師五喜，姜萬蕾，李寶全

（天津工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，天津300387）

近年來，隨著機(jī)器人技術(shù)的快速發(fā)展，輪式移動(dòng)機(jī)器人在軍事、醫(yī)療、民生等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。但由于輪式移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)是受非完整約束的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，如何設(shè)計(jì)精確穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制器一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。目前，主要控制方法有滑模變結(jié)構(gòu)控制方法[1-2]、反步法控制方法[3-4]、自適應(yīng)控制方法[5-7]和智能控制方法[8-9]等。文獻(xiàn)[1]提出了一種可提高系統(tǒng)魯棒性、同時(shí)抑制信號(hào)抖振的自適應(yīng)二階滑?？刂品椒?。為了克服機(jī)器人打滑引起的外部干擾，文獻(xiàn)[2]利用自適應(yīng)滑?？刂品椒▉硪种萍袛_動(dòng)，提高了軌跡跟蹤控制器的性能。文獻(xiàn)[3]提出了一種魯棒反步法控制器，有效抑制系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，同時(shí)降低了輪子側(cè)滑引起的擾動(dòng)，但誤差的波動(dòng)幅度較大。文獻(xiàn)[4]針對(duì)未知滑動(dòng)參數(shù)下的機(jī)器人系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反步法軌跡跟蹤控制器。文獻(xiàn)[5]在考慮了機(jī)器人受驅(qū)動(dòng)器飽和約束和外部擾動(dòng)的情況下，利用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法對(duì)其進(jìn)行漸近跟蹤控制。文獻(xiàn)[6]在機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定的情況下，基于Lyapunov直接法和反步法控制技術(shù)，提出了一種新型時(shí)變自適應(yīng)控制器以解決機(jī)器人軌跡跟蹤問題。文獻(xiàn)[7]針對(duì)機(jī)器人受側(cè)滑引起的與狀態(tài)相關(guān)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)干擾問題，設(shè)計(jì)了一種模糊自適應(yīng)軌跡跟蹤控制器。文獻(xiàn)[8]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)逼近最優(yōu)控制律中的非線性函數(shù)，解決了系統(tǒng)中存在未知的時(shí)變參數(shù)和擾動(dòng)情況下的軌跡跟蹤問題。文獻(xiàn)[9]提出了一種魯棒智能控制器，在系統(tǒng)參數(shù)未知、動(dòng)力學(xué)模型未知和受擾情況下都能獲得較好的軌跡跟蹤控制效果。另外，文獻(xiàn)[10]提出了一種側(cè)滑狀態(tài)下，基于擾動(dòng)觀測器的魯棒跟蹤控制器。文獻(xiàn)[11]通過提出一個(gè)受柔度參數(shù)影響的控制方案，來提高系統(tǒng)的魯棒性。

雖然以上方法都取得了較好的跟蹤控制效果，但均基于傳統(tǒng)的三階運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，此模型中機(jī)器人位姿和誤差模型之間不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。文獻(xiàn)[12]提出了一種新的四階運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器，很好地解決了位姿和誤差模型之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系問題。但以上這些方法均只考慮了系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題，并未考慮實(shí)際系統(tǒng)中的輸入受限問題。由于輪式移動(dòng)機(jī)器人車輪的執(zhí)行電機(jī)轉(zhuǎn)矩大小是受約束的，因此，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中的線速度和角速度是有一定限制的，如果不考慮實(shí)際控制輸入的約束，可能會(huì)降低控制性能甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。文獻(xiàn)[13-15]設(shè)計(jì)了飽和約束下的軌跡跟蹤控制器，但這些方法均基于傳統(tǒng)的三階運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

本文受文獻(xiàn)[12]的啟發(fā)，利用輪式移動(dòng)機(jī)器人四階運(yùn)動(dòng)學(xué)模型設(shè)計(jì)了軌跡跟蹤控制器，該控制器可使閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)有界，跟蹤誤差收斂到0，同時(shí)還能保證線速度和角速度有界受限。并通過仿真和Quanser QbotII平臺(tái)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 問題描述

本文的研究對(duì)象為雙輪驅(qū)動(dòng)輪式移動(dòng)機(jī)器人，在全局坐標(biāo)系XOY和機(jī)器人局部參考坐標(biāo)系XcOcYc下，其模型如圖1所示。圖1中，（x，y）表示質(zhì)心P在全局坐標(biāo)系XOY下的坐標(biāo)值；θ表示機(jī)器人的方向角；v表示機(jī)器人的線速度；w表示機(jī)器人的角速度。

