逯彥周， 項麗紅

(永登縣第六中學(xué)，甘肅 永登 730300)

立體幾何是研究現(xiàn)實世界中物體形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用.立體幾何章節(jié)是學(xué)生自然語言、符號語言、圖形語言轉(zhuǎn)換與學(xué)習(xí)的絕佳載體，承載著提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的數(shù)學(xué)使命.本文對2022年全國數(shù)學(xué)高考試卷中的立體幾何試題進(jìn)行統(tǒng)計分析，并對教學(xué)提出一些建議.

1 2022年“立體幾何”高考試題統(tǒng)計

2022年數(shù)學(xué)高考試卷共9套，其中全國卷6套(分別為全國甲、乙卷文、理各1套，新高考Ⅰ、Ⅱ卷各1套，不分文理)，地方卷3套(分別為北京卷、天津卷、浙江卷各1套，不分文理，上海由于延遲高考，不做統(tǒng)計)，均考查了立體幾何相關(guān)知識，共計28題.現(xiàn)將9套試卷中的立體幾何試題按照題型、分值、考查內(nèi)容、難度進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如表1所示.

表1 2022年全國數(shù)學(xué)高考立體幾何試題統(tǒng)計

續(xù)表1

由表1知，從題型、分值看，9套試卷中立體幾何試題均為選擇與解答題，其中選擇題19道、解答題9道.全國甲卷(文、理卷選擇同題，解答不同題)與新高考Ⅰ卷均有3道選擇題和1道解答題，共27分，占試卷總分的18%；全國乙卷(文、理卷選擇同題，解答題第1)小題相同、第2)小題不同)、新高考Ⅱ卷及浙江卷均有2道選擇題和1道解答題，其中全國乙卷(文、理)、新高考Ⅱ卷立體幾何試題總分22分，占試卷總分的14.7%，浙江卷立體幾何試題總分23分，占試卷總分的15.3%；北京卷與天津卷均有1道選擇題和1道解答題，其中北京卷立體幾何試題總分18分，占試卷總分的12%，天津卷立體幾何試題總分20分，占試卷總分的13.3%.

從考查內(nèi)容看，9套試卷中立體幾何試題選擇題的考點重點集中在棱錐、圓錐、棱臺、球的體積和表面積，以及長方體(正方體)中的線面關(guān)系、長度、距離度量.解答題第1)小題考點重點集中于幾何體中線線、線面關(guān)系的證明，第2)小題文科考點集中于幾何體體積計算，理科及不分科考卷考點均為計算線面角、面面角的正(余)弦值.從難易程度看，9套試卷中立體幾何試題以中等難度為主.

2 2022年“立體幾何”高考試題特點分析

1)立體幾何選擇題涉及幾何體形狀規(guī)則，考點常規(guī)，題目經(jīng)典中有創(chuàng)新.

19道立體幾何選擇題涉及幾何體形狀規(guī)則，其中載體為長方體、棱臺的試題均為2道，載體為正方體的試題3道，載體為直棱柱試題4道，6道試題載體為棱錐，2道試題載體為圓錐，3道試題與球相關(guān)，與圓柱、圓臺相關(guān)的試題均為1道.

19道立體幾何選擇題中12道題的落腳點(即答案涉及考點，下同)考查幾何體的體積、表面積、側(cè)面積，其中考查體積的有11道，占絕大多數(shù)，考查棱臺、圓臺體積各1道，需引起重視.19道立體幾何選擇題中7道題的落腳點考查幾何體中線線、線面、面面位置關(guān)系及長度、夾角的度量，其中考查長度度量的有3道，考查位置關(guān)系的有2道，考查夾角度量的有4道.立體幾何選擇題題目經(jīng)典，也有融合其他知識的創(chuàng)新，如全國新高考Ⅰ卷第8題、北京卷第9題.

( )

(2022年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第8題)

分析本題主要考查正四棱錐的外接球體積.由題意可求得正四棱錐體積是關(guān)于側(cè)棱長l的4次函數(shù)，求最值用導(dǎo)數(shù)，知識融合程度高，難度大，重點考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).設(shè)正四棱錐的高為h，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

解因為球的體積為36π，所以球的半徑R=3.設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，則

l2=2a2+h2， 32=2a2+(3-h)2，

從而

6h=l2， 2a2=l2-h2，

于是正四棱錐的體積

故

例2已知正三棱錐P-ABC的6條棱長均為6，S是△ABC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)集合T={Q∈S|PQ≤5}，則T表示的區(qū)域面積為

( )

(2022年北京市數(shù)學(xué)高考試題第9題)

分析本題以正三棱錐為載體，融合集合知識，重點考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，難度中等.求出以P為球心、5為半徑的球與底面ABC的截面圓的半徑后可求出區(qū)域的面積.

解如圖1，設(shè)頂點P在底面上的投影為O，聯(lián)結(jié)BO，則O為△ABC的中心，且

圖1

當(dāng)PQ=5時，OQ=1，于是點S的軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓.而△ABC內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為

因此點S的軌跡圓在△ABC內(nèi)部，其面積為π.故選B.

2)立體幾何解答題邏輯證明步驟錯綜復(fù)雜，建系及坐標(biāo)書寫不易加大夾角度量難度.

9道立體幾何解答題的第1)小題中有4道考查線面平行，2道考查線面垂直，2道考查線線垂直，1道考查點到面的距離，但均不能由題中條件直通答案，需要多步演繹推理才能得出結(jié)論.除去文科卷2道解答題，7道立體幾何解答題中有3道題的第2)小題需要推理論證和計算才能找到三垂直建立空間直角坐標(biāo)系，且坐標(biāo)書寫也需要經(jīng)過一定的推理分析，因此大大增加了題目的難度.

