蔣曉耕，柴旭，王浩，劉暢，杜宇

(1.天津市現(xiàn)代機電裝備技術(shù)重點實驗室，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300387)

0 前言

隨著數(shù)控機床向著高速、高精的方向發(fā)展，幾何誤差、熱誤差、力誤差占據(jù)數(shù)控機床總誤差的65%，其中由于零部件制造、裝配及磨損造成的幾何誤差在機床總誤差中占18%[1]。數(shù)控機床幾何誤差分為與位置有關(guān)的幾何誤差(Position Dependent Geometric Errors, PDGEs)和與位置無關(guān)的幾何誤差(Position Independent Geometric Errors, PIGEs)，其中PDGEs是機床在生產(chǎn)制造和后期磨損造成的誤差，而PIGEs是機床各個部件之間裝配造成的誤差。因PDGEs的產(chǎn)生原因一直是誤差檢測的難點，目前單軸運動檢測PDGEs方法主要使用的儀器有激光干涉儀[2-3]、非接觸式位移傳感器[4]等精密設(shè)備。但在實際加工中該檢測需要多軸聯(lián)動的方式才能完成，對此國內(nèi)外研究人員提出了空間誤差評價方法[5-6]。

目前針對PDGEs的研究設(shè)備主要有激光跟蹤儀、激光干涉儀、接觸式觸發(fā)探針等。其中，激光跟蹤儀檢測方法分為單站法[7]和多點定位法(多站法)[8]，操作簡單、檢測效率高，但單站法通過角度編碼器測量角度會受到電氣誤差的影響，不確定度大。多站法在檢測時需多臺儀器同時檢測或一臺儀器多點重復(fù)測量，前者需要多臺儀器，不易獲得，后者要求機床重復(fù)精度高，同時長時間檢測易引入熱誤差。激光干涉儀檢測PDGEs的方法有十三線法[9]、十二線法[10]和九線法[11]等，其檢測精度高，但存在對光難、耗時長和檢測效率低等問題，同時其在檢測時易受到溫度、濕度等因素的影響以及阿貝誤差[12]的影響。接觸式觸發(fā)探針[13]檢測方法主要通過機床所帶探針，對特定的工件用點測的方法進(jìn)行檢測，但需多次測量，檢測效率低。此外，還有基于加工試件[14]的檢測方法，通過分析機床運動，提出多種加工方式組合的方法，辨識PDGEs。綜上所述，目前檢測PDEGs的方法存在操作復(fù)雜、檢測效率低以及檢測方法繁瑣等問題。

針對以上問題，研究人員利用價格低、精度高、操作簡單的球桿儀進(jìn)行研究。球桿儀主要用于檢測多軸機床PIGEs，通過多軸機床單軸[15]或者多軸[16]聯(lián)動的方式進(jìn)行檢測。對于PDGEs的檢測研究還不充分，存在安裝次數(shù)過多[17]、辨識過程復(fù)雜[18]、辨識精度不足[19-20]等問題，仍需進(jìn)一步研究。

為解決球桿儀安裝次數(shù)過多、缺項建模和解耦精度問題，本文作者提出一種基于球桿儀的三軸機床幾何誤差辨識方法。該方法將球桿儀視為機床運動鏈的一部分，以指數(shù)積(Product of Exponentials, PoE)理論和18項誤差模型為基礎(chǔ)構(gòu)建綜合誤差模型，并結(jié)合混階切比雪夫多項式預(yù)擬合模型，建立綜合誤差系數(shù)模型，通過Moore-Penrose 逆矩陣求解，完成18項誤差的辨識。該方法從誤差定義的角度消除垂直度誤差對PDGEs辨識的影響，同時建立混階切比雪夫多項式預(yù)擬合模型，并使18項誤差在球桿儀誤差敏感方向上得到全部辨識，提高誤差的辨識精度和效率。

1 運動學(xué)建模

1.1 18項誤差模型

三軸機床幾何誤差分為18項PDGEs和3項PIGEs，這兩者耦合在一起，難以區(qū)分PIGEs對PDGEs辨識的影響。董澤園等[10]將21項誤差模型與18項誤差模型進(jìn)行實驗對比，證明18項誤差模型的補償效果更好。

表1所示為18項誤差模型，其中直線度誤差的定義與ISO-230-1中直線度誤差定義方式不同。在ISO-230-1[21]第3.4.12節(jié)中，直線度的參考直線有3種定義方式，分別是最小區(qū)域參考直線、最小二乘參考直線、終點參考直線，而18項誤差中直線度定義是以理想軸線作為參考直線，如圖1所示。

