雨水入滲深度和路基內(nèi)部含水率的分布是分析降雨對路基穩(wěn)定性影響的關(guān)鍵[3]。

非飽和態(tài)土體中水分入滲過程的數(shù)學(xué)模型為Richards偏微分方程(RE)[4]，求解 RE 對土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析具有重要意義。然而，方程中的滲透變量與水力參數(shù)之間存在復(fù)雜關(guān)系，方程呈現(xiàn)強非線性特征，獲得有關(guān)非飽和流的規(guī)律多數(shù)采用非線性迭代等數(shù)值方法[5]，但該方法具有求解不穩(wěn)、數(shù)值震蕩、流程復(fù)雜等缺點。對此，諸多學(xué)者努力尋求RE的解析解，如假定特殊邊界條件、引入新的變量，將偏微分方程化簡[6-7]。以引入新變量化簡微分方程的手段，在一定程度上揭示了非飽和土入滲的某些特征，但在物理上并無有力依據(jù)。

為此，本研究主要針對降雨對路基邊坡垂直入滲深度即含水率的分布進行研究，為路基穩(wěn)定性分析提供依據(jù)?；谧兎址ㄔ?，結(jié)合對土體中水分運動路徑依賴性的認識，假設(shè)其運動沿著耗時最佳路徑進行，顯式地求解出在入滲邊界處為任意體積的含水率分布規(guī)律。通過顯式求解方程，對不同降雨條件下黃土路基邊坡的含水率變化進行分析，并結(jié)合不同含水率路基土試驗結(jié)果的擬合方程，得到降雨作用下黃土路基的黏聚力和內(nèi)摩擦角的弱化作用規(guī)律，為分析路基邊坡穩(wěn)定性提供參考依據(jù)。

1 降雨入滲模型

根據(jù)達西定律，Richards 方程用于分析多孔介質(zhì)中的非飽和滲流問題[8]，其二維的壓力水頭h形式可以表示為[9]：

(1)

降雨時，選取一個雨滴來分析，雨滴從邊坡表面到達濕潤峰的過程，也是雨滴變化為毛細水的過程；驅(qū)使雨滴前進的力有重力和表面張力，當(dāng)雨滴進入坡內(nèi)后，表面張力遠大于重力，尤其是垂直于路基邊坡方向，重力分量變得更小，而表面張力與坡度無關(guān)，保持不變，牽引雨滴向內(nèi)滲透。

為使問題簡化，在Richards方程中忽略重力影響項，即僅考慮非飽和態(tài)土體中一維水平擴散方程，式(1)可以被簡化如下：

(2)

其初始條件和邊界條件為：

θ(x,0)=θi,0≤x≤xf

θ(0,t)=θ0,0≤t≤∞

θ(xf,t)=θi,0≤t≤∞，

(3)

式中，θ0為給定邊界含水率;θi為初始含水率；xf為t時刻位置。

水分在非飽和土體中的擴散，受土體結(jié)構(gòu)非均質(zhì)特征的影響，引起擴散路徑存在無序性，造成土體各點的含水率不同，而D為土體含水率的函數(shù)，即D函數(shù)致使式(2)呈現(xiàn)出強非線性特征，使得方程的求解變得極為困難，很難直接得到雨水入滲 Richards 方程的解析解。

變分技術(shù)是求解此類偏微分方程或復(fù)雜邊界條件的有利工具。在表面張力作用下，雨水通過不同路徑抵達濕潤峰，可以以時間作為最小作用量，非飽和土體中水分入滲最優(yōu)路徑問題可看作時間的泛函T[θ(x)]：

(4)

由式(2)可得：

(5)

式中，v為速度變量。

將式(5)化簡代入式(4)得：

(6)

式中，θ′為含水率導(dǎo)數(shù)。

記核函數(shù)F為：

(7)

泛函的極值問題等價于 Euler-Lagrange 方程[10]：

(8)

式中，C為常數(shù)；Fθ′為核函數(shù)在θ′處函數(shù)值。

(9)

