錢浩浩，金浩銘，劉韓彬，章麗娜

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

近30年來，具有peakon解的非線性波方程引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.Peakon解最早是由Camassa和Holm[1]提出的，之后學(xué)者們陸續(xù)得到了其他peakon方程，如Degasperis-Procesi方程[2-3]、完全非線性K(m,n)方程[4-5]和Novikov方程[6-7]等，這些方程都是具有peakon解的可積模型.Peakon解因在波峰處具有不連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)而被稱為單峰孤立尖波解.

本文主要研究雙分量Dullin-Gottwald-Holm(DGH)方程：

(1)

其中，m=u-α2uxx.當(dāng)ρ=0時，方程(1)是Dullin-Gottwald-Holm方程；當(dāng)γ=0時，方程(1)是雙分量Camassa-Holm方程.文獻[8]研究指出，雙分量Camassa-Holm方程只有光滑的孤立波解.為研究線性色散項uxxx對孤立波解的光滑性影響，文獻[9]研究了雙分量DGH方程(1)在無窮邊界條件下的各種光滑孤立波解和非光滑孤立波解的漸進行為,但沒有給出方程(1)peakon解的精確表達式.

本文利用動力系統(tǒng)分支方法[4,10]，研究雙分量DGH方程(1)peakon解的動力學(xué)行為及其精確表達式，并通過分析行波系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的相圖，獲得一類新的非光滑孤立波解——擬扭波解的精確表達式.

為研究方程(1)的行波解，令u(x,t)=u(ξ),ρ(x,t)=ρ(ξ),ξ=x-ct,其中c為波速，則方程(1)的第二個方程可化為：

-cρ+(uρ)′=0.

(2)

對方程(2)進行積分，得:

(3)

其中,g為積分常數(shù).方程(1)的第一個方程為：

-c(u-u″)′-Au′+γu?+(u(u-u″))′+(u-u″)u′+ρρ′=0.

(4)

對方程(4)進行積分，并令積分常數(shù)為零，得：

(5)

方程(5)等價于二維系統(tǒng)：

(6)

系統(tǒng)(6)的首次積分為：

(7)

系統(tǒng)(6)第二個方程的右端在直線u=c和u=c-γ上是不連續(xù)的，這意味著雙分量DGH方程(1)很有可能存在非光滑行波解.

1 系統(tǒng)(6)的正則系統(tǒng)的相圖分支

為討論簡便，設(shè)A=0,c>0.下面考慮系統(tǒng)(6)的正則系統(tǒng)：

(8)

其中，dξ=2(u-c)2(u-c-γ)dτ.系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(8)具有相同的首次積分，因此系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(8)具有相同的拓撲相圖.u=c和u=c+γ是系統(tǒng)(8)的兩條不變直線解.根據(jù)幾何奇異攝動理論，在這兩條直線附近，τ是快變量，ξ是慢變量，即在奇異直線u=c和u=c+γ附近，系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(8)具有截然不同的動力學(xué)性質(zhì).

為分析系統(tǒng)(8)的平衡點，記

f(u)=u(3u-2c)(u-c)2+g2，

f′(u)=2(u-c)(6u2-6cu+c2)，

f″(u)=2(18u2-24cu+7c2).

設(shè)M(uj,yj)為系統(tǒng)(8)在平衡點Ej(uj,yj)處線性化系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，記J(uj,yj)=detM(uj,yj)，則

J(u1,2,0)=-2(u1,2-c)2(u1,2-c-γ)f′(u1,2)，

根據(jù)平面動力系統(tǒng)基本理論，對于平面可積系統(tǒng)的一個平衡點，當(dāng)J<0時，該平衡點是鞍點；當(dāng)J>0時，該平衡點是中心；當(dāng)J=0且平衡點處的Poincare指數(shù)為零時，該平衡點是尖點.

記hi=H(ui,0),i=1,2,hs=H(c+γ,?Ys)，利用上述信息進行定性分析，得到系統(tǒng)(8)的相圖分支，見圖1.

圖1 系統(tǒng)(8)在(u,y)平面上的相圖分支

2 Peakon解和擬扭波解的參數(shù)表達式

下面討論雙分量DGH方程 (1) 的peakon解和擬扭波解的精確表達式.由方程(7)，對任一固定的積分常數(shù)h，有

(9)

根據(jù)系統(tǒng)(6)的第一個方程，對首次積分H(u,y)=h所定義的水平曲線進行積分，得：

(10)

其中，u(ξ0)=u0.一般而言，方程(10)的右端是一個超橢圓積分，故不易積分，但在某些特殊情況下，可以積分求得peakon解和擬扭波解的精確參數(shù)表達式.

2.1 Peakon解

下面討論如圖1(b)和圖1(d)所示的兩種情況.

(i)當(dāng)h2=hs時，存在一個異宿軌道環(huán)連接系統(tǒng)(8)的3個鞍點，即E2(u2,0)，S+(c+γ,Ys) ，S-(c+γ,-Ys)，且環(huán)繞著中心E1(u1,0)(圖1(b)).此時，

G(u)=(u-u2)2(c+r-u)(uL-u).

因此，沿曲線E2S+和S-E2積分，并結(jié)合式(10)可得：

于是，方程(1)peakon解的參數(shù)表達式為 (圖2(a))：

圖2 波形圖

(11)

其中，

(ii)對應(yīng)連接系統(tǒng)(8)的3個鞍點，即E1(u1,0)，S+(c+γ,Ys)，S-(c+γ,-Ys)，且環(huán)繞中心E2(u2,0)的三角形異宿軌道環(huán)H(u,y)=h1=hs(圖1(d))，有

G(u)=(u-u1)2(c+γ-u)(uL-u).

沿曲線E2S+和S-E2積分，并結(jié)合(10)可得：

于是，方程(1)peakon解的參數(shù)表達式為 (圖2(b))：

(12)

其中，

2.2 擬扭波解

當(dāng)u2

(13)

其中，

G(u)=(u-u2)2(uM-u)(uL-u),c+γ

將式(13)代入系統(tǒng)(6)的第一個方程，并沿著上述兩條雙曲扇形曲線積分，得到兩個擬扭波解的精確表達式 (圖2的(c) (d))：

(14)

其中，F(xiàn)(φ,k)和∏(φ,α2,k)是勒讓德橢圓積分，且

3 結(jié) 論

本文運用動力系統(tǒng)方法研究了雙分量DGH方程的非光滑行波解及其動力學(xué)行為，獲得了兩個新的peakon解的參數(shù)表達式，并得到了新的擬扭波解的參數(shù)表達式.通過分析可知，peakon解取決于一個曲線三角形的存在 (圖1(b)和圖1(d))，具有確定的幾何性質(zhì).