表1 18項誤差模型

1.2 指數(shù)積運動學(xué)模型

當(dāng)ω=0時，

當(dāng)ω≠0時，

使用的機床型號為漢川機床XK714D,其運動鏈如圖2所示?；赑oE理論需要建立唯一的全局坐標(biāo)系RCS，圖2中RCS建立在球桿儀基座工具杯精密球中心；Xe與Xi、Ye與Yi、Ze與Zi，分別代表X軸、Y軸、Z軸誤差位置與理想位置，F(xiàn)為機床本體，T為刀具端工具杯位置。由于X軸、Y軸、基座工具杯位于全局坐標(biāo)系RCS與機床本體之間，其相應(yīng)的運動伺服量為負(fù)。由此可得，三軸聯(lián)動PoE運動學(xué)模型為

(1)

(2)

采取兩軸聯(lián)動的運動形式進(jìn)行實驗，故建立雙正交軸實驗?zāi)Ｐ?。?dāng)兩軸聯(lián)動時，將與第三軸有關(guān)的參數(shù)矩陣置為單位矩陣，故可得綜合誤差模型。

XY兩軸聯(lián)動模型：

(3)

XZ兩軸聯(lián)動模型：

(4)

YZ兩軸聯(lián)動模型：

(5)

1.3 安裝誤差分析

在使用球桿儀進(jìn)行平面檢測時，其安裝誤差對機床幾何誤差有很大的影響。球桿儀檢測機床誤差時，其安裝誤差主要來源于工具杯的安裝位置與理想位置之間的偏差。球桿儀工具杯安裝誤差主要分為3個部分：(1)安裝主軸工具杯時,主軸工具杯受到的彈簧套壓力不均勻?qū)е轮鬏S工具杯安裝傾斜；(2)基座工具杯精密球受到磁力影響，導(dǎo)致兩端工具杯間接通過精密球連接，此時定義全局坐標(biāo)系RCS，不存在安裝誤差；(3)基座工具杯鎖緊，導(dǎo)致精密球偏離RCS原點位置產(chǎn)生基座工具杯安裝誤差。因此，安裝誤差主要由基座工具杯產(chǎn)生。

圖3為精密球在基座工具杯鎖緊時產(chǎn)生誤差的示意圖。其中，Wi和We分別為精密球理想位置和實際位置；aw、bw、cw分別為實際位置在X軸、Y軸、Z軸方向上的分量；R為基座安裝誤差矢量。基座工具杯安裝誤差可以通過雙正交軸實驗，形成最小二乘擬合球進(jìn)行辨識，擬合球坐標(biāo)與安裝誤差關(guān)系可以表示為球面方程：

(6)

其中：

將式(6)進(jìn)一步計算，其矩陣形式如式(7)所示：

(7)

基座工具杯安裝誤差為

(8)

2 預(yù)擬合模型與誤差解耦

18項誤差模型中的誤差均屬于與位置有關(guān)的誤差，如果直接求解會造成矩陣存在無窮多解或無解的情況。與位置有關(guān)的誤差可以用多項式[2-3]表達(dá)，因此提出一種預(yù)擬合[7，20，23]的方法，解決求解問題。切比雪夫多項式是正交多項式，可以簡化計算，提高擬合精度，因此在第二類切比雪夫多項式基礎(chǔ)上構(gòu)建預(yù)擬合模型。

2.1 混階切比雪夫多項式預(yù)擬合模型

以X軸為例，X軸存在6項誤差，包括1項定位誤差、2項直線度誤差、3項姿態(tài)誤差，分別對6項誤差進(jìn)行切比雪夫多項式預(yù)擬合。以球桿儀初始位置作為零誤差參考點，同時高階多項式會導(dǎo)致計算量增大，選用三階切比雪夫多項式，如式(9)所示：

(9)

其中：aij表示預(yù)擬合參數(shù)；x表示具體坐標(biāo)值。Y軸誤差和Z軸誤差同理。

在實際情況中，6項誤差的情況是不同的，選用相同階數(shù)的切比雪夫多項式是不合理的。直線度誤差和姿態(tài)誤差與定位誤差相比更加復(fù)雜，因此增加一階。18項誤差模型中，直線度定義方式與21項直線度定義方式不同，18項誤差模型中直線度誤差更加復(fù)雜，故在姿態(tài)誤差的多項式階數(shù)基礎(chǔ)上增加一階。在實際檢測過程中，為保證機床運動速度保持穩(wěn)定，球桿儀在運行時，需要運行一段固定角度，即越程，這也導(dǎo)致起始點誤差不為0，所以需存在常數(shù)項，如式(10)所示：

(10)