圖1 雙輪驅(qū)動(dòng)輪式移動(dòng)機(jī)器人模型Fig.1 Model of two-wheel driven mobile robot

輪式移動(dòng)機(jī)器人當(dāng)前時(shí)刻位姿可用向量q=[x，y，θ]T表示，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可表示為：

假設(shè)1[16]輪式移動(dòng)機(jī)器人參考位姿向量qr=[xr，yr，θr]T，則其期望軌跡可表示為：

式中：vr為機(jī)器人期望線速度；wr為機(jī)器人期望角速度。

假設(shè)2機(jī)器人期望速度滿足如下條件：

式中：cv、cw均為正常數(shù)。

根據(jù)機(jī)器人當(dāng)前位姿和參考位姿可得到三階位姿誤差方程為[16]：

由于在以上三階誤差模型中，機(jī)器人位姿和誤差模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系不是一一對(duì)應(yīng)的，文獻(xiàn)[12]提出了一種新的四階運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，該模型通過將三階運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中的θ替換成2個(gè)新變量s（t）=sin θ和c（t）=cos θ，可得到新的四階運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為：

定義新的誤差變量如下：

對(duì)式（6）求導(dǎo)并結(jié)合式（2）和式（5），可得機(jī)器人位姿誤差的動(dòng)態(tài)方程為：

2 控制器設(shè)計(jì)

本文的控制目標(biāo)是通過設(shè)計(jì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器，使機(jī)器人能夠跟蹤期望軌跡且使控制輸入滿足如下約束：

為此設(shè)計(jì)如下的控制律

式中：參數(shù)k1、k2、k3均為正常數(shù)。為了便于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，定義ec=ecos-1，將其與式（9）和式（10）代入到式（7）中，可得閉環(huán)系統(tǒng)的誤差方程為：

定理1若參數(shù)k1、k2、k3滿足以下條件：

且移動(dòng)機(jī)器人滿足假設(shè)1和假設(shè)2，則控制輸入式（9）和式（10）可使閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)有界，跟蹤誤差ex、ey、es、ec收斂到0，且v，w滿足約束（8）。

為了便于定理證明，首先引入2個(gè)引理：

引理1（Barbǎlat′s Lemma）[17]若（τ）dτ存在且有界，函數(shù)（ft）一致連續(xù)，則（ft）=0。

引理2[18]若函數(shù)f（t）滿足f∈L2∈L∞，則有（ft）=0。

假設(shè)3 V（0）＜2，其中V（t）如式（18）所示。

注1：由于初始值是設(shè)計(jì)者取定的，因此，以上假設(shè)是可實(shí)現(xiàn)的。

定理1證明選擇如下的Lyapunov函數(shù)：

對(duì)式（18）求導(dǎo)可得

根據(jù)式（11）和式（12）有

根據(jù)式（13）和式（14）有

將式（20）和式（21）代入式（19）中整理可得

由雙曲正切函數(shù)的特性可知，當(dāng)ex≠0時(shí)則有extanh（ex）＞0，可推出V˙≤0，因此，ex、ey、es、ec有界。根據(jù)式（3）可知vr、wr有界，且函數(shù)tanh（ex）∈（-1，1），因此，式（9）—式（10）中控制輸入v、w有界，由式（11）—式（14）可知有界，由此可得ex、ey、es、ec一致連續(xù)。對(duì)式（22）兩端同時(shí)積分有：

由式（23）可得

由于ex、ey有界且一致連續(xù)，可得有界且一致連續(xù)，根據(jù)引理1有：當(dāng)t→∞時(shí)，有，則ex→0。由式（24）可知dt有界，因此，es∈L2，又∈L∞，由引理2可得：當(dāng)t→∞時(shí)，有es→0，由三角函數(shù)性質(zhì)可得ec→0或-2。當(dāng)t=t1時(shí)，Lyapunov函數(shù)V在e（t1）=[0 0 0-2]T處的值V（t1）=2，由假設(shè)3可以看出V（t1）＞V（0）。由于V為單調(diào)非增函數(shù)，則對(duì)任意t1有V（0）≥V（t1），與上文矛盾，因此，ec只能收斂至0。

由于ex、ey、es、ec一致連續(xù)，可得k3es一致連續(xù)，則有一致連續(xù)，根據(jù)式（13）一致連續(xù)。由于es（t）存在且有界，且一致連續(xù)，根據(jù)引理1可得（t）=0。結(jié)合式（13）得

