范晉偉，秦池，潘日

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124)

0 前言

隨著機(jī)械制造業(yè)的不斷發(fā)展，各種數(shù)控機(jī)床、磨床、加工中心發(fā)展得越來(lái)越快，這些技術(shù)的發(fā)展水平也代表著一個(gè)國(guó)家生產(chǎn)制造水平的高低。數(shù)控磨床作為多數(shù)零件加工的最后一道工序所用的設(shè)備，其加工精度起到至關(guān)重要的作用。但是，在實(shí)際加工過(guò)程中，由于一些外部環(huán)境、機(jī)床振動(dòng)、刀具磨損及熱源的影響，使得生產(chǎn)的零件總會(huì)存在加工誤差，所以減少或者消除加工誤差非常有必要。影響機(jī)床的誤差源多種多樣，如幾何誤差、熱誤差、伺服系統(tǒng)誤差等，而每種誤差都會(huì)對(duì)機(jī)床的加工精度產(chǎn)生一定的影響，如何通過(guò)減小誤差影響提高加工精度成為至關(guān)重要的研究問題。

空間運(yùn)動(dòng)誤差的建模方法前期主要有三角函數(shù)法[1-2]、矢量描述法[3]等，后來(lái)經(jīng)過(guò)學(xué)者們的不斷研究，出現(xiàn)了機(jī)構(gòu)學(xué)理論[4]、多體系統(tǒng)理論[5-8]、螺旋理論[9-10]等建模方法。多體系統(tǒng)是多個(gè)剛體或者柔體通過(guò)某種連接方式而形成的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)，同時(shí)也是對(duì)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的完整抽象和有效描述[11]。它通過(guò)對(duì)機(jī)床整體的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抽象化處理，簡(jiǎn)化其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，能夠借助計(jì)算機(jī)快速建模，具有良好的通用性以及系統(tǒng)性，所以非常適用于誤差建模[12]。OKAFOR和ERTEKIN[13]利用齊次坐標(biāo)變換原理并且忽略高階誤差項(xiàng)，建立了多軸機(jī)床的空間誤差模型。CHEN等[14]以多體系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出五軸數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)誤差公式。WU等[15]通過(guò)齊次坐標(biāo)變換原理以及多體系統(tǒng)理論，建立了非正交五軸數(shù)控機(jī)床的空間運(yùn)動(dòng)誤差公式。

現(xiàn)階段的研究多為五軸機(jī)床及加工中心的幾何誤差分析，關(guān)于磨床的研究相對(duì)較少，且磨床的空間運(yùn)動(dòng)誤差建模沒有統(tǒng)一步驟，存在模型精度不足等問題。為更加全面且精準(zhǔn)地分析磨床的幾何誤差，提高加工精度，本文作者基于多體系統(tǒng)理論建立數(shù)控內(nèi)圓磨床的空間運(yùn)動(dòng)誤差模型。通過(guò)研究數(shù)控指令修改算法進(jìn)行誤差補(bǔ)償，得到精密加工的數(shù)控指令，并對(duì)加工階梯軸試件進(jìn)行仿真驗(yàn)證，得出補(bǔ)償前后的數(shù)控指令，分別選取5個(gè)補(bǔ)償點(diǎn)，對(duì)比補(bǔ)償前后到理想位置的空間距離。

1 基于多體理論的空間運(yùn)動(dòng)誤差建模

1.1 機(jī)床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)述

圖1所示為文中選用的數(shù)控精密內(nèi)圓磨床結(jié)構(gòu)模型。它是由兩個(gè)移動(dòng)軸、兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸以及機(jī)身、刀具等構(gòu)成，其中：x、z軸為移動(dòng)軸；A、B軸為旋轉(zhuǎn)軸；刀具通過(guò)B軸(刀具轉(zhuǎn)臺(tái))進(jìn)行換刀，B軸借助x軸進(jìn)行x方向的移動(dòng)；z軸帶動(dòng)x軸、B軸以及刀具等進(jìn)行z方向的移動(dòng)。