在使用切比雪夫多項式時，需要進(jìn)行坐標(biāo)線性歸一化處理：

其中：p為歸一化處理后的X值；q為歸一化處理后的Y值；r為歸一化處理后的Z值；[a,b]為原始區(qū)間。

2.2 桿長變化量的簡化

以YZ兩軸聯(lián)動實驗為例，圖4所示為YZ平面球桿儀運動示意圖。在檢測過程中由于機床運動速度不穩(wěn)定，導(dǎo)致球桿儀采集數(shù)據(jù)點之間角度不相同，所以計算球桿儀變化量Δl在Y、Z兩個方向上的變化量Δy、Δz比較困難。但是，球桿儀具有越程功能，越程功能主要是為了解決采集速度不恒定所設(shè)計的，球桿儀在檢測過程中，先進(jìn)行越程段，將速度達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，之后球桿儀運動可以認(rèn)為是勻速運動，球桿儀以等角度采樣，所以Δyi、Δzi分別表示為

(11)

(12)

將式(11)與(12)進(jìn)一步計算，忽略二階以上高次項，可得：

(13)

式中：θi為第i個點與Y軸的夾角；ΔYYZ、ΔZYZ分別為球桿儀桿長變化量在Y、Z方向上的分量；ΔliYZ為第i個球桿儀桿長變化量；r為球桿儀桿長。

綜合第二部分與第三部分，將式(1)—(8)、(10)—(13)聯(lián)立，可得綜合誤差系數(shù)模型。

2.3 解算方法及流程

以XY平面X方向求解為例，將球桿儀桿長變化量Δl和混階切比雪夫多項式預(yù)擬合模型代入綜合誤差模型中，得到Δl與混階切比雪夫多項式系數(shù)的綜合誤差系數(shù)模型，將它寫成矩陣形式，如式(14)所示：

XA=B

(14)

A=X+B=DH(DDH)-1(CHC)-1CHB

(15)

式中：C、D為滿秩分解得到的矩陣；X+為X的廣義逆矩陣。

通過式(15)可得到唯一的極小最小二乘解。將得到的各項系數(shù)代入混階切比雪夫多項式預(yù)擬合模型中，可得18項誤差的表達(dá)式。

以XY平面兩軸聯(lián)動為例，由X方向和Y方向的誤差辨識情況可以看出，只對球桿儀誤差敏感方向求解，無法完全辨識12項誤差，但結(jié)合XZ平面、YZ平面上模型可以完成直線度誤差缺項求解。前四次求解方式均與ΔXXY方式相同，桿長處理方式選擇式(11),由于YZ平面誤差敏感方向上只存在2項誤差，預(yù)擬合參數(shù)較少，選擇用式(13)處理可以獲得更高的擬合精度，提高辨識效率。因此辨識18項誤差，需進(jìn)行5次解算。圖5所示為18項誤差辨識流程。

3 實驗及分析

3.1 實驗參數(shù)

Renishaw QC-20W球桿儀和XK714D漢川機床參數(shù)如表2所示。

表2 實驗參數(shù)

選擇桿長L=150 mm進(jìn)行實驗，同時XK714D機床使用FANUC系統(tǒng)，使用圓弧插補編程更加便捷，實驗裝置及實驗路徑如圖6所示。

如圖6所示的雙正交軸實驗，實驗路徑分為3條，XY兩軸聯(lián)動旋轉(zhuǎn)范圍為(-45°,405°)、XZ兩軸聯(lián)動路徑和YZ兩軸路徑旋轉(zhuǎn)范圍均為(-22°,202°)。通過對3條路徑進(jìn)行檢測，對實驗所得數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差解耦，最后對解耦結(jié)果進(jìn)行NC代碼直線插補補償實驗，證明檢測與辨識結(jié)果的正確性。

3.2 安裝誤差檢測結(jié)果

球桿儀軟件可以對2D平面運動進(jìn)行圓心偏差分析，但基座工具杯的安裝誤差是空間矢量，會造成分析結(jié)果不準(zhǔn)確，因此需對它進(jìn)行全局分析。對雙正交軸實驗球桿儀數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，基座工具杯安裝誤差如表3所示。

表3 安裝誤差辨識結(jié)果

在安裝球桿儀時，兩端工具杯通過磁力進(jìn)行連接，基座工具杯鎖緊旋鈕進(jìn)行鎖緊，在X、Y兩個方向會產(chǎn)生較大誤差，在Z方向由于主軸工具杯限制不會產(chǎn)生較大誤差。表3中X與Y兩個方向數(shù)值絕對值均遠(yuǎn)大于Z方向上的數(shù)值，與實際相符。

3.3 解耦與補償結(jié)果

在解耦18項誤差模型時，由于選擇多個象限數(shù)據(jù)會造成數(shù)據(jù)畸變，導(dǎo)致擬合失真，故選擇雙正交軸實驗第一象限的數(shù)據(jù)，依次對ΔXXY、ΔYXY、ΔXXZ、ΔZXZ、ΔlYZ進(jìn)行解耦，辨識結(jié)果分別如圖7、圖8、圖9所示。

