郭夢(mèng)婷，吳利敏

(1.海寧市第一中學(xué)，浙江 海寧 314400；2.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是抽象概括的，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要將抽象的問題形象化、具體化.高中數(shù)學(xué)課堂的傳統(tǒng)教學(xué)方式是教師講授知識(shí)點(diǎn)，在完成單向傳遞后，讓學(xué)生進(jìn)行大量的練習(xí).這樣的課堂教學(xué)環(huán)境沉悶，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果較差.以“拋物線”教學(xué)為例，若教師在教學(xué)時(shí)直接給出“拋物線”的概念，再讓學(xué)生通過課堂練習(xí)進(jìn)行鞏固，看似完成了預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，但在實(shí)際作業(yè)批改中會(huì)發(fā)現(xiàn)，有關(guān)“拋物線”概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用題仍有很大一部分學(xué)生出錯(cuò)，教學(xué)效率低下.

《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》指出：“深化課堂教學(xué)改革要積極探索基于情境、問題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué).”為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高教學(xué)效率，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，教師需要改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，借助教具、信息技術(shù)、圖示等建構(gòu)高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂，將抽象的思維過程形象化地傳遞給學(xué)生[1]，讓學(xué)生在可視化情景中自主體驗(yàn)、自主探究.

1 高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂的建構(gòu)范式

思維可視化(visualization)是指利用圖示、圖像等輔助工具和信息技術(shù)，將隱性的思維路徑顯性地表達(dá)出來.高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂的建構(gòu)是指通過實(shí)物教具、信息手段、圖示技術(shù)3種可視化策略，將思維路徑直觀地呈現(xiàn)出來，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程、教學(xué)方式、教學(xué)內(nèi)容的全面可視化，從而構(gòu)建完整的知識(shí)體系的過程.高中數(shù)學(xué)思維的輸出需要不同的表達(dá)方式，3種可視化策略不僅能使教學(xué)方式可視化，更重要的是可利用實(shí)物教具、信息手段進(jìn)行動(dòng)手操作和演示實(shí)踐.教師可以從操作過程中捕捉學(xué)生學(xué)習(xí)的思維狀態(tài)，學(xué)生可以從操作活動(dòng)中探析概念生成的思維路徑，從而使教學(xué)過程可見.而利用圖示技術(shù)(包括概念圖、流程圖、思維導(dǎo)圖等)呈現(xiàn)思考過程，則可以建立知識(shí)框架，梳理內(nèi)在聯(lián)系，厘清解題邏輯，讓教學(xué)內(nèi)容直觀呈現(xiàn).

在高中數(shù)學(xué)課堂中，思維可視化是指將抽象的數(shù)學(xué)思維路徑直觀地呈現(xiàn)出來，從而揭露數(shù)學(xué)本質(zhì)；在以學(xué)為中心的課改導(dǎo)向下，思維可視化課堂強(qiáng)調(diào)利用情景、教具等學(xué)習(xí)環(huán)境要素充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，使學(xué)生以“研究者”的身份參與“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的過程；在國(guó)家培養(yǎng)拔尖人才的育人思路下，思維可視化課堂變被動(dòng)的接受式學(xué)習(xí)為主動(dòng)的探索式學(xué)習(xí)，使創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)得以變現(xiàn).高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂的建構(gòu)范式見圖1.

圖1 高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂的建構(gòu)范式

2 高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂的實(shí)踐

在高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂中，3種可視化策略可以并用，也可以交替使用.根據(jù)不同的教學(xué)情景，教師需要進(jìn)行合理地選擇.下面以“拋物線”教學(xué)為例，建構(gòu)高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂.

2.1 實(shí)物教具：減少認(rèn)知負(fù)荷

在物理、化學(xué)的教學(xué)中，教師常常會(huì)借助實(shí)物教具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在觀察和分析中習(xí)得知識(shí).一般來說，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)就是概念、公式、解題.但實(shí)際上，除抽象的邏輯推理外，很多概念定理的產(chǎn)生都是通過實(shí)驗(yàn)得出的[2].實(shí)物教具的使用能夠讓思維路徑通過實(shí)物外顯出來，讓學(xué)生體驗(yàn)概念形成的過程，減少學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷.

教學(xué)環(huán)節(jié)1“折”紙游戲，體驗(yàn)過程——推進(jìn)知識(shí)發(fā)生的可視化.