圖1 數(shù)控精密內(nèi)圓磨床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.2 數(shù)控精密內(nèi)圓磨床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及低序體陣列

基于多體系統(tǒng)理論，可以將該內(nèi)圓磨床簡(jiǎn)化為具有2個(gè)分支的多體系統(tǒng)，其中一個(gè)是床身-刀具分支，主要由機(jī)身、z軸導(dǎo)軌、x軸滑座、B軸轉(zhuǎn)臺(tái)、刀具組成；另一個(gè)是床身-工件分支，主要由機(jī)身、導(dǎo)軌、工件主軸(A軸)、工件組成。依據(jù)多體系統(tǒng)理論中的命名規(guī)則，對(duì)磨床主要零部件進(jìn)行序號(hào)標(biāo)定，其中：機(jī)身為1體；z向滑臺(tái)為2體；x軸為3體；刀具轉(zhuǎn)臺(tái)為4體；刀具為5體；工件主軸為6體；工件為7體，并在點(diǎn)o1、o2、o3分別建立相應(yīng)坐標(biāo)系，得到的磨床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 磨床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

由磨床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，可以得到如表1所示的低序體陣列。

表1 低序體陣列

1.3 數(shù)控精密內(nèi)圓磨床幾何誤差分析

任意物體在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)有6個(gè)自由度，則會(huì)產(chǎn)生6項(xiàng)幾何誤差[16]，其中包括3項(xiàng)線位移誤差：定位誤差以及2個(gè)直線度誤差；3項(xiàng)角位移誤差：傾斜誤差、偏擺誤差以及俯仰誤差。直線軸以x軸為例，6項(xiàng)誤差分別為x向的定位誤差δx(x)、y向的直線度誤差δy(x)、z向的直線度誤差δz(x)、繞x軸的偏擺誤差εx(x)、繞y軸的俯仰誤差εy(x)以及繞z軸的滾轉(zhuǎn)誤差εz(x)；旋轉(zhuǎn)軸以C軸為例，6項(xiàng)誤差分別為徑向跳動(dòng)誤差δx(c)和δy(c)、軸向跳動(dòng)誤差δz(c)、傾斜誤差εx(c)和εy(c)、定位誤差εz(c)，x、C軸幾何誤差參數(shù)如圖3、4所示。軸與軸之間還存在相對(duì)位姿誤差，主要為各軸之間的垂直度誤差。綜上所述，該數(shù)控精密內(nèi)圓磨床的幾何誤差參數(shù)共有29項(xiàng)，具體如表2所示。

圖3 x軸幾何誤差參數(shù)示意

圖4 C軸幾何誤差參數(shù)示意

表2 數(shù)控精密內(nèi)圓復(fù)合磨床幾何誤差參數(shù)

1.4 數(shù)控精密內(nèi)圓磨床的空間運(yùn)動(dòng)誤差模型

根據(jù)低序體陣列表以及相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，基于齊次坐標(biāo)變換原理，可得到數(shù)控內(nèi)圓磨床相鄰體之間的理想靜止齊次變換矩陣及實(shí)際靜止齊次坐標(biāo)變換矩陣、理想運(yùn)動(dòng)齊次變換矩陣及實(shí)際運(yùn)動(dòng)齊次坐標(biāo)變換矩陣[17]，分別如表3和表4所示。

表3 理想靜止及實(shí)際靜止齊次坐標(biāo)變換矩陣

表4 理想運(yùn)動(dòng)及實(shí)際運(yùn)動(dòng)齊次坐標(biāo)變換矩陣

設(shè)被加工點(diǎn)為P，則點(diǎn)P分別按照機(jī)身-刀具分支、機(jī)身-工件分支表示在機(jī)床坐標(biāo)系中，位置分別記為Pt0、Pw0,基于多體系統(tǒng)理論，可以得其表達(dá)式為

Pt0=S12，pS12，peS12，sS12，seS23，pS23，pe·

S23，sS23，seS34，pS34，peS34，sS34，seS45,pS45,peS45,sS45，sert

(1)