將式(7)和式(9)代入式(8)化簡得：

(10)

根據(jù)邊界條件，可求得：

(11)

(12)

則有：

(13)

即：

(14)

(15)

(16)

式中，m=3n+2，n為形狀參數(shù)；Ks為飽和滲透系數(shù)；h為吸力水頭；h0為初始水頭；hb為進氣壓力水頭。

由Brooks-Corey 土-水特征曲線模型[11]得到：

(17)

式中，Se為系數(shù)函數(shù)；θs為飽和體積含水率；θr為殘余含水率。

由式(15)、式(16)可得：

(18)

由式(17)、式(18)可得:

(19)

將式(19)代入式(14)得：

(20)

當(dāng)入滲邊界處為飽和體積含水率時，S0=Si，式(20)可轉(zhuǎn)化為如下形式：

(21)

(22)

當(dāng)土處于極為干燥狀態(tài)，θi=θr，式(21)可進一步簡化為：

(23)

入滲耗時與濕潤峰距離間的關(guān)系為：

(24)

式中，A為常數(shù)。

降雨入滲率q為:

(25)

降雨路基邊坡累計入滲量Q為：

(26)

由式(20)、(25)和式(26)可求得式(24)的參數(shù)A為：

(27)

由式(20)、(24)、(27)可求出路基邊坡體積含水率隨入滲深度及入滲所耗時間的發(fā)展規(guī)律：

τ=σtanφ+c，

(28)

c=acebcθ，

(29)

φ=aφebφθ，

(30)

式中,τ為路基含水率；c,φ為系數(shù)函數(shù)；ac和bc為黏聚力系數(shù)；aφ和bφ為內(nèi)摩擦角系數(shù)。其中，系數(shù)可結(jié)合具體工程土的剪切試驗數(shù)據(jù)擬合得到。

2 降雨入滲路基邊坡含水率變化分析

本研究主要考慮了降雨對路基邊坡垂直入滲深度即含水率的分布，利用雨水的滲透模型，分析降雨時路基的滲透范圍和受力變化，為路基穩(wěn)定性分析提供依據(jù)。路基的分析參數(shù)見表1，不同含水率下路基土的試驗參數(shù)詳見表2，路基土樣的黏聚力和內(nèi)摩擦角與含水率之間的關(guān)系如圖1所示。

表1 路基的分析參數(shù)

表2 不同含水率下路基土的抗剪強度參數(shù)

圖1 不同含水率路基土抗剪強度的參數(shù)的變化曲線

在降雨分別連續(xù)作用60，180，300，600 min下，路基上、中、下各部位含水率變化規(guī)律如圖2所示。降雨使路基邊坡表面為飽和體積含水率時，垂直邊坡路基的體積含水率呈非線性遞減，達到某一位置后迅速遞減，在濕潤峰處內(nèi)體積含水率趨于穩(wěn)定，濕潤峰處的路基土的含水率為路基的初始含水率，濕潤峰的存在實際上是土顆粒的表面張力和顆粒間的黏滯阻力平衡的結(jié)果[12-13]；隨著降雨作用時間的增加，濕潤峰的深度逐漸增加，但并不與時間呈線性關(guān)系，如600 min僅是660 min作用下的2.6倍，由此可見，濕潤峰也與土的其他性質(zhì)密切相關(guān)；相同降雨條件下，路基上、中、下各部位的含水率變化規(guī)律不同，下部濕潤峰最大，降雨入滲最深，影響最大，頂部最小，可以看出，路基各部位初始條件與邊界條件會對路基含水率分布產(chǎn)生重要影響。

圖2 一次降雨過程中路基上、中、下各部位含水率變化

連續(xù)降雨下，路基本身的含水率和土的特性與上述分析的一次降雨過程中路基各部位含水率明顯不同。對此，基于連續(xù)降雨下路基的分析參數(shù)(見表3)，對路基的含水率變化規(guī)律進行分析，結(jié)果如圖3和圖4所示。

表3 連續(xù)降雨后路基的分析參數(shù)