18項辨識結(jié)果顯示，18項誤差數(shù)值均在合理范圍內(nèi)，但EYZ在Y軸前10 mm內(nèi)變化較大，同時在0位置數(shù)值過大，這是由于球桿儀越程角度過小造成的球桿儀采集數(shù)據(jù)不穩(wěn)定。

使用預(yù)擬合模型方法，可以很好地解決辨識過程中矩陣無解或無窮多解問題，但不同的預(yù)擬合模型將會導(dǎo)致解耦精度不同，過高的階數(shù)會導(dǎo)致計算量過大，低階數(shù)會導(dǎo)致擬合精度不夠，通過式(9)和式(10)對殘差絕對值之和、殘差平方和兩個全局標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對比。

圖10所示為三階切比雪夫多項式與混階切比雪夫多項式在不同標(biāo)準(zhǔn)下的殘差對比圖。可知：混階切比雪夫多項式預(yù)擬合模型數(shù)值均小于三階切比雪夫多項式預(yù)擬合模型數(shù)值。因此，混階切比雪夫多項式比三階切比雪夫多項式更適合作為預(yù)擬合模型。

將通過檢測、解耦得到的18項誤差代回綜合誤差模型式(1)—(3)中得到X、Y、Z三個方向的補償量，對G代碼進(jìn)行修正。在不改變實驗條件的情況下進(jìn)行補償，得到實際補償結(jié)果。將檢測結(jié)果、補償結(jié)果、預(yù)測補償值進(jìn)行對比。

圖11所示為XY兩軸聯(lián)動補償結(jié)果對比結(jié)果?？梢钥闯觯和ㄟ^NC代碼補償?shù)慕Y(jié)果遠(yuǎn)小于檢測數(shù)據(jù)，證明補償有效。檢測數(shù)據(jù)平均誤差為-0.028 31 mm，平均補償值為-0.005 09 mm，平均預(yù)測補償值為4.03×10-7mm，球桿儀平均桿長變化量減少了82.02%。

圖12所示為XZ兩軸聯(lián)動補償結(jié)果對比結(jié)果?？芍貉a償結(jié)果遠(yuǎn)小于檢測數(shù)據(jù)，補償效果明顯。檢測數(shù)據(jù)平均值為0.026 28 mm，平均預(yù)測補償值為5.98×10-6mm，補償結(jié)果平均值為0.002 2 mm，球桿儀平均桿長變化量減少了91.63%。

圖13所示為YZ兩軸聯(lián)動補償結(jié)果對比結(jié)果。可知：補償結(jié)果遠(yuǎn)小于檢測結(jié)果。檢測數(shù)據(jù)平均值為-0.007 62 mm，平均預(yù)測補償值為-2.93×10-6mm，補償結(jié)果平均值為-0.002 24 mm，球桿儀桿長變化量減少了70.6%。

三組補償實驗，預(yù)測補償值均小于補償結(jié)果，這是由于機床在運行過程中受到機床溫度等多種因素以及NC代碼補償原理性問題造成的偏差。檢測結(jié)果、預(yù)測補償值、補償結(jié)果三條曲線不光滑是受到機床振顫誤差、周期誤差等因素的影響。

4 結(jié)論

三軸機床PDGEs檢測一直都是機床精密檢測的難點，提出一種基于球桿儀的三軸機床空間誤差辨識方法，該方法只需球桿儀在XY、XZ、YZ3個正交平面進(jìn)行3次檢測，在球桿儀誤差敏感方向上進(jìn)行5次求解，即可辨識全部誤差。

(1)從球桿儀檢測方式出發(fā)，將球桿儀工具杯視為機床運動鏈的一部分，結(jié)合PoE理論，建立綜合誤差模型，并給出最小二乘擬合球的安裝誤差辨識方法。該方法從全局角度分析安裝誤差，更符合實際情況，能夠提高辨識精度。

(2)針對綜合誤差模型辨識問題，提出混階切比雪夫多項式預(yù)擬合方法，構(gòu)建綜合誤差系數(shù)模型，并提出5次Moore-Penrose 逆矩陣求解方法。此方法可以避免在非誤差敏感方向上求解，提高辨識的精度和效率。

(3)在XK714D機床上進(jìn)行檢測實驗，通過綜合誤差系數(shù)模型，使得18項誤差在球桿儀誤差敏感方向上得到全部辨識。將三階切比雪夫多項式預(yù)擬合模型與混階切比雪夫多項式進(jìn)行對比，證明混階切比雪夫多項式預(yù)擬合模型精度更高。最后對辨識結(jié)果進(jìn)行雙正交軸NC代碼補償實驗，結(jié)果表明：在XY、XZ、YZ平面綜合誤差分別減少82.02%、91.63%、70.6%，驗證了文中提出的幾何誤差辨識方法的有效性。