李興瑞，肖玉柱，宋學力，趙楠楠，史東鑫，單美華

長安大學理學院，陜西西安 710064

復雜網(wǎng)絡是一種數(shù)據(jù)表現(xiàn)形式與科學研究手段，現(xiàn)實生活中的互聯(lián)網(wǎng)［1］、神經(jīng)元網(wǎng)絡［2］及生物網(wǎng)絡［3］等實際系統(tǒng)，均可以通過復雜網(wǎng)絡建模后進行分析描述．復雜網(wǎng)絡同步是復雜網(wǎng)絡動力學行為［4］中的重要內(nèi)容，在生物工程、信息處理及保密通信等領域具有廣闊應用空間［5］．固定時間同步的同步時間估計因無需依賴系統(tǒng)的初值特性而受到學者的廣泛研究關注［6］．預定時間同步的同步時間可以根據(jù)實際需要提前指定，不受系統(tǒng)初始值和控制參數(shù)的影響，更符合實際應用場景．

目前的研究大多關注具有連續(xù)動態(tài)節(jié)點的復雜網(wǎng)絡［7］，而不連續(xù)現(xiàn)象在實際生活中普遍存在［8］，在處理含有非線性和高坡度的復雜網(wǎng)絡時，不連續(xù)現(xiàn)象也不可忽略．ZHANG等［9］基于量化控制分析不連續(xù)復雜網(wǎng)絡的固定時間同步問題；GAN等［10］利用間歇控制器研究有向社區(qū)網(wǎng)絡的固定時間同步問題；HU等［11］通過改進的固定時間穩(wěn)定性定理，研究不連續(xù)復雜網(wǎng)絡的固定時間與預定時間同步，其同步時間估計式由特殊函數(shù)表示，計算較繁瑣；GAN等［12］基于連續(xù)系統(tǒng)利用比較原理設計了更寬松的穩(wěn)定性條件，但其對同步時間估計的精確度仍有待提高．以上研究均針對網(wǎng)絡的內(nèi)同步，對于驅(qū)動-響應網(wǎng)絡同步的研究也是有必要的．LI等［13］研究具有不連續(xù)節(jié)點和噪聲干擾的驅(qū)動-響應網(wǎng)絡概率固定時間同步，但是對固定時間的估計與實際相差較遠．LIU等［14］設計了控制增益為時變無界的光滑控制方案，并研究復雜網(wǎng)絡的預定時間集群同步，但這種控制策略在實踐中很難實現(xiàn)．

本研究在HU等［11-12］的理論基礎上，給出表達式更簡單且對穩(wěn)定時間估計更準確的固定時間穩(wěn)定性定理．通過設計不含線性反饋項的簡單控制器，運用右端不連續(xù)微分方程理論，非光滑分析討論了具有不連續(xù)激活函數(shù)的驅(qū)動-響應網(wǎng)絡固定時間同步問題．運用固定時間穩(wěn)定性定理的推論，提出有限增益控制策略，研究具有不連續(xù)激活函數(shù)的驅(qū)動-響應網(wǎng)絡預定時間同步問題，其同步時間可以根據(jù)實際情況預先指定，與系統(tǒng)初始值和控制器參數(shù)無關．

1 不連續(xù)系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定性定理

考慮如下不連續(xù)系統(tǒng)［15］

其中，x∈Rn，f(x)：Rn→Rn是不連續(xù)但局部可測的，且f(0)=0.

定義1［16］如果函數(shù)x(t)在[0，t*)上有定義且在其任意緊區(qū)間上絕對連續(xù)，并滿足微分包含

則稱函數(shù)x(t)為系統(tǒng)（1）的1個Filippov解，其中，集值映射K[f]：Rn→Rn定義為

其中，cˉoˉ為凸閉包；μ為Lebesgue測度；B(x，ε)是以x為中心、ε＞0為半徑的開領域；S∈Rn是測度為0的任意集合．

引理1［17］如果V(x)是C-正則（正則、正定及徑向無界）的，x()t：［0，+∞］→Rn在［0，+∞］上的任意緊區(qū)間是絕對連續(xù)的，則x(t)和V(x)在t∈［0，+∞］上幾乎處處可微，且滿足其 中 ， ?V(x(t))=表示V的廣義梯度；co表示凸包；ΩV∈Rn表示V的1組不可微點．