在連續(xù)降雨下，路基上、中、下各部位含水率變化規(guī)律如圖3所示，其變化規(guī)律與一次降雨規(guī)律相同，二者的對比規(guī)律如圖4所示，但濕潤峰的大小有所不同，一次降雨和連續(xù)降雨下路基上部的濕潤峰基本相同，連續(xù)降雨下中部的濕潤峰大于一次降雨下的數(shù)值，下部的濕潤峰差別更大。由此可見，受前期降雨和地下水的影響，路基內(nèi)含水率增加，改變了路基內(nèi)水的遷移力，路基的含水率并沒有隨著降雨的連續(xù)作用呈線性增加，原因在于含水率的增加造成顆粒間表面張力減小，同時雨滴入滲路徑增加，滲透阻力增加[14-15]，造成牽引力變小，這一現(xiàn)象阻止了雨水向路基內(nèi)部的滲透，保護了路基的穩(wěn)定性[16-20]。

圖3 連續(xù)降雨下路基上、中、下各部位含水率變化

圖4 一次和連續(xù)降雨下路基各部位含水率的對比

圖5為降雨過程中路基上、中、下各部位黏聚力和內(nèi)摩擦角的變化規(guī)律，路基的力學(xué)參數(shù)與降雨入滲深度密切相關(guān)，隨著降雨入滲的增加，路基含水率呈非線性降低，而黏聚力和內(nèi)摩擦角均與含水率呈指數(shù)關(guān)系[21-23]，即黏聚力和內(nèi)摩擦角在含水率較高時較小，含水率較低到某一數(shù)值時，黏聚力和內(nèi)摩擦角突然增加，表現(xiàn)為曲線出現(xiàn)突然增加的拐點，這一拐點對判別降雨時路基邊坡的穩(wěn)定性起作用[24-26]，如果路基邊坡的滑動面大于拐點深度，可以判定路基邊坡處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5 降雨過程中路基上、中、下各部位黏聚力和內(nèi)摩擦角的變化

3 結(jié)論

(1)對于非飽和路基邊坡降雨水平入滲深度，基于泛函極值問題和變分法原理，顯式地求解出非飽和態(tài)土體中的水分入滲過程數(shù)學(xué)模型為Richards 偏微分方程的解，路基水平體積含水率分布與位置距離和濕潤峰距離密切相關(guān)。

(2)路基邊坡內(nèi)的含水率與垂直邊坡路基深度呈非線性遞減，達到某一位置后迅速遞減，在濕潤峰處內(nèi)體積含水率趨于穩(wěn)定。受路基各部位初始條件與邊界條件影響，路基上、中、下各部位的含水率變化規(guī)律不同，下部濕潤峰最大，降雨入滲最深，影響最大，頂部最小。

(3)在連續(xù)降雨下，路基上、中、下各部位含水率變化規(guī)律與一次降雨下規(guī)律相同，但濕潤峰的大小有所不同，路基的含水率并沒有隨著降雨的連續(xù)作用呈線性增加。其原因在于含水率的增加造成顆粒間表面張力減小，同時雨滴入滲路徑增加，滲透阻力增加，造成牽引力變小，這一現(xiàn)象阻止了雨水向路基內(nèi)部的滲透，保護了路基的穩(wěn)定性。

(4)隨著降雨入滲的增加，路基含水率呈非線性降低，而黏聚力和內(nèi)摩擦角均與含水率呈指數(shù)關(guān)系，毛細作用力逐漸與滲透阻力達到平衡時，曲線出現(xiàn)突然增加的拐點，這一拐點對判別降雨時路基邊坡的穩(wěn)定性起作用，如果路基邊坡的滑動面大于拐點深度，可以判定路基邊坡處于穩(wěn)定狀態(tài)。

(5)本研究僅討論了降雨對路基邊坡垂直入滲深度即含水率的分布，為路基穩(wěn)定性分析提供依據(jù)。而路基內(nèi)部含水率的分布還與路基表面沖刷、路基周圍積水等因素密切相關(guān)，這將作為下一步開展的工作。