孟鑫

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000）

0 引言

反周期問(wèn)題產(chǎn)生于一些物理過(guò)程的數(shù)學(xué)模型中,同時(shí)也經(jīng)常出現(xiàn)在抽象微分方程和偏微分方程的研究中.由于離散動(dòng)力系統(tǒng)在科學(xué)計(jì)算、控制理論和計(jì)算機(jī)科學(xué)等眾多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用,因此,離散動(dòng)力系統(tǒng)的反周期解問(wèn)題已成為眾多學(xué)者近年來(lái)關(guān)注的一類重要問(wèn)題[1-4].

在非線性微分方程以及非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性與定性理論的研究中,二分性理論已經(jīng)成為一個(gè)重要的工具[5-6].常見(jiàn)的二分性有指數(shù)型二分性和普通二分性,具有指數(shù)型二分性系統(tǒng)的Green 函數(shù)是可求和的,具有普通二分性系統(tǒng)的Green 函數(shù)是一致有界的.關(guān)于指數(shù)型二分性在離散動(dòng)力系統(tǒng)中的應(yīng)用,已經(jīng)有了一些基本的結(jié)論[7-9].Pinto 在文獻(xiàn)[10]中提出可求和二分性的概念,文獻(xiàn)[11-12]應(yīng)用可求和二分性研究了差分方程系統(tǒng)收斂解的存在性問(wèn)題.

本文主要研究非線性離散動(dòng)力系統(tǒng)的反周期解存在性.應(yīng)用可求和二分性條件以及Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理,給出系統(tǒng)(1)反周期解存在唯一的充分條件,并通過(guò)例子說(shuō)明主要結(jié)果在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中,Z表示整數(shù)集,R表示實(shí)數(shù)集,當(dāng)a,b∈Z且a＜b時(shí),記[a,b]={a,a+1,···,b}.|·|表示Eucli d范數(shù),設(shè)l∞(Z)={x:Z→Rd:x在Z上有界},若設(shè),則l∞(Z)是Banach空間.

系統(tǒng)

其中,A:Z×Rd→Rd×d,u:Z→Rd,x:Z→Rd.設(shè)Φu(n)是系統(tǒng)(2)的基本解矩陣,若存在投影P,以及常數(shù)K1,K2＞0,α1,α2＞0,使得

其中,I是d階單位矩陣,e是自然常數(shù),則稱系統(tǒng)(2)具有指數(shù)型二分性.

若存在投影P和常數(shù)μ＞0,使得系統(tǒng)(2)的Green 函數(shù)

則稱系統(tǒng)(2)具有可求和二分性.

顯然,若系統(tǒng)(2)具有指數(shù)型二分性,則系統(tǒng)(2)具有可求和二分性.

設(shè)N是正整數(shù),考慮N-反周期系統(tǒng)

是系統(tǒng)(3)的有界N-反周期解.

證明顯然xu(n)是系統(tǒng)(3)的解,并且

故xu(n)是有界的.

若Φu(n)是系統(tǒng)(2)的基本解矩陣,且,則Φu(n+N)也是系統(tǒng)(2)的基本解矩陣,且對(duì)任意m,n∈Z,有

故xu(n)是N-反周期的.

因此,xu(n)是系統(tǒng)(3)的有界N-反周期解.

2 主要結(jié)果

考慮系統(tǒng)(1),其中x:Z→Rd,A:Z×Rd→Rd×d,g:Z×Rd→Rd,給出如下幾個(gè)條件.

(H1) 對(duì)任意n∈Z和x∈Rd,

(H2) 系統(tǒng)(2)關(guān)于投影P和常數(shù)μ＞0 具有可求和二分性;

(H3) 存在常數(shù)L＞0,使得

(H4) 存在有界函數(shù)L:Z→[0,+∞),使得

(H5) 存在函數(shù)L:[0,+∞)→[0,+∞),對(duì)任意λ＞0,n∈Z,當(dāng)x,y∈Rd,且|x|≤λ,|y|≤λ時(shí),

其中,u:Z→Rd,并且定義U上的范數(shù)為為Banach 空間.

定理 1設(shè)條件(H1)—(H2)及 (H4)成立,若,則系統(tǒng)(1)有唯一的N-反周期解.

證明考慮N-反周期系統(tǒng)

根據(jù)條件(H1)和命題1,系統(tǒng)(4)的解為

類似于命題1,對(duì)任意n∈Z,當(dāng)

定義映射T:U→U為

則T的不動(dòng)點(diǎn)即為系統(tǒng)(1)的N-反周期解.對(duì)任意u1,u2∈U,根據(jù)條件(H2)和(H4),

故T是U上的壓縮映射,根據(jù)Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理,映射T有唯一不動(dòng)點(diǎn),從而系統(tǒng)(1)有唯一的N-反周期解.

推論 1設(shè)條件(H1)—(H3)成立,若,則系統(tǒng)(1)有唯一的N-反周期解.

設(shè)λ＞0,

其中,u:Z→Rd,并且Uλ上的范數(shù)為為Banach 空間.

3 結(jié)論

應(yīng)用Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理,在系統(tǒng)x(n+1)=A(n,u(n))x(n) 具有可求和二分性的條件下,給出非線性離散動(dòng)力系統(tǒng)

存在反周期解的兩個(gè)充分條件,并應(yīng)用主要結(jié)果證明了系統(tǒng)

存在 2-反周期解.