引 理2［11］若 存 在C-正 則 函 數(shù)V(x(t))：Rn→R及 常 數(shù)k∈R，α＞0，β＞0，δ＞1，0≤θ≤1，滿足

則系統(tǒng)（1）是固定時間穩(wěn)定的，且以下結(jié)論成立：

1）當k≤0時，其穩(wěn)定時間T(x0)滿足

2）當0＜k＜min{α，β}時，其 穩(wěn) 定 時 間T(x0)滿足

其中，定義I(x，p，q)=為不連續(xù)貝塔函數(shù)比；0≤x≤1；p＞0；q＞0；表示貝塔函數(shù)．

引 理3［12］如果系統(tǒng)（1）中 的 函 數(shù)f(x)：Rn→Rn是連續(xù)的，且存在1個正的徑向無界函數(shù)V(x(t))：Rn→R滿 足 式（3），其 中，常 數(shù)k＜min{α，β}；α＞0；β＞0；δ＞1；0≤θ≤1，則該系統(tǒng)是固定時間穩(wěn)定的，且以下結(jié)論成立：

1）當k≠0時，其穩(wěn)定時間T(x0)滿足

2）當k=0時，其穩(wěn)定時間T(x0)滿足

基于引理2和引理3的條件與結(jié)論，針對不連續(xù)系統(tǒng)，以下給出時間估計更精確的固定時間穩(wěn)定性定理．

定理1若存在C-正則函數(shù)V(x(t))：Rn→R滿足

其中，常數(shù)k＜min{α，β}，α＞0，β＞0，δ＞1，0≤θ≤1，則該系統(tǒng)是固定時間穩(wěn)定的，且以下結(jié)論成立：

1）當k=0時，其穩(wěn)定時間T(x0)滿足

2）當k≠0時，其穩(wěn)定時間T(x0)滿足

【證】由引理2可知，系統(tǒng)（1）是固定時間穩(wěn)定的，以下給出時間估計的證明．

1）當k=0時，式（3）成立，即

由引理2及文獻［11］中的證明可知，穩(wěn)定時間滿足通過變量代換令可得

2）當k≠0且k＜min{α，β}時，為不失一般性，假設V(x0)＞1提出以下分段微分方程：

比較式（3）與式（12）可得，0≤V(t)≤W(t)．因此，如果存在時間T＞0使得=0且t＞T時有W(t)≡0，則當=0且t＞T時，有V(t)≡0．

當W(t)≥1時，令U(t)=W1-θ(t)．由式（12）容易看出當W(t)→1+時，U(t)→1-．因此，能夠得到

當0≤W(t)＜1時，令U(t)=W1-θ(t)．由式（13）容易看出當W(t)→0+時，U(t)→0+，可得

因此，系統(tǒng)（12）的固定時間穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)（13）和系統(tǒng)（14）的收斂問題，即在固定時間T?內(nèi)，系統(tǒng)（13）的解趨向于1；在固定時間-T內(nèi)，系統(tǒng)（14）的解趨向于0．因此，對于任意初值W(0)，在固定時間內(nèi)，W(t)→0．

對于0＜k＜min{α，β}，首先估計時間?，使得式（13）中的U(t)趨于1．

由V(x0)＞1知U(0)＜1，從式（13）可得

從0＜U(0)＜1，和0可知，存在時間T?＞0，當0＜t＜T?時，有＜1，且有

從U(0)=1，和＜0可知，存在時間＞0，滿足=0，且有

結(jié)合式（16）和式（18）能夠看出，對于任意的初值W(0)，在固定時間內(nèi)，均有W(t)→0．因 此，對 于有W(t)≡0成 立，即 有V(t)≡0成立．

當k＜0時的證明與上述類似．

由 以 上 證 明 過 程 可 見，當k≠0且k＜min{α，β}時，不連續(xù)系統(tǒng)（1）是固定時間穩(wěn)定的，且其穩(wěn)定時間估計為．證畢．

近來針對連續(xù)系統(tǒng)［12］、不連續(xù)系統(tǒng)［11］及隨機系統(tǒng)［13］的固定時間穩(wěn)定問題進行了深入研究．固定時間穩(wěn)定研究的核心問題是估計系統(tǒng)的穩(wěn)定時間，定理1在上述研究成果的基礎上進一步給出了更準確的穩(wěn)定時間估計．當k=0時，定理1中的固定時間估計與文獻［11］相同，優(yōu)于文獻［13］的結(jié)果；當k≠0時，文獻［11］中的固定時間估計式用特殊函數(shù)表示，定理1的固定時間估計用常見的對數(shù)函數(shù)表示，且固定時間估計式比文獻［11，13］更精確．