Pw0=S16，pS16，peS16，sS16，seS67，pS67，peS67，sS67，serw

(2)

其中：rt為點(diǎn)P在刀具坐標(biāo)系中的位置矩陣；rw為點(diǎn)P在工件坐標(biāo)系中的位置矩陣。在實(shí)際加工中，為實(shí)現(xiàn)精密加工，必須滿足刀具成形點(diǎn)與工件成形點(diǎn)重合，即必須滿足以下條件：

Pt0=Pw0

(3)

由公式(3)可以得到實(shí)際情況下被加工點(diǎn)P在工件坐標(biāo)系中的位置：

rw，actual=

S12,pS12,peS12,sS12,seS23,pS23,peS23,sS23,seS34,p·

S34,peS34,sS34,seS45,pS45,peS45,sS45,sert

(4)

將公式(4)中的誤差矩陣省略，可以得到理想情況下待加工點(diǎn)P在工件坐標(biāo)系中的位置：

rw,ideal=(S16,pS16,sS67,pS67,s)-1·

S12,pS12,peS12,sS23,pS23,sS34,pS34,sS45,pS45,srt

(5)

則該磨床的空間運(yùn)動(dòng)誤差模型為

E={Ex,Ey,Ez}=rw,actual-rw,ideal

(6)

其中：Ex、Ey、Ez分別為空間誤差在x、y、z方向的誤差分量，將公式(4)(5)及靜止矩陣、運(yùn)動(dòng)矩陣、誤差矩陣代入公式(6)，經(jīng)過(guò)MATLAB軟件求解，并且忽略高階無(wú)窮小量，最終可求解出數(shù)控精密內(nèi)圓磨床的空間運(yùn)動(dòng)誤差模型。

將檢測(cè)的誤差數(shù)據(jù)代入所建立的空間運(yùn)動(dòng)誤差模型中，即可計(jì)算出數(shù)據(jù)點(diǎn)的空間誤差，通過(guò)對(duì)數(shù)控指令進(jìn)行修正，能提高機(jī)床的加工精度，且修正量即為數(shù)據(jù)點(diǎn)的空間誤差值。下面以直線插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)為例進(jìn)行數(shù)控指令修正算法研究。

2 直線插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)數(shù)控指令修正

2.1 確定補(bǔ)償點(diǎn)

補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)的確定，會(huì)對(duì)加工指令的精度產(chǎn)生重要影響：如果選擇點(diǎn)數(shù)過(guò)多，會(huì)導(dǎo)致加工指令數(shù)目巨大；點(diǎn)數(shù)過(guò)少，則會(huì)導(dǎo)致精度低等問題[18]。對(duì)于補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)的選取，一般有兩種方法：垂直分割法、水平分割法[19]。水平分割法能夠較好地提高補(bǔ)償點(diǎn)處的加工精度，且相鄰補(bǔ)償點(diǎn)之間的精度也能得到有效控制。相對(duì)于垂直分割法，水平分割法確定的補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)少，生成的數(shù)控指令容量小，故選用水平分割法進(jìn)行補(bǔ)償點(diǎn)確定。圖5所示為水平分割法示意圖。

圖5 水平分割法

2.2 直線插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)數(shù)控指令修正

對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)的補(bǔ)償，應(yīng)從直線起點(diǎn)Pa開始，根據(jù)直線方程表達(dá)式，得到該點(diǎn)的坐標(biāo)，并基于得到的空間運(yùn)動(dòng)誤差模型，計(jì)算該點(diǎn)在x、y、z方向的誤差Δx(Pa)、Δy(Pa)、Δz(Pa)，并分別判斷三者的絕對(duì)值，若起點(diǎn)Pa數(shù)據(jù)滿足公式(7)，則該點(diǎn)不需要補(bǔ)償，沿直線繼續(xù)進(jìn)行下一點(diǎn)判斷；若三者中任意一項(xiàng)或者幾項(xiàng)超過(guò)控制精度Φ，則起點(diǎn)必須進(jìn)行補(bǔ)償;直線中其他點(diǎn)Pn則按照公式(8)進(jìn)行計(jì)算，其中Δx(Pn)、Δy(Pn)、Δz(Pn)分別為點(diǎn)Pn處的誤差，Δx(Pn-1)、Δy(Pn-1)、Δz(Pn-1)為前一個(gè)補(bǔ)償點(diǎn)處的誤差，若符合公式(8)，則證明該點(diǎn)不需要補(bǔ)償，反之該點(diǎn)為補(bǔ)償點(diǎn)。