由于t→∞時(shí)ec（t）+1收斂至1，則由式（15）得，由此可得當(dāng)t→∞時(shí)有ey→0。

綜上所述，跟蹤誤差ex、ey、es、ec收斂到0。

由式（3）和式（8）—式（10）可得：

因此，v，w滿足約束（8）。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性，本文通過Matlab進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與文獻(xiàn)[12]中普通的基于機(jī)器人四階運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的控制器進(jìn)行對(duì)比。

令移動(dòng)機(jī)器人做半徑r=1的圓周運(yùn)動(dòng)，參考速率vr=0.2 m/s，wr=0.2 rad/s，速度上限cv=0.7 m/s，cw=2 rad/s。通過式（15）—式（17）可確定參數(shù)k1、k2、k3的取值范圍，在范圍內(nèi)經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)選取較為理想?yún)?shù)k1=0.45、k2=0.1、k3=0.6，在初始位姿（x0，y0，s0，c0）=（0.6，-0.6，0，0）下進(jìn)行軌跡跟蹤仿真。對(duì)于文獻(xiàn)[12]中提出的控制器，選定參數(shù)a=5，kx=1.6，k=29，ks=4.2，給定相同的期望軌跡進(jìn)行跟蹤控制。2種方法的仿真結(jié)果如圖2—圖5所示。

由圖2可以看出，2種方法都可以使機(jī)器人短時(shí)間內(nèi)跟蹤上給定軌跡圓。由圖3和圖4可以看出，本文控制方法可以將移動(dòng)機(jī)器人線速度和角速度控制在給定范圍內(nèi)，且變化平穩(wěn)；而參考文獻(xiàn)[12]方法控制的機(jī)器人速度前幾秒變化率較大，且啟動(dòng)時(shí)線速度和角速度均超過給定界限，在實(shí)際機(jī)器人系統(tǒng)中很可能導(dǎo)致機(jī)器人失控。由圖5可以看出，兩種方法都能夠使位姿誤差均收斂至0并保持穩(wěn)定狀態(tài)，但文獻(xiàn)[12]方法控制的機(jī)器人的es、ec在前10 s變化幅度較大。

圖2 機(jī)器人軌跡跟蹤曲線對(duì)比Fig.2 Comparison of trajectory tracking curve of robot

圖3 機(jī)器人線速度曲線對(duì)比Fig.3 Comparison of line velocity curve of robot

圖4 機(jī)器人角速度曲線對(duì)比Fig.4 Comparison of angular velocity curve of robot

圖5 機(jī)器人位姿誤差曲線對(duì)比Fig.5 Comparison of position error curve of robot

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文利用Quanser QbotII實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行算法驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)所用機(jī)器人如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.6 Experiment platform

設(shè)定參考速度vr=0.2 m/s、wr=0.2 rad/s，速度上限cv=0.7 m/s、cw=2 rad/s。經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)，選取可獲得較好實(shí)驗(yàn)效果的控制器參數(shù)k1=0.35、k2=2.5、k3=0.5，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7—圖9所示。

由圖7—圖9可知，將本文所提出的控制器應(yīng)用在實(shí)際系統(tǒng)中時(shí)，移動(dòng)機(jī)器人能夠跟蹤上期望軌跡，且線速度和角速度都能限制在給定范圍內(nèi)。

圖7 軌跡跟蹤Fig.7 Diagram of trajectory tracking

圖9 角速度曲線Fig.9 Curve of angular velocity

圖8 線速度曲線Fig.8 Curve of line velocity

4 結(jié)論

本文基于移動(dòng)機(jī)器人四階運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，提出了可以使機(jī)器人速度受限的軌跡跟蹤控制方法。研究結(jié)果表明：

（1）本文所設(shè)計(jì)的控制律，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定，能夠使輪式移動(dòng)機(jī)器人跟蹤到預(yù)設(shè)的期望軌跡，跟蹤誤差ex、ey、es、ec收斂到0。

（2）通過設(shè)定控制器的控制參數(shù)k1、k2、k3，可以限制輪式移動(dòng)機(jī)器人的線速度v和角速度w在給定范圍內(nèi)，即|v|≤cv，|w|≤cw。

下一步的工作是在現(xiàn)有速度受限的基礎(chǔ)上，對(duì)移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行加速度受限時(shí)軌跡跟蹤控制的研究。