由定理1可以得出以下預定時間穩(wěn)定性推論．

推論1對于不連續(xù)系統(tǒng)（1），如果存C-正則函數(shù)V(x(t))：Rn→R滿足

其中，常數(shù)k＜min{α，β}；α＞0；β＞0；δ＞1；0≤θ≤1；Tp＞0．則系統(tǒng)（1）在指定時間Tp內(nèi)達到穩(wěn)定，其中

推論1中的Tp與其他參數(shù)k、α、β、δ及θ均無關．這種不相關性為探索網(wǎng)絡的預定時間同步提供了思路．針對不連續(xù)系統(tǒng)，本研究提出的定理1具有比引理1更精確的穩(wěn)定時間估計，為解決具有不連續(xù)激活函數(shù)網(wǎng)絡的固定時間與預定時間同步提供了理論基礎．

2 驅(qū)動-響應網(wǎng)絡的固定時間與預定時間同步

2.1 問題陳述

考慮一類具有N個節(jié)點的復雜網(wǎng)絡，描述為

將網(wǎng)絡（21）視為驅(qū)動網(wǎng)絡，則相應的受控響應網(wǎng)絡描述為

其中，ui(t)為待設計的控制器．

下面給出響應網(wǎng)絡（22）固定時間與預定時間同步于驅(qū)動網(wǎng)絡（21）的定義．

定義3令ei(t)=yi(t)-xi(t)為系統(tǒng)誤差．若存在與網(wǎng)絡和控制器參數(shù)有關而與初值無關的時間T*， 使 得， 且 對 于t＞T*有≡0，稱響應網(wǎng)絡（22）固定時間同步于驅(qū)動網(wǎng)絡（21）；若時間T*是預先指定的時間，與網(wǎng)絡和控制器參數(shù)及初始值均無關，則稱響應網(wǎng)絡（22）預定時間同步于驅(qū)動網(wǎng)絡（21）．

由于網(wǎng)絡中含有不連續(xù)激活函數(shù)，給出以下2個假設條件．

假設1對于fj，j=1，2，…，n，除在可數(shù)個孤立點外均連續(xù)，其左右極限和存在，且fj在任意有界緊區(qū)間上至多存在有限個跳躍間斷點．

假設2對每個j=1，2，…，n，存在非負常數(shù)Lj和Mj，使得對任意u，v∈Rn滿足

引理4［18］設a1，a2，…，an為非負常數(shù)，0＜p≤1，q≥1，以下不等式成立

2.2 驅(qū)動-響應網(wǎng)絡的固定時間同步

本節(jié)應用定理1中改進不連續(xù)系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定性，解決具有不連續(xù)激活的驅(qū)動-響應函數(shù)網(wǎng)絡固定時間同步問題．在以往的同步結(jié)果中，線性部分是在控制器設計中必不可少．與這些控制方案不同的是，本研究在沒有線性反饋項的情況下，通過1個更簡單的控制器來實現(xiàn)驅(qū)動-響應網(wǎng)絡的固定時間同步．所設計的控制器為