2.1.1 動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，初步感知

課前給學(xué)生發(fā)一張標(biāo)有點(diǎn)A，B，C，…，J的長(zhǎng)方形紙，其中點(diǎn)A，B，…，J(除點(diǎn)F外)不均勻地分布在長(zhǎng)方形的一條邊上(A，B，C，D與J，I，H，G分別關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱)，點(diǎn)F靠近標(biāo)有點(diǎn)A，B，…，J(除點(diǎn)F外)的邊，且左右居中，并讓學(xué)生在課前折出過點(diǎn)A且垂直點(diǎn)A所在邊的垂線.此處，限制點(diǎn)的數(shù)目是為控制折紙時(shí)間，避免折痕過多造成干擾，而設(shè)置點(diǎn)的位置排布是為了讓學(xué)生在課堂上能較快地看到一條明顯的拋物線，點(diǎn)A，B，…，J(除點(diǎn)F外)對(duì)稱分布能讓拋物線更加完整，點(diǎn)F靠近標(biāo)有點(diǎn)A，B，…，J(除點(diǎn)F外)的一邊能讓拋物線更加陡峭清晰，課前折好垂線則有利于學(xué)生快速折紙標(biāo)點(diǎn)，并能幫助學(xué)生較快地發(fā)現(xiàn)拋物線的定義.課堂上，在學(xué)生認(rèn)識(shí)“拋物線”前，讓學(xué)生先玩一個(gè)“折紙”游戲(圖2)：①把A點(diǎn)對(duì)折到F點(diǎn)，使兩點(diǎn)重合，并用力按壓得到折痕；②標(biāo)出折痕與過A點(diǎn)垂線的交點(diǎn)；③重復(fù)以上步驟，把所有的點(diǎn)對(duì)折到F點(diǎn)，標(biāo)出交點(diǎn)，讓學(xué)生觀察這些點(diǎn)連成的光滑曲線是什么圖形.經(jīng)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)折紙的結(jié)果是拋物線，見圖3.

圖2 折紙游戲

圖3 折紙結(jié)果

折紙游戲不僅能激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)主動(dòng)性，還能通過實(shí)物教具的可視化策略，讓學(xué)生直觀地感知拋物線的概念.

2.1.2 類比分析，思考緣由

在學(xué)生觀察到實(shí)驗(yàn)結(jié)果后，教師引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)驗(yàn)過程，探折紙游戲，類比橢圓、雙曲線的定義并思考：拋物線是否與橢圓、雙曲線一樣是通過兩個(gè)定點(diǎn)來定義的？折紙過程涉及的關(guān)鍵元素是什么？有的學(xué)生認(rèn)為關(guān)鍵元素是點(diǎn)A,B,C,…,J，有的學(xué)生認(rèn)為是點(diǎn)F和直線AB.此時(shí)，教師追問：到底是直線AB，還是A,B,…,J(除點(diǎn)F外)這9個(gè)點(diǎn)？這些點(diǎn)有什么共同特點(diǎn)？學(xué)生通過觀察分析發(fā)現(xiàn)，這9個(gè)點(diǎn)(除點(diǎn)F外)都在直線AB上，如果在直線AB上再找一個(gè)點(diǎn)對(duì)折到點(diǎn)F，得到的交點(diǎn)還是在拋物線上[3].

學(xué)生通過類比分析、自主學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)拋物線是通過一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線來定義的.而在傳統(tǒng)的“拋物線”授課中，教師直接給出“拋物線”的定義，或利用幾何畫板直接給出一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線，演示到定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.在此過程中，學(xué)生事先不知道拋物線的幾何定義，教師直接給出的定點(diǎn)、定直線，并不是學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的.這個(gè)過程只是對(duì)拋物線定義的驗(yàn)證，不符合數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)現(xiàn)的邏輯.折紙游戲通過實(shí)物教具將接受式的學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變?yōu)榘l(fā)現(xiàn)式，能充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性.

2.2 信息手段：促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，教室已普遍實(shí)現(xiàn)多媒體化，高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂的建構(gòu)不僅有電腦、投影儀、電子白板、電腦黑板一體機(jī)等硬件方面的支持，還有幾何畫板、GeoGebra等軟件方面的支撐.在呈現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算過程、圖像的動(dòng)態(tài)變化、幾何模型的結(jié)構(gòu)時(shí)，教師常常會(huì)使用信息技術(shù)手段實(shí)現(xiàn)可視化教學(xué)，以提升課堂教學(xué)效率[4].利用信息手段進(jìn)行教學(xué)，不僅能使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的多元聯(lián)系、數(shù)形相融的特征，直觀感受數(shù)學(xué)的外在美，還能深刻地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在真，從而促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化.

教學(xué)環(huán)節(jié)2模擬“繪”圖，生成概念——促進(jìn)知識(shí)形成的可視化.