例3如圖2，在四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD，∠ADB=∠BDC,E為AC的中點．

圖2

1)證明：平面BED⊥平面ACD；

2)設(shè)AB=BD=2，∠ACB=60°,點F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成角的正弦值．

(2022年全國數(shù)學(xué)高考乙卷第18題)

分析本題以四面體為載體，第1)小題證明面面垂直，通過線面垂直證明面面垂直，從而需要證明線線垂直，用到了等腰三角形中線性質(zhì)、三角形全等性質(zhì)等.第2)小題在第1)小題的基礎(chǔ)上需要證明BE⊥DE才能建系，建系后點F坐標(biāo)的書寫需要三角形相似的知識，需要證明、建系、計算，難度較大.

1)證明因為AD=CD，E為AC的中點，所以AC⊥DE.在△ABD和△CBD中，因為AD=CD,∠ADB=∠BDC，DB=DB，所以△ABD≌△CBD，從而AB=CB.由點E為AC的中點知AC⊥BE，又DE,BE?平面BED，DE∩BE=E，于是AC⊥平面BED.因為AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.

圖3

例4如圖4，PO是三棱錐P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點．

圖4

1)求證：OE∥平面PAC；

2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．

(2022年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第20題)

分析本題以三棱錐為載體，第1)小題考查線面平行，需要用到線面垂直的性質(zhì)、三角形全等、等量代換、三角形中位線性質(zhì)等知識，步驟較多；第2)小題過點A作Az∥OP，如圖5建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.

圖5

1)證明如圖4，聯(lián)結(jié)BO并延長交AC于點D，聯(lián)結(jié)OA,PD.因為PO是三棱錐P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，又AO,BO?平面ABC，從而

PO⊥AO,PO⊥BO.

因為

PA=PB，

所以

△POA≌△POB，

即

OA=OB，

亦即

∠OAB=∠OBA.

又

AB⊥AC，

即

∠BAC=90°，

從而∠OAB+∠OAD=90°， ∠OBA+∠ODA=90°，

于是

∠ODA=∠OAD,

進(jìn)而

AO=DO，

即

AO=DO=OB，

故O為BD的中點.由E為PB的中點知OE∥PD，又OE?平面PAC，PD?平面PAC，因此OE∥平面PAC.

2)解過點A作Az∥OP，如圖5建立空間直角坐標(biāo)系.因為PO=3，AP=5，所以

又

∠OBA=∠OBC=30°，

從而

BD=2OA=8，

于是

設(shè)平面AEB的法向量為n=(x,y,z)，則

令z=2，則y=-3，x=0，故n=(0,-3,2).設(shè)平面AEC的法向量為m=(a,b,c)，則

3 研究建議

1)充分利用實物模型或計算機(jī)呈現(xiàn)空間幾何體，建立空間幾何體結(jié)構(gòu)意識，畫好空間幾何體示意圖，重點提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

立體幾何初步的教學(xué)重點是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，應(yīng)遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則[1].教材編排也按照整體到局部的安排，由基本立體圖形→簡單幾何體的表面積與體積→空間點、線、面之間的位置關(guān)系→空間直線、平面的平行→空間直線、平面的垂直[2];空間的幾何體→直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系→平面與平面的位置關(guān)系→簡單幾何體的表面積和體積[3].對教師而言，教學(xué)中可提供豐富的實物模型或利用計算機(jī)呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學(xué)生建立空間幾何體的結(jié)構(gòu)及空間意識，指導(dǎo)學(xué)生畫好空間幾何體示意圖，提升其直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2)熟練掌握初中平面幾何知識，內(nèi)化高中線面(面面)平行與垂直的判定、性質(zhì)定理，有條理、規(guī)范地書寫，重點提升邏輯推理素養(yǎng).

立體幾何解答題第1)小題的證明中用到較多初中平面幾何知識，立體幾何的證明(幾何法)歸根到底是通過降維轉(zhuǎn)化為平面幾何的證明，因此平行的證明多涉及三角形中位線定理、平行四邊形性質(zhì)等，垂直的證明多涉及勾股定理、等腰、等邊三角形中線性質(zhì)、菱形的對角線性質(zhì)以及正方形、長方形邊的關(guān)系等.另外，由三角形全等可得對應(yīng)邊、角相等，由三角形相似可得對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例等.教師在教學(xué)中要時常提醒學(xué)生復(fù)習(xí)這些知識，說明其為證明過程的“血肉”，高中線面(面面)平行與垂直的判定、性質(zhì)定理為“骨架”，再進(jìn)行有條理以及符號語言的規(guī)范書寫即可完美拿分.

3)認(rèn)真分析，合理推理、計算建系，精準(zhǔn)書寫點及向量坐標(biāo)，準(zhǔn)確進(jìn)行空間向量坐標(biāo)運算，重點提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

立體幾何解答題第2)小題的夾角度量重點在于建系和點、向量的坐標(biāo)書寫以及向量運算.在建系時要認(rèn)真分析題目，看是否有建系條件，即是否存在三垂直，否則就要進(jìn)行推理、計算尋找建系條件.從題量看，9道解答題中有3道都屬于不能直接建系需要推理及適當(dāng)計算才能建系的類型.在點的坐標(biāo)書寫方面，有需要時可單畫出某一平面的示意圖，有利于空間點及向量坐標(biāo)的書寫.另外，在進(jìn)行空間向量坐標(biāo)運算中，要求計算準(zhǔn)確，結(jié)論明確，從而形成解決度量問題的程序思想，重點提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).