其 中 ，δ＞1；φ＞0；α＞0；Sign(ei(t))=sign(ei1(t))表示ei1(t)的符號函數(shù)；

定理2令λ為矩陣c(As?Γ)+(IN?L)的最 大 特 征 值，其 中；?表示Kronecker積．控制器為式（25），假設1和假設2成立，如果滿足

則稱響應網(wǎng)絡（22）固定時間同步于驅(qū)動網(wǎng)絡（21），且以下結(jié)論成立：

1）當λ=0時，同步時間滿足

2）當λ≠0時，同步時間滿足

【證】根據(jù)微分包含理論，系統(tǒng)（21）和（22）的解分別滿足

因此，相應的誤差系統(tǒng)為

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

對于e(t)∈RnN{0}，可得

其中，

基于假設2可得

由引理4也可得

將式（35）至式（38）帶入式（34）可得

由于λ為矩陣c(As?Γ)+(IN?L)的最大特征值，故上式可表示為

由定理2可知，響應網(wǎng)絡（22）在固定時間內(nèi)同步于驅(qū)動網(wǎng)絡（21）．證畢．

2.3 驅(qū)動-響應網(wǎng)絡的預定時間同步

預定時間同步的同步時間可以根據(jù)實際需要提前指定，不受任何系統(tǒng)初始值和控制參數(shù)的影響，相比固定時間同步具有更廣闊的應用前景．目前對于具有不連續(xù)激活函數(shù)網(wǎng)絡預定時間同步的研究成果較少，HU等［11］提出控制增益有限的控制協(xié)議，實現(xiàn)了不連續(xù)網(wǎng)絡的預定時間同步，但其對于時間的分類比較繁瑣．與LIU等［14］的研究結(jié)果不同，本研究基于推論1，提出一種有限增益控制策略，實現(xiàn)具有不連續(xù)激活函數(shù)的驅(qū)動-響應網(wǎng)絡預定時間同步，其適用性更廣，對于時間的分類方式更簡單．所設計的控制器為

其中，δ＞1；α＞0；φ＞0；Tp＞0是根據(jù)實際預先指定的時間．

定理3在假設1、假設2及控制器（39）下，條件（26）與式（27）仍成立，λ、L及M均如定理2中所定義，則稱響應網(wǎng)絡（22）在預定時間Tp內(nèi)同步于驅(qū)動網(wǎng)絡（21）．

【證】Lyapunov函數(shù)同式（33），類似的可以得到

與定理2的證明類似，可以得到

由引理4可得

結(jié)合定理2的證明，將式（41）和式（42）帶入式（40）可知

當λ≤0時，式（43）可以寫為

此時由推論1可知，網(wǎng)絡（22）在預定時間Tp內(nèi)同步于網(wǎng)絡（21）．

當λ＞0時，若有Tp＜，則式（43）可以改寫為

此時由推論1可知，網(wǎng)絡可在預定時間Tp達到同步．若≥Tp，根據(jù)定理2，網(wǎng)絡在時間內(nèi)已經(jīng)達到同步，因此，在預定時間Tp內(nèi)也達到了同步．證畢．

3 數(shù)值模擬

以下給出2個數(shù)值例子分別驗證不連續(xù)系統(tǒng)固定時間穩(wěn)定性理論的正確性，及固定時間與預定時間同步策略的有效性．

例1不連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定時間估計

考慮如下不連續(xù)系統(tǒng)

選 擇 參 數(shù)K=diag{0，0，0}，Θ=diag{1.0，1.2，1.0}，Ω=diag{1.1，1.2，1.0}，(δ，θ)=( 1 .5，0.2)．由定理1中的結(jié)論（1）可以得出，系統(tǒng)（44）是固定時間穩(wěn)定的，數(shù)值模擬結(jié)果如圖1．本研究得出的穩(wěn)定時間估計值為T1=3.6240 s，在此參數(shù)下，文獻［12］得出的穩(wěn)定時間估計值T2=4.7141 s，文獻［13］中給出的穩(wěn)定時間估計值T＇=5.6287 s．定理1給出的時間估計更精確．

圖1 參數(shù)K=diag{0，0，0}時系統(tǒng)（44）的穩(wěn)定性Fig.1 Stability of system(44)with parameter K=diag{0,0,0}.

選擇另一組參數(shù)K=diag{0.6，0.4，0.5}，Θ=diag{1.7，1.6，1.8}，Ω=diag{1.3，1.2，1.3}，(δ，θ)=(1.6，0.3)，由定理1中的結(jié)論（2）可得，系統(tǒng)（44）是固定時間穩(wěn)定的，數(shù)值模擬結(jié)果如圖2．本研究得出的穩(wěn)定時間估計值為T3=6.5127 s，小于文獻［11］中給出的同步時間估計值T4=7.5588 s，文獻［13］給出的穩(wěn)定時間估計值為T″=66.6604 s，遠大于實際穩(wěn)定時間．可見，本研究給出的穩(wěn)定時間估計更精確．

圖2 參數(shù)K=diag{0.6，0.4，0.5}時系統(tǒng)（44）的穩(wěn)定性Fig.2 Stability of system(44)with parameter K=diag{0.6,0.4,0.5}.

例2驅(qū)動-響應網(wǎng)絡的固定與預定時間同步．考慮如下具有不連續(xù)激活函數(shù)的網(wǎng)絡

其對應的受控響應網(wǎng)絡為

網(wǎng)絡的外接耦合矩陣為

網(wǎng)絡（45）和（46）的初始值均為隨機數(shù)．根據(jù)假設2取Lj=1，Mj=0.03，因此，L=I3，M=0.03.