2.2.1 模擬情景，生成定義

學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在直線AB上再找一個(gè)點(diǎn)對(duì)折到點(diǎn)F，得到的交點(diǎn)還是在拋物線上.此時(shí)，再取點(diǎn)折紙就比較耗時(shí)，且意義不大.教師可以利用幾何畫板來模擬折紙的過程，在這些點(diǎn)之間再取一些點(diǎn)對(duì)折到點(diǎn)F，標(biāo)出交點(diǎn).學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，標(biāo)出的點(diǎn)越多，曲線就越清晰(圖4)，當(dāng)取無數(shù)多的點(diǎn)時(shí)，標(biāo)出的無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)就連成了一條拋物線(圖5).教師可通過幾何畫板的演示，進(jìn)一步說明給出的9個(gè)點(diǎn)看似是定點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)是一條定直線.

圖4 幾何畫板模擬折紙

圖5 幾何畫板模擬折紙

聚焦其中一個(gè)交點(diǎn)，隱藏幾何畫板上的其余點(diǎn)線(圖6)，讓學(xué)生思考這個(gè)交點(diǎn)M有什么特點(diǎn)？學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，折痕為線段AF的中垂線，由于中垂線上的點(diǎn)到A、F兩點(diǎn)的距離相等，所以MA=MF.此時(shí)，教師追問：拋物線上的點(diǎn)與定點(diǎn)F、定直線AB有什么關(guān)系？學(xué)生由此能夠自己歸納出拋物線的定義.

圖6 聚焦拋物線上某點(diǎn)

在上述定義生成的過程中，從實(shí)際折紙標(biāo)出離散的點(diǎn)到畫板演示形成連續(xù)的曲線，體現(xiàn)了從有限到無限的過程，是教學(xué)的難點(diǎn).教師利用幾何畫板模擬數(shù)學(xué)折紙的情景，動(dòng)態(tài)地展示點(diǎn)動(dòng)成線的過程，突破了教學(xué)的難點(diǎn).信息可視化策略將難以實(shí)踐講清的過程變得形象直觀，使得定義的生成順理成章.

2.2.2 數(shù)形結(jié)合，揭示數(shù)理

在明確定義之后，學(xué)生要用解析幾何的手段找到標(biāo)準(zhǔn)方程.回憶標(biāo)準(zhǔn)方程的產(chǎn)生過程：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn).學(xué)生在建立直角坐標(biāo)系時(shí)會(huì)采取不同的方案.設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p(p>0)，選取常見的3種方案(圖7)，通過列式計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的3個(gè)方程：y2=2px-p2；y2=2px；y2=2px+p2.顯然，第2個(gè)方程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，被稱為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.此處，教師可以選取更一般的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與拋物線y=ax2(a≠0)，借助幾何畫板的平移動(dòng)態(tài)演示(圖8)說明二者之間的聯(lián)系，進(jìn)而說明這3個(gè)方程在本質(zhì)上并沒有什么區(qū)別，±p2僅體現(xiàn)了圖像的左右平移變換.

圖7 建系的3種方案

圖8 圖像平移動(dòng)態(tài)演示

教師利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與拋物線y=ax2(a≠0)的內(nèi)在聯(lián)系，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以及初高中知識(shí)的聯(lián)系，提升了學(xué)生的思維水平，使其從淺層學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向深層學(xué)習(xí).

2.3 圖示技術(shù)：推動(dòng)深度學(xué)習(xí)

在日常教學(xué)活動(dòng)中，教師可利用概念圖、流程圖、思維導(dǎo)圖、樹狀圖、魚骨圖等圖示技術(shù)使思維可視化.不同的圖示技術(shù)具有不同的功能，例如概念圖可以構(gòu)建知識(shí)框架，流程圖可以厘清操作脈絡(luò)，思維導(dǎo)圖可以體現(xiàn)各思維階段的隸屬層級(jí)關(guān)系等.合理選擇圖示技術(shù)進(jìn)行可視化教學(xué)，可以大大提升教學(xué)質(zhì)量[5].

教學(xué)環(huán)節(jié)3構(gòu)“圖”梳理，歸納應(yīng)用——呈現(xiàn)知識(shí)系統(tǒng)的可視化.

2.3.1 思維導(dǎo)圖，建構(gòu)知識(shí)

隨著教學(xué)環(huán)節(jié)的推進(jìn)，教師在黑板上逐漸呈現(xiàn)出“拋物線”的思維導(dǎo)圖(圖9)，并利用思維導(dǎo)圖將教材的知識(shí)、學(xué)生的認(rèn)知、教師的導(dǎo)學(xué)結(jié)合在一起，從而將繁雜的知識(shí)條理化，將抽象的概念可視化.思維導(dǎo)圖有層次、有重點(diǎn)，有利于學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)體系.