(7)

(8)

圖6 補(bǔ)償前直線運(yùn)動(dòng)軌跡

圖7 補(bǔ)償后直線運(yùn)動(dòng)軌跡

3 仿真驗(yàn)證

基于上述研究的誤差補(bǔ)償方法，以內(nèi)圓磨床常用加工零件階梯軸進(jìn)行仿真驗(yàn)證。試件三維模型如圖8所示，表5所示為試件具體結(jié)構(gòu)參數(shù)，加工刀具直徑為φ40 mm。對(duì)直線運(yùn)動(dòng)數(shù)控指令的修正算法進(jìn)行研究，并結(jié)合建立的空間運(yùn)動(dòng)誤差模型，進(jìn)行試件加工仿真驗(yàn)證。

圖8 試件三維模型

表5 階梯軸結(jié)構(gòu)參數(shù) 單位：mm

由于加工中涉及到29項(xiàng)幾何誤差，故首先設(shè)定幾何誤差參數(shù)值，并結(jié)合空間運(yùn)動(dòng)誤差模型，算出補(bǔ)償點(diǎn)處x、y、z方向的誤差；其次，對(duì)每個(gè)補(bǔ)償點(diǎn)的誤差進(jìn)行判斷，對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。將未補(bǔ)償?shù)臄?shù)控指令導(dǎo)入軟件中，如表6所示，并進(jìn)行走刀模擬；對(duì)補(bǔ)償點(diǎn)處誤差進(jìn)行補(bǔ)償，得到如表7所示的補(bǔ)償后對(duì)應(yīng)的數(shù)控加工指令，并生成補(bǔ)償前后的走刀軌跡，如圖9所示。

表6 補(bǔ)償前數(shù)控指令 單位:mm

表7 補(bǔ)償后數(shù)控指令 單位:mm

圖9 補(bǔ)償前后走刀軌跡

分別對(duì)比圖9中由上向下的5個(gè)畫圈點(diǎn)補(bǔ)償前后的數(shù)據(jù)，如表8所示。

表8 補(bǔ)償前后數(shù)據(jù) 單位：mm

由表8可知：5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)補(bǔ)償前后距離理想位置的空間距離分別由0.616、0.607、0.614、0.295、0.376 cm變?yōu)?.354、0.398、0.376、0.188、0.255 cm，分別減小了42.5%、34.4%、38.6%、36.3%、32.1%。

4 結(jié)論

以數(shù)控精密內(nèi)圓磨床為研究對(duì)象，首先基于多體系統(tǒng)理論，建立磨床的空間運(yùn)動(dòng)誤差模型，基于此模型，可以求解加工路徑中任意點(diǎn)的空間誤差；其次，通過(guò)對(duì)比垂直分割法與水平分割法的優(yōu)缺點(diǎn)，得出水平分割法能夠有效保證相鄰補(bǔ)償點(diǎn)之間的精度，故選擇水平分割法確定補(bǔ)償點(diǎn)的數(shù)量；以直線運(yùn)動(dòng)軌跡為例，進(jìn)行數(shù)控指令修改，得出補(bǔ)償前后的直線軌跡；對(duì)階梯軸試件進(jìn)行加工仿真驗(yàn)證，得出補(bǔ)償前后的數(shù)控指令，并選取5個(gè)加工點(diǎn)，對(duì)比補(bǔ)償前后的空間誤差。結(jié)果表明：5個(gè)加工點(diǎn)的誤差都得到有效提高，證明了所提方法的有效性。