在控制器（25）下，選擇控制參數(shù)(α，φ，δ)=(2.0，2.0，1.4)和(α，φ，δ)=（2.2，4.0，1.5），由定理2可知，響應網(wǎng)絡（46）分別在估計時間T5=3.8505 s，T6=1.7538 s內(nèi)同步于驅(qū)動網(wǎng)絡（45）．數(shù)值模擬結(jié)果如圖3和圖4，與理論結(jié)果相符，驗證了控制器的有效性與定理2的正確性．

圖3 參數(shù)為(α，φ，δ)=(2.0，2.0，1.4)時的同步誤差曲線Fig.3 Synchronization error curve for(α,φ,δ)=(2.0,2.0,1.4).

圖4 參數(shù)為(α，φ，δ)=(2.2，4.0，1.5)時的同步誤差曲線Fig.4 Synchronization error curve for(α,φ,δ)=(2.2,4.0,1.5).

驗證定理2中同步時間估計式的精確性．選擇控制參數(shù)(α，φ，δ)=(2.8，2.4，1.6)，由定理2可知，響應網(wǎng)絡（46）在估計的同步時間T7=3.2936 s內(nèi)同步于驅(qū)動網(wǎng)絡（45）．在相同參數(shù)下，文獻［11］估計的同步時間為T8=4.3853 s；文獻［13］估計的同步時間為T9=37.4546 s.文獻［19］的數(shù)值模擬例3中模擬了沒有噪聲干擾情況下，不連續(xù)驅(qū)動-響應網(wǎng)絡的固定時間同步，誤差系統(tǒng)在t=0.21 s時實現(xiàn)穩(wěn)定，而其估計時間為T=190 s，遠大于實際同步時間．本研究同步誤差模擬結(jié)果如圖5，響應網(wǎng)絡（46）在更小的時間T7內(nèi)與驅(qū)動網(wǎng)絡（45）實現(xiàn)同步，表明本研究對于同步時間估計的精確度更高．

圖5 參數(shù)為(α，φ，δ)=(2.8，2.4，1.6)時的同步誤差曲線Fig.5 Synchronization error curve for(α,φ,δ)=(2.8,2.4,1.6).

為驗證預定時間同步控制器的有效性，在控制器（39）下，選擇控制參數(shù)(α，φ，δ，Tp)=（3.0，2.0，1.3，2.0）和(α，φ，δ，Tp)=（3.0，2.0，1.3，2.0）．根據(jù)定理3，響應網(wǎng)絡（46）將在預定時間Tp內(nèi)同步于驅(qū)動網(wǎng)絡（45）．數(shù)值模擬結(jié)果如圖6和圖7，網(wǎng)絡均在預先指定的時間Tp內(nèi)達到同步，驗證了定理3的正確性．

圖6 參數(shù)為(α，δ，φ，Tp)=(3.0，2.0，1.3，2.0)時的同步誤差曲線Fig.6 Synchronization error curve for(α,δ,φ,Tp)=(3.0,2.0,1.3,2.0).

圖7 參數(shù)為(α，φ，δ，Tp)=(2.0，3.0，1.6，0.5)時的同步誤差曲線Fig.7 Synchronization error curve for(α,φ,δ,Tp)=(2.0,3.0,1.6,0.5).

結(jié)語

本研究針對不連續(xù)系統(tǒng)，給出了一個同步時間估計更精確的固定時間穩(wěn)定性定理，并應用該定理研究具有不連續(xù)激活函數(shù)的驅(qū)動-響應網(wǎng)絡固定及其時間同步問題．以HU等［11］的穩(wěn)定性定理為基礎，利用比較原理和變量代換得到更新的穩(wěn)定時間估計式．數(shù)值模擬結(jié)果表明，本研究對于穩(wěn)定時間的估計表達式更簡單，結(jié)果更精確．利用所得到的定理進一步實現(xiàn)具有不連續(xù)激活函數(shù)的驅(qū)動-響應網(wǎng)絡固定時間和預定時間同步，所使用的控制器不包含常見的線性反饋項，且對于同步時間的估計更精確，所提出的有限增益控制策略比現(xiàn)有的無限增益控制策略更有效．本研究固定時間穩(wěn)定性定理與有限增益控制方法還可用于探索多智能體模型的固定時間與預定時間共識，此類問題將是后續(xù)的研究重點．