圖9 拋物線思維導(dǎo)圖

2.3.2 流程圖示，解決問題

下面以一道“拋物線”練習(xí)題為例：

已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是________.

利用流程圖呈現(xiàn)兩種解題思維路徑，見圖10、圖11和圖12.教師可以通過幾何畫板動(dòng)態(tài)演示對(duì)思路進(jìn)行直觀驗(yàn)證.

圖10 思路一

圖11 幾何畫板演示思路一

圖12 思路二

教學(xué)預(yù)設(shè)的是思路一，思路二是在課堂上生成的.由此可見，思維可視化是教材、教師、學(xué)生3方面共同促進(jìn)的，可視化教學(xué)體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.利用流程圖將學(xué)生的解題思路可視化地呈現(xiàn)出來，建構(gòu)題目與題目、題目與知識(shí)、題目與方法之間的聯(lián)系，能有效提升學(xué)生的解題能力.

3 高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂的教學(xué)建議

3.1 把握可視化呈現(xiàn)的方式

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，運(yùn)用實(shí)物教具、信息手段、圖示技術(shù)等可視化策略，能夠幫助學(xué)生直觀形象地理解抽象的概念.但在運(yùn)用中，教師要注重可視化策略的使用，其最終目的是要從可視化的操作過程中歸納總結(jié)出抽象的概念.如果教師對(duì)高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂的理解僅停留在實(shí)物教具、信息手段、圖示技術(shù)等表面上的可視化功能層面，不僅不能提高課堂效率，反而會(huì)產(chǎn)生一些負(fù)面作用.例如，在“拋物線”教學(xué)時(shí)，若教師在展示一些橋梁建筑圖片后直接給出拋物線的概念，部分學(xué)生在觀看圖片時(shí)不僅無法認(rèn)識(shí)拋物線的本質(zhì)，而且會(huì)沉浸在對(duì)圖片的欣賞中.因此，思維可視化課堂的建構(gòu)需要教師把握可視化呈現(xiàn)的方式與時(shí)機(jī)，以使整個(gè)教學(xué)過程、教學(xué)方式、教學(xué)內(nèi)容全面可視化.

3.2 關(guān)注可視化教學(xué)的生成

在教學(xué)前，教師需要對(duì)思維可視化課堂進(jìn)行精心設(shè)計(jì).但在真正落實(shí)可視化教學(xué)時(shí)，教師必須關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，關(guān)注可視化教學(xué)的生成.例如，在課堂上繪制思維導(dǎo)圖時(shí)，教師不能因過度關(guān)注思維導(dǎo)圖的預(yù)設(shè)呈現(xiàn)而忽視學(xué)生的反饋，在思維導(dǎo)圖上應(yīng)生成一些學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)、注意點(diǎn)等[6]；在講解練習(xí)題時(shí)，教師不能簡(jiǎn)單地把自己預(yù)設(shè)的流程圖講授給學(xué)生，而應(yīng)從學(xué)生的思維方式進(jìn)行切入講解題目.學(xué)生是思維可視化課堂的主體，教師只是引導(dǎo)者，只有關(guān)注可視化教學(xué)的生成，才能使思維可視化課堂煥發(fā)活力.

3.3 遵循可視化思維的規(guī)律

思維可視化課堂教學(xué)策略必須遵循思維發(fā)展規(guī)律，否則會(huì)抑制學(xué)生思維的訓(xùn)練，適得其反.例如，在講解拋物線的概念時(shí)，教師利用幾何畫板展示拋物線動(dòng)態(tài)生成的過程，此過程雖然步驟簡(jiǎn)單，且容易提煉拋物線的概念，卻不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.對(duì)比以“折紙”引入的拋物線課例，從學(xué)生的課后作業(yè)情況可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過深度思考生成的概念，學(xué)生在解題時(shí)更容易抓住抽象概念的本質(zhì)屬性，也更能提升自身的數(shù)學(xué)思維能力.

4 結(jié) 語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)思維可視化課堂的建構(gòu)打破了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，實(shí)物教具、信息手段、圖示技術(shù)讓思維路徑得以直觀地呈現(xiàn)，減少了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，促進(jìn)了知識(shí)內(nèi)化，推動(dòng)了深度學(xué)習(xí).在具體的課堂教學(xué)實(shí)踐中，知識(shí)的加工需要選擇合適的思維可視化策略.因此，高中數(shù)學(xué)教師要靈活運(yùn)用思維可視化策略，建構(gòu)思維可視化課堂，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生真正體會(huì)探索性學(xué)習(xí)